Лекция 1 3-й семестр

исходных значений функции Y(X) и столбец значений функции Yрасч(Х). По данным этой таблицы построим точечную диаграмму

двух функций Y(X) и Yрасч(Х). Таблица и диаграмма приведены на рис. 12.

Рис. 12. Таблица и диаграмма, отображающая результаты интерполяции по Лагранжу

2.5. Интерполяционные многочлены Ньютона

Для интерполяции функций, заданных таблицами с

построение интерполяционных формул и вычисление по этим формулам заметно упрощается. В записях этих интерполяционных алгоритмов используются разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Такие разности называются конечными.

2.5.1. Конечные разности

Конечной разностью первого порядка называется

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка [ 4 ]:

Аналогично определяются конечные разности третьего, четвёртого и более высоких порядков.

Лекция 1 3-й семестр

Для вычисления конечных разностей обычно создаются таблицы, вид которых приводится ниже.

В приводимой ниже таблице 2, дан пример функции, для которой сформирована таблица конечных разностей.

Таблица 2. Пример построения таблицы конечных разностей для функции Y(x)

41,6 -1,175

2.5.2.Интерполяционные формулы Ньютона

Для функций, заданных таблицами с постоянным шагом изменения аргумента, наиболее часто используются первая или вторая формулы Ньютона, в которых интерполяционная функция определяется как многочлен вида:

при интерполяции от узла Хn.

Значения коэффициентов ai и bi в формулах (21) или (22) находятся из условий Лагранжа, определяющих в узлах интерполяции совпадение значений интерполирующей функции со значениями функции, заданной таблично.

(см. также формулу (5) в общей постановке задачи интерполяции).

Лекция 1 3-й семестр

Полагая Х=Х0 , в формуле (21) получим

Pn(Х0)=a0=Y0 .

Аналогично для Х=Х1

Pn(Х1)=a0+a1(X1-X0)=Y1 ,

и далее

a1=(Y1-Y0)/(X1-X0)

или, используя введённые выше обозначения (18) и (19), a1= y0 /(1!h).

Продолжая подстановки значений Хi , получим

Pn(Х2)=a0+a1(X2-X0)+ a2 (X2-X0)(X2-X1) =Y2 ,

Для исходных данных, приведенных в таблице 2, вычислим значения интерполируемой функции для значений аргумента х, не совпадающих с узловыми точками таблицы. Так значение функции Y для Х=1, вычисленное по формуле (25) будет

P4(1)=0,696+1,579/0,4*(1-0,0)+(-2,685)*(1-0,0)*(1-0,4)/(2*0,42) + 8,246*(1-0,0)*(1-0,4)*(1-0,8)/(6*0,43)+ (-25,06)*(1-0,0)*(1-0,4)*(1-0,8)*(1-1,2)/(24*0,44) = 3,1649

Лекция 1 3-й семестр

2.5.3. Организация ручных вычислений по формуле Ньютона

Рассмотрим пример выполнения ручных вычислений по первой формуле Ньютона.

Задана таблица значений функции, содержащая 4 узла:

Для данных этой таблицы вычислим таблицу конечных разностей

Вычислим значения коэффициентов полинома Ньютона a0=Y0=2;

a1= y0/h= 2/1!/1=2;

a2= 2Y0/(2!h2)=1/(2!*12) =0,5; a3= 3Y0/(3!h3)=-5/6.

Используя вычисленные значения коэффициентов a0 ,a1 , a2 , a3 запишем формулу для полинома Ньютона:

P3(x)=2+2(x-1)+0,5(x-1)(x-2)-5/6(x-1)(x-2)(x-3)= =-5/6x3+5,5x2-26/3x+6

Эту формулу мы можем использовать для вычисления значений функции Y(x) в любой точке интервала от х=1 до х=4.

2.5.4.Реализация алгоритма интерполяции по первой формуле Ньютона в среде программы Microsoft Excel

1.Введем в таблицу на листе Excel исходные данные, записанные в столбцах Х и Y(X) таблицы 2.

2.По формулам (19), (20) и формулам, приведённым в таблице 1, сформируем таблицу 2 - таблицу конечных разностей до четвёртого уровня. Эти формулы, введенные в ячейки таблицы Excel, приведены на рис. 13.

3.В ячейку G6 для вычисления значения шагового приращения аргумента h введем формулу "=$В$3-$В$2".

4.В ячейки строки 7 введём значения индекса i, определяющего индекс строки таблицы.

Лекция 1 3-й семестр

Рис. 13. Формулы, использованные для вычисления значений конечных разностей функции Y(Х) в таблице 2

5.В ячейках строки 8 вычислим степени hi, а в ячейках строки девять запишем формулы для определения факториалов i!.

6.На рис. 14 показаны формулы, используемые в таблице для

вычисления значений коэффициентов ai (i=0,1,2,3,4) для вычислительной формулы полинома Ньютона.

Рис. 14. Формулы, введенные в ячейки листа Excel, для вычисления коэффициентов интерполирующего многочлена Ньютона

Для формирования этой таблицы достаточно ввести в ячейку В11 формулу "=С2" и протянуть её до ячейки В15 (формируется столбец ссылок на ячейки со значениями Yi)

7.На рис. 15 приведена таблица рис.14. в режиме отображения числовых значений, вычисленных по формулам рис. 14.

8.Для выполнения вычислений значений интерполирующего полинома Ньютона в столбцах H, I и J сформируем разреженную таблицу. В столбец Н запишем номера строк таблицы от 0 до 8. В столбец I записываем значения аргумента Х от Х0 = 0 до Хk = 1,6.

9.В ячейку J2 и введём формулу для вычисления значения интерполирующего полинома Ньютона:

Лекция 1 3-й семестр

=$B$11+(I2-$B$2)*$C$11+ (I2-$B$2)*(I2-$B$3)*$D$11+ (I2-$B$2)*(I2-$B$3)*(I2-$B$4)*$E$11+ (I2-$B$2)*(I2-$B$3)*(I2-$B$4)*(I2-$B$5)*$F$11

Здесь $B$11, $C$11, $D$11, $E$11, $F$11 - ссылки на коэффициенты ai (i=0,1,2,3,4); I2 - ссылка на ячейку со значением аргумента x для точки, в которой вычисляется значение интерполирующего полинома Ньютона, $B$2, $B$3, $B$4, $B$5 - ссылки на ячейки, в которых записаны значения аргументов Xi

(i=0,1,2,3,4).

Рис. 15. Результаты вычислений коэффициентов ai (i=0,1,2,3,4) по формулам рис. 14

10.Протянув формулу, записанную в ячейку J2, по столбцу до ячейки J10, получим значения интерполирующего полинома для всех точек вектора Х. Результаты вычислений и график, построенный по таблице значений, показан на рис. 16.

11.График, построенный по результатам интерполяции, сглажен. Для этого после выделения графика в окне "Формат ряда данных" на вкладке "Вид" включаем флажок "Сглаженная линия".