Лекция 1 3-й семестр

2.1 Постановка и методы решения задачи интерполяции

Наиболее часто для определения функции φ(Х) используется постановка, называемая постановкой задачи интерполяции.

В этой классической постановке задачи интерполяции требуется определить приближенную аналитическую функцию φ(Х), значения которой в узловых точках Хi совпадают со значениями Y(Хi) исходной таблицы, т.е. условий

Построенная таким образом аппроксимирующая функция φ(Х) позволяет получить достаточно близкое приближение к интерполируемой функции Y(X) в пределах интервала значений аргумента [Х0; Хn], определяемого таблицей. При задании значений аргумента Х, не принадлежащих этому интервалу, задача интерполяции преобразуется в задачу экстраполяции. В этих случаях точность значений, получаемых при вычислении значений функции φ(Х), зависит от расстояния значения аргумента Х от Х0 , если Х < Х0 ,

или от Хn , если Х > Хn .

При математическом моделировании интерполирующая функция может быть использована для вычисления приближенных значений исследуемой функции в промежуточных точках подынтервалов [Хi; Хi+1]. Такая процедура называется уплотнением таблицы.

Алгоритм интерполяции определяется способом вычисления значений функции φ(Х). Наиболее простым и очевидным вариантом реализации интерполирующей функции является замена исследуемой функции Y(Х) на интервале [Хi; Хi+1] отрезком прямой, соединяющим точки Yi , Yi+1. Этот метод называется методом линейной интерполяции.

2.2 Линейная интерполяция

При линейной интерполяции значение функции в точке Х, находящейся между узлами Хi и Хi+1, определяется по формуле прямой, соединяющей две соседние точки таблицы

На рис. 1 приведен пример таблицы, полученной в результате измерений некоторой величины Y(X). Строки, исходной таблицы

Лекция 1 3-й семестр

выделены заливкой. Справа от таблицы построена точечная диаграмма, соответствующая этой таблице. Уплотнение таблицы выполнено благодаря вычислению по формуле (3) значений аппроксимируемой функции в точках Х, соответствующих серединам подынтервалов [Xi; Xi+1] (i=0, 1, 2, … , n).

Рис.1. Уплотненная таблица функции Y(X) и соответствующая ей диаграмма

При рассмотрении графика на рис. 1 видно, что точки, полученные в результате уплотнения таблицы по методу линейной интерполяции, лежат на отрезках прямых, соединяющих точки исходной таблицы. Точность линейной интерполяции, существенно зависит от характера интерполируемой функции и от расстояния между узлами таблицы Xi,, Xi+1.

Очевидно, что если функция плавная, то, даже при сравнительно большом расстоянии между узлами, график, построенный путем соединения точек отрезками прямых, позволяет достаточно точно оценить характер функции Y(Х). Если же функция изменяется достаточно быстро, а расстояния между узлами большие, то линейная интерполирующая функция не позволяет получить достаточно точное приближение к реальной функции.

Линейная интерполирующая функция может быть использована для общего предварительного анализа и оценки корректности результатов интерполяции, получаемых затем другими более точными методами. Особенно актуальной такая оценка становится в тех случаях, когда вычисления выполняются вручную.

Лекция 1 3-й семестр

2.3 Интерполяция каноническим полиномом

Метод интерполяции функции каноническим полиномом основывается на построении интерполирующей функции как полинома в виде [ 1 ]

Коэффициенты сi полинома (4) являются свободными параметрами интерполяции, которые определяются из условий

Вектор решения сi ( i = 0, 1, 2, …, n) системы линейных алгебраических уравнений (6) существует и может быть найден, если среди узлов хi нет совпадающих. Определитель системы (6) называется определителем Вандермонда1 и имеет аналитическое выражение [ 2 ].

Для определения значений коэффициентов сi (i = 0, 1, 2, … , n)

где А, матрица коэффициентов, определяемых таблицей степеней вектора аргументов X= (xi0, xi, xi2, … , xin)T (i = 0, 1, 2, … , n)

1

Определителем Вандермонда называется определитель

.

Он равен нулю тогда и только тогда, когда xi = xj для некоторых . (Материал из Википедии — свободной энциклопедии)

Лекция 1 3-й семестр

столбец значений Yi (i = 0, 1, 2, … , n) интерполируемой функции в узлах интерполяции.

Решение этой системы линейных алгебраических уравнений может быть получено одним из методов, описанных в [ 3 ]. Например,

где А-1 - матрица обратная матрице А. Для получения обратной матрицы А-1 можно воспользоваться функцией МОБР(), входящей в набор стандартных функций программы Microsoft Excel.

После того, как будут определены значения коэффициентов сi, используя функцию (4), могут быть вычислены значения интерполируемой функции для любого значения аргумента х.

Запишем матрицу А для таблицы, приведенной на рис.1, без учёта строк уплотняющих таблицу.

Рис.2 Матрица системы уравнений для вычисления коэффициентов канонического полинома

Используя функцию МОБР(), получим матрицу А-1 обратную матрице А (рис. 3). После чего, по формуле (9) получим вектор коэффициентов С={c0, c1, c2, …, cn }T, приведенный на рис. 4.

Для вычисления значений канонического полинома в ячейку

столбца Yканонич, соответствующую значению х0, введем преобразованную к следующему виду формулу, соответствующую

нулевой строке системы (6)

Вместо записи "ci" в формуле, вводимой в ячейку таблицы Excel, должна стоять абсолютная ссылка на ячейку, содержащую этот коэффициент (см. рис. 4). Вместо "х0" - относительная ссылка на ячейку столбца Х (см. рис. 5).