- •Г. В. Красоленко, н. В. Сванидзе, г. В. Якунина
- •Введение
- •Фамилия, имя, отчество
- •Интегральное исчисление в случае функции одной переменной. Формула Тейлора и Маклорена. Гиперболические функции
- •Примерный вариант контрольной работы № 3 по дифференциальному исчислению в случае функции одной переменной
- •Решение задачи № 1
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 3
- •Решение задачи № 4
- •Примерный вариант контрольной работы № 4 по интегральному исчислению в случае функции одной переменной
- •Решение задачи № 1
- •Решение примера а)
- •Решение примера в)
- •Решение задачи № 2
- •Решение задачи № 4
- •Решение задачи № 4
- •Контрольная работа № 3 по дифференциальному исчислению функций одной переменной
- •Контрольная работа № 4 по интегральному исчислению функции одной переменной
- •Рекомендуемая литература
- •Оглавление
- •Диффренциальное и интегральное исчисление в случае функцииодной переменной
- •190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Решение примера в)
В этом примере применяются методы интегрирования тригонометрических функций (см. [1], [2] и [6]).
Для вычисления интеграла применим следующие тригонометрические формулы
и
Тогда
Последний интеграл вычислим с помощью замены переменной
Тогда иВ результате получаем
Ответ примера в):
Решение задачи № 2
В этой задаче нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Построим заданную фигуру (см. рис. 3). Найдем точки пересечения указанных в условии линий. Решим для этого систему уравнений
Она равносильна системе
откуда
Уравнение задает прямую, которая проходит через две найденные точкиc координатами и.
Уравнение параболы приведём к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной,
Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид
из которого видно, что парабола имеет осью симметрии вертикальную прямую , вершину в точкеи ветви параболы направлены вверх (в направлении оси).
Для того, чтобы найти площадь построенной фигуры, надо сначала составить выражение бесконечно малого элемента искомой площади, а затем проинтегрировать полученный результат в пределах изменения аргумента (см. [7]).
Обозначим бесконечно малый элемент площади через .
Он равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 3, со сторонами и, т.е.
Так как и, то
Искомую площадь получаем, проинтегрировав полученный результат в пределах изменения переменной отдо. Тогда
Решение задачи № 4
В данной задаче нужно вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси плоской фигуры, ограниченной параболойи прямой
Чтобы построить параболу, ее уравнение
(1)
приведём к каноническому виду, выделяя полный квадрат по переменной :
,
. (2)
Следовательно, парабола имеет ось симметрии , вершину в точке. Ветви параболы направлены вниз (в направлении, противоположном положительному направлению оси). Кривая пересекает осьв точкахи. Заданная фигура заштрихована на рис. 4 (а). Вращая её вокруг оси, получим тело с полостью.
Найдем объем тела вращения. Для этого составим выражение бесконечно малого элемента объема, а затем проинтегрируем полученный результат в пределах изменения аргумента (см. [7]).
Бесконечно малый элемент искомого объема равен объему кольцевого цилиндра с внешним радиусом, внутренним радиусоми высотой(см. рис. 4 (б), на котором выделен затененный цилиндр):
(3)
Рассечём тело вращения плоскостью, перпендикулярной оси . В сечении получим кольцо (рис. 4 (б)), которое является основанием нашего бесконечно тонкого кольцевого цилиндра. Чтобы определить внутреннийи внешнийрадиусы этого кольца, вернемся к уравнению параболы. Из уравнения (2) найдём
,
следовательно,
Очевидно, что первая функция задает внешний радиус кольца, а вторая – внутренний, т.е.
и
Найдём бесконечно малый элемент искомого объёма по формуле (3):
.
Для вычисления объёма тела вращения проинтегрируем полученный результат по переменной . Тогда
.
Для вычисления интеграла сделаем подстановку и используем теорему о замене переменной.
Найдем пределы интегрирования по переменной : если, тоесли, то
Так как тои в результате получаем