Решение задачи № 2

В этой задаче требуется найти производную функции , заданную параметрическими уравнениями:

Для этого воспользуемся формулой

которая позволяет вычислить значение производной от функции, заданной в параметрической форме, не находя непосредственной зависимостиот.

Вычислим производные и

Следовательно,

Обращаем Ваше внимание, что производная от функции, заданной в параметрической форме, также оказывается функцией, заданной в параметрической форме:

Замечание. Пусть параметр меняется в интервале:Тогда переменнаяменяется в интервале:и (в нашем случае, исключая параметриз параметрических уравнений) можно получить явное задание функциии ее производной

Решение задачи № 3

В этой задаче требуется показать, что функция является решением дифференциального уравнения второго порядка

Для этого нужно найти её первую и вторую производные, подставить их в левую часть уравнения и убедиться в справедливости полученного равенства.

Используя цепное правило, вычислим предварительно производные следующих сложных функций:

и

Тогда

Вычислим вторую производную. По определению вторая производная есть первая производная от первой производной.

Подставим теперь функцию и найденные ее производные в левую часть уравнения:

( вынесем общий множитель и сгруппируем слагаемые, содержащие функциии)

Равенство нулю значения левой части уравнения показывает, что функция является его решением.

Решение задачи № 4

Напомним одно из определений производной и ее геометрический смысл.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиФункция имеет производнуюв точкеесли она допускает следующее представление

где

или, что то же самое,

непрерывна в точке и

График линейной функции

где

есть прямая, которая называется касательной к графику функции в точке

Если касательная составляет угол с положительным направлением оситочисло и называетсяугловым коэффициентом (или наклоном) касательной (см. рис. 1).

Число же

указывает ошибку, которую мы допускаем, если при вычислении значения в точках, близких к, заменяем график функцииеё касательной в точке

Приступим к решению нашей задачи. Для этого найдем координаты точки касания Так какодновременно является точкой пересечения параболы с осьюто абсциссаи, следовательно, ордината точки касания

Найдем угловой коэффициент касательной Для этого вычислим производнуюи найдем ее значение в точке, таким образом,

Уравнение касательной к параболе в точке с угловым коэффициентомбудет иметь вид

или

Осталось построить параболу и ее касательнуюв декартовой системе координат.

Прямую строим по двум точками(см. рис. 2).

Парабола имеет вершину в точкеи ее ветви направлены вверх. Прямаяявляется осью симметрии параболы.

Решение задачи № 5

Условимся, что при решении задач, использующих размерные величины, будем применять основные единицы измерения международной системы СИ.

Напомним механический смысл первой и второй производных.

Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль прямой (прямолинейное движение). Под частицей понимается тело, размерами которого можно пренебречь, так что его можно считать математической точкой. Выберем на прямой, по которой движется наша точка, точку и положительное направление. Длину будем измерять в метрах, а время в секундах. Выберем, далее, момент времени, начиная с которого отсчитывается время.

Таким образом, предполагаем, что частица движется вдоль числовой прямой и это движение описывается функцией сопоставляющей каждому моменту временикоординатучастицы в этот момент.

Тогда

скорость частицы есть первая производная пути по времени:

ускорение частицы есть первая производная скорости по времени:или

вторая производная пути по времени:

Здесь использованы для производных «громоздкие» обозначения Лейбница, которые позволяют легко определить размерность скорости и ускорения при любом выборе единиц измерения, в нашем случае и(квадратные скобки используются для обозначения размерности величины, стоящей внутри них).Компактные обозначения производных Лагранжаитакими достоинствами не обладают.

Приступим к решению нашей задачи. Так как тело (частица) движется прямолинейно по закону то его скорость

ускорение

Вычислим скорость и ускорение в момент времени с:

( скорость есть векторная величина, отрицательное ее значение соответствует направлению, противоположному выбранному нами положительному направлению на прямой);