Расчётно-графическая работа №4. Устойчивость центрально-сжатых стержней.
Задание: Подобрать поперечное сечение стержня из условия устойчивости (возможно несколько попыток). Определить величину критической силы и коэффициента запаса устойчивости. Принять значения: модуля продольной упругости для стали Е = 2.06 ∙ 105 МПа; то же для чугуна Е = 1 ∙ 105 МПа, расчётного сопротивления для стали R = 240 МПа, то же для чугуна R = 200 МПа, коэффициент условий работы γс = 1, предельной гибкости: для стали λпред. = 100, для чугуна λпред. = 80. Исходные данные к задаче определить по таблице № 4. и схемам, представленным на рис.4.1. и 4.2.
Таблица 4.
|
Первая цифра шифра |
F1 кн |
Вторая цифра шифра |
h м |
№ схемы |
Третья цифра шифра
|
Тип сечения |
|
0 |
240 |
0 |
4 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
340 |
1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
320 |
2 |
4 |
3 |
2 |
2 |
|
3 |
300 |
3 |
5 |
4 |
3 |
3 |
|
4 |
260 |
4 |
6 |
1 |
4 |
4 |
|
5 |
350 |
5 |
5 |
3 |
5 |
5 |
|
6 |
300 |
6 |
3 |
2 |
6 |
6 |
|
7 |
340 |
7 |
4 |
4 |
7 |
7 |
|
8 |
350 |
8 |
5 |
3 |
8 |
8 |
|
9 |
280 |
9 |
4.4 |
1 |
9 |
9 |
Рис.4.1. Номера схем.
Рис.4.2. Номера сечений.
Последовательность расчёта:
1. Изобразить в масштабе расчётную схему с указанием размеров и нагрузки.
2. Записать условие
устойчивости: σ=
≤
R∙
φ
3. Произвести первую
попытку подбора сечения, задавшись
произвольным значением коэффициента
продольного изгиба φ.
Определить необходимую площадь сечения:
A=
;назначить
размеры сечения, определить гибкость
стержня, коэффициент продольного изгиба
φ
( по таблице приложения 5). Проверить
устойчивость стержня.
4. Если устойчивость стержня не удовлетворяет требованиям норм, произвести вторую попытку подбора сечения.
5. Выбрав необходимое
сечение стержня, следует определить
величину критической силы. Для этого
надо сравнить гибкость стержня λ
с предельной гибкостью λпред.
для данного
материала и выбрать формулу для
определения критической силы: если λ
>
λпред.
, следует
определять критическую силу по формуле
Л.Эйлера: Fкр.=
;
если λ
<
λпред. ,
следует определять критическую силу
по формуле Ф.С.Ясинского;
σкр.=
а –
в ∙
λ - с
∙ λ2
;Fкр
= σкр
∙ А.
Принять: для стали:
а =
31
; в= 0.114
;с
= 0;
для чугуна:
а
= 76.1
;в
= 1.177
;с
= 0.0052
;
Примеры расчёта: Задача 4.1.1.
Подобрать равноустойчивое сечение из 4-х равнополочных уголков из условия устойчивости. Определить величину критической силы для этого сечения и коэффициент запаса устойчивости. F = 350 кн, h = 4.2м, R = 240 МПа, γс = 1; λпред. = 100.
• условие
устойчивости: σ
=
≤ γс
R∙
φ;
A=
;R
= 240 МПа = 24
;
• условие
устойчивости: σ
=
≤ γс
R∙
φ;
A=
;R
= 240 МПа = 24
;
• Первая попытка:
принимаем φ1
= 0.7; A
=
=20.83 см2
;
Выбираем 4 уголка ∟56×5; A = 5.41 ∙ 4 = 21.64 см2 ;
Проверяем
устойчивость: λ
=
;µ =
1.0; l
= 420 см; Iтабл
= 16 см4
; Атабл.=
5.41см2;
z0
= 5.41см;
Сечение равноустойчиво, поэтому: Imin = Imax = I = 4(Iтабл. + аi 2 ∙Аi);
i
min
=
=
i
max
= i
; а
=
5.6 – 1.57 = 4.03 см;
I
= 4(16
+
4.032
∙ 5.41) = 415.45 см4;
i
=
=
4.38см;
λ
=
=
95.9;
из таблицы приложения
4 находим: φ
= 0.612 -
5.9 = 0.571;
σ
=
=28.32 >
24
;
• Делаем вторую
попытку: φ2
=
=0.64; A
=
=22.8 см2;
Выбираем 4 уголка ∟63×5; A = 6.13 ∙4 = 24.52 см2 ; Проверяем устойчивость:
z0 = 6.13см; Атабл.= 6.13см2; Iтабл = 23.1см4 ; а = 6.3 – 1.74 = 4.56 см;
I
= 4(23.1
+ 4.562
∙ 6.13) = 602.26см4;
i
=
= 4.96см;
λ
=
=84.69;
φ =
0.686 -
∙4.69 = 0.65;
σ
=
=21.96 <
24
;
• Вывод: выбираем ∟63×5;
• Определяем величину критической силы: λ = 84.69 < λпред.; (λпред. = 100);
Fкр. определяем по формуле Ф.С.Ясинского: σкр.= а – в ∙ λ - с ∙ λ2 ;
для стали:
а = 31
;в
= 0.114
; σкр.=
31 – 0.114 ∙ 84.68 = 21.35
;
σкр.=
;Fкр
= σкр
∙ А = 21.35
∙ 24.52 = 523.4 кн;
коэффициент запаса
устойчивости: к
уст. =
=
=1.5.
Задача 4.1.2.
Подобрать сечение чугунной трубы из условия устойчивости. Определить величину критической силы для этого сечения и коэффициент запаса устойчивости. F = 250 кн, h = 3.2 м, Е = 1 ∙ 105 МПа, R = 200 МПа, γс = 1; λпред. = 80.
• условие
устойчивости: σ
=
≤ γс
R∙
φ; A=
;R
= 200 МПа = 20
;
• Первая попытка:
принимаем φ1
= 0.7; A=
=17.86 см2
; d
= 0.8D;
A
=
=
(D2
– (0.8 D)2
) = 0.2824 D2
= 17.86см2;
D
= 7.95см;
принимаем D
= 8 см; d
= 6.4см;
Проверяем
устойчивость: λ
=
;µ =
0.7;
l
= 320
см;
cечение равноустойчиво, поэтому
I
min
= Imax
=
I
=
=
(84
- 6.44)
= 118.65см4;
A
=
(82
– 6.42)
= 18.1 см2;
i
=
=
=
2.56см;
λ
=
=87.5; φ
= 0.686 -
7.5 = 0.63;
σ
=
=21.92
> 20
;
• Делаем вторую
попытку: φ2
=
=0.68; A
=
=18.38
см2;
A
=
(D2
– (0.8 D)2)
= 0.2824 D2
= 18.38см2 =
0.2824 D2;
принимаем
D
= 8.2см; d
= 6.6см; A=
=18.6 см2;
I
=
=
(8.24
- 6.64)
= 128.72см4;
i
=
=
=
2.63см; λ
=
=85.17;
φ =
0.686 -
5.17 = 0.65; σ
=
=20.67
> 20
;
% перегрузки:
100%
= 3.35%< 5%,
что допустимо.
Следовательно, принимаем окончательно D = 8.2см; d = 6.6см;
• Определяем величину критической силы: λпред. = 80; λ = 85.17 > 80;
Fкр. определяем по формуле Л.Эйлера
Fкр
=
=
=
252.94 кн
коэффициент запаса
устойчивости: к
уст. =
=
=1.01<
1.5
поэтому размеры поперечного сечения следует пересмотреть, что не входит в данное задание.