Метод Ньютона (касательных).
Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки, где есть только один корень.
Обозначим найденный промежуток локализации [a;b], на этом промежутке должны выполняться два условия:
Функция y(x) непрерывна на [a;b]
y(a)*y(b)<0, т.е. функция имеет разные знаки на концах промежутка.
Метод Ньютона является итерационным методом. В любом итерационном методе выбирается начальное приближение к корню , затем определяетсяx1x2…xixi+1, причем.
Процедура прекращается при условии xi+1–xi │≤ ε, где ε - точность вычисления корня, некое малое число. В наших лабораторных работах выберем=0,0005.
Начальное значение определяется по правилу:
Пусть, например, =b
Рис. 10
На рис.10 показан график функции y(x) на промежутке локализации [a;b]. Нас интересует точка пересечения графика функции с осьюOX.
Шаг 1. Для нахождения точкиx1проведем касательную кy(x) в точке (,y()).x1– точка пересечения касательной с осьюOX.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK.
Сторона ,, сторона
Тогда
Шаг 2.Необходимо сравнитьиx1. Если, то будем считать, что корень найден и равенx1, если, то необходимо провести касательную кy(x) в точке (x1,y(x1)) и вычислить.
.Шаг i.Вычислятьxi+1по формуле:
До тех пор, пока станет меньше.
Численный пример.
Рассмотрим функцию Z(x)= tg(x) – x +2. Как было установлено, промежуток локализации корня для этой функции от -2 до -1.5, а=-2,b=-1.5 Требуется вычислить корень функции с точностью ε = 0.0001 Сначала необходимо найти первую и вторую производные
В качестве начального приближения x0выберем значение -1.5 (x0=-1.5), так как знаки функции и ее второй производной совпадают (Z(-1.5) = -10.6Z’’(-1.5)= -0.0005).
Сначала найдем корень функции без использования компьютера. Чтобы ограничить количество итераций определим с точность ε=0.05.
Шаг 1. Вычислим х1.
Z(x0)= -10.6014, первая производнаяz’(x0) = 198.86
│x1–x0│= 0.054. Поскольку требуемая точность не достигнута, продолжаем вычисления.
Шаг 2.
Z(x1)=-4.569,Z’(x1) = 64.256
│x2–x1│= 0.07 > 0.05
Шаг 3
Z(x2)=-1.681,Z’(x2)= 25.575
│x3–x2│= 0.067 >0.05
IШаг 4.
Z(x3)=-0.435,Z’(x3)=14.02
│x4–x3│=0.021 <0.05, поэтому считаем, что корень найден и равен -1.2878,Z(-1.287)=0.04
Для вычислений на компьютере выберем точность 0.0001
В таблице 4 представлены вычисления на рабочем листе MSExcel
В колонке Ауказывается номер итерацииi, в колонкеВ– значениеxi, в колонкахCиDрассчитываются значения функцииZ(xi)и ее производнойZ’(xi)
Разность между х6и х5(│х6- х5│= 0.00007) по абсолютному значению меньше заданной точности ε = 0.0001, поэтому считаем, что кореньZ(x) = -1.274.
Таблица 4
A
|
B |
C |
D |
| |
=B101-C101/D101 |
=TAN(B101)-B101+2 |
|
|
=1/COS(B101)^2-1
| |
|
|
| |||
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
100 |
i |
Xi |
Z(Xi) |
Z'(Xi) |
|
101 |
0 |
-1.5 |
-10.60142 |
198.85004 |
|
102 |
1 |
-1.44669 |
-4.56927 |
64.25558 |
|
103 |
2 |
-1.37558 |
-1.68159 |
25.57491 |
|
104 |
3 |
-1.30982 |
-0.43461 |
14.02079 |
|
105 |
4 |
-1.27883 |
-0.04830 |
11.06979 |
|
106 |
5 |
-1.27446 |
-0.00075 |
10.72704 |
|
107 |
6 |
-1.27439 |
0.00000 |
10.72165 |
|
|
Корень |
|
|
|