Как понимать квантовую механику

Согласованность возможна при

Ca = ±Cb,

если разность аргументов синуса составляет целое число полупериодов:

На фазовой плоскости (x, p) интеграл от a до b представляет собой интеграл по полупериоду — половину площади траектории, ограниченной кривой (x(t), p(t)). Пройдя из a в b частице, чтобы замкнуть период, надо еще¨ вернуться обратно, при этом импульс будет принимать те же значения с противоположным знаком −p(x). Поэтому правило квантования обычно

пишут через интеграл по периоду

8

Это правило называют правилом (квазиклассического) квантования Бора – Зоммерфельда. Исторически оно предшествовало созданию последовательной квантовой теории и было одним из основных положений так называемой старой квантовой механики.

Мы можем обобщить правило Бора – Зоммерфельда, записав

8

Здесь ϕa и ϕb — фазы волновой функции вблизи точек поворота (ϕ0 в уравнении (13.31)).

13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектра

Оценим интервал между соседними уровнями энергии при условии применимости правила квазиклассического квантования Бора – Зоммерфельда.

здесь J[E, x(l)] — адиабатический инвариант, как функция энергии и траектории в конфигурационном пространстве.

Проварьируем это равенство:

=0 на классич. x(l)

Вариация по траектории для решений классических уравнений движения дает¨ нуль. Остается¨

8Γ

Здесь v = |mp| = dtdl — скорость.

T = 2ωπ — период классического движения по траектории Γ.

Пусть δn = 1, что соответствует изменению номера уровня на один, тогда δE — расстояние между уровнями:

Спектральная плотность — число уровней на единичный интервал энергии — величина, обратная к δE:

ρ(E) = δE1 = ¯hω1 .

δE соответствует также энергии фотона, который должна излучить частица, чтобы перейти на уровень ниже, а ω — частота этого фотона, которая оказывается равна частоте обращения частицы. Это равенство частоты обращения частицы и частоты излучаемой электромагнитной волны естественно в классической электродинамике, но в квантовой механике частота фотона связана исключительно с его энергией. В квазиклассическом пределе эти частоты совпали, т. е. предсказания квантовой механики переходят в предсказания классической теории, как и должно быть согласно принципу соответствия.

13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассике

Применяя правило квантования Бора – Зоммерфельда (13.38) или (13.39), мы можем получить «лишние» состояния дискретного спектра, которых с точки зрения квантовой механики быть не должно. Эти состояния соответствуют классическому периодическому движению с энергией, для которой возможно также убегание частицы на бесконечность (см. рис. 13.5).

U(x), E

x

Рис. 13.5. Стационарные (сплошные) и квазистационарные (пунктирные) уровни.

Эти «лишные» уровни — квазистационарные состояния. В соответствии с классической теорией помещенная¨ в квазистационарное состояние система может на протяжении длительного времени оставаться в этом состоянии, однако на больших временах проявляются квантовые свойства, и система может протуннелировать через потенциальный барьер и уйти на бесконечность.

Для широкого барьера мы имеем коэффициент отражения, близкий к 1, т. е. суперпозиция падающей и отраженной¨ волн приблизительно задается¨ через sin, как у границы потенциальной ямы (13.33). При этом внутри барьера, как и ранее при рассмотрении потенциальной ямы, преобладает затухающая экспонента.

Величина экспоненты внутри барьера снижается в e−L раз. Поскольку эта величина связана с амплитудой вероятности, то соответствующий вклад в коэффициент прохождения составляет

D0 = e−2L.

Однако мы пока не учли вклад в коэффициент прохождения предэкспо-

зиклассическую волновую функцию»), предэкспоненциальный множитель учитывает переменную скорость частицы, летящей в переменном потенциале, тогда как экспонента задает¨ поток частиц. Таким образом, изменение предэкспоненциального множителя не дает¨ вклада в поток и коэффициент прохождения.

Условия сшивки волновой функции в точках входа и выхода могут дать дополнительные множители порядка 1:

D = D0 · Da · Db, Da, Db 1.

Если точки входа и выхода «устроены одинаково», и в окрестностях обоих потенциал может быть приближен линейной функцией, то, в силу симметрии входа в барьер и выхода из него,

Заметим, что формулу (13.40) мы не столько вывели, сколько угадали. Строгий вывод требует более аккуратного рассмотрения условий сшивки в точках входа и выхода, и в частности доказательства возможности пренебречь внутри барьера возрастающим членом волновой функции.

Если мы имеем потенциальную яму, разделенную¨ барьером на две половины, то туннелирование через барьер приводит к тому, что система, помещенная¨ в одну половину ямы, начинает колебаться, поочередно¨ туннелируя туда-сюда. Такое состояние называют инстантоном.

Инстантоны возникают в различных задачах теории конденсированного состояния и квантовой теории поля, они, в частности, могут возникать при спонтанном нарушении симметрии как колебания вакуумного поля.

13.6. Сохранение вероятности и уравнение непрерывности

Как мы уже писали ранее (5.1.1 «Унитарная эволюция и сохранение вероятности»), сохранение полной вероятности является одним из фундаментальных принципов квантовой теории. При этом сохранение полной вероятности (вместе с линейностью и обратимостью) приводит к унитарности эволюции замкнутой системы.

Однако полная вероятность может быть записана как интеграл от плотности вероятности в конфигурационном пространстве. В силу непрерывности уравнений квантовой механики представляется интересным переписать условие сохранения вероятности в дифференциальной форме, как уравнение непрерывности для плотности вероятности.

Таким образом, мы имеем вектор состояния, заданный как волновая функция ψ(Q) на конфигурационном пространстве. Здесь Q — совокупность обобщенных¨ координат Qn (координат в конфигурационном пространстве).

Мы знаем, что

ятности.

Стоящая перед нами задача — выразить j через ψ и показать, что найденное выражение удовлетворяет уравнению непрерывности (13.41).

13.6.1. Как угадать и запомнить плотность потока вероятности

Прежде чем приступать к строгим выкладкам, угадаем ответ. Для классического распределения частиц

j(Q) = (Q) v(Q),

где v(Q) — скорость частиц в данной точке. Для волны де Бройля

pψˆ = pψ = mv ψ.

Эта же формула приближенно¨ справедлива для квазиклассической волновой функции, но теперь v уже является функцией от координат:

pψˆ (Q) ≈ mv(Q) ψ(Q).

Умножая полученную формулу на ψ (Q), получаем

ψ (Q) pψˆ (Q) ≈ mv ψ(Q) ψ (Q) = mv ρ(Q).

Таким образом, для волн де Бройля мы можем написать

j(Q) = ρ(Q) v(Q) = m1 ψ (Q) pψˆ (Q).

Эта же формула должна быть по крайней мере приближенно¨ справедлива для квазиклассических волновых функций, но выражение ψ (Q)pψˆ (Q) в общем случае является комплексным. Поэтому возьмем¨ от получившегося выражения вещественную часть. Новая гипотеза такова:

Если параметризовать волновую функцию через плотность вероятности ρ(x) = |ψ(x)2| и фазу ϕ(x) = arg ψ(x), то

ψ(x) = ρ(x) eiϕ(x) j = ρ(x) ¯h ϕ(x), (13.43)

m

скорость