Как понимать квантовую механику

ГЛАВА 13

Переход от квантовой механики к классической

Согласно принципу соответствия (2.4 «Принцип соответствия (ф)») квантовомеханическое и классическое описания природы должны соответствовать друг другу в области применимости обоих теорий, т. е. они должны давать для таких случаев согласующиеся предсказания.

Это соответствие проявляется в целом ряде теорем и утверждений, некоторые из которых будут обсуждаться далее, однако было бы неверно сводить все¨ соответствие, например, к теореме Эренфеста. Формальный предел ¯h → 0 вовсе не исчерпывает вопроса о получении классической механики из квантовой. Соответствие квантовой механики и классической — сложный вопрос, предполагающий обращение к основам обоих теорий, включая скользкие вопросы интерпретации квантовой механики. Более того, во многих случаях заранее не ясно, в чем¨ именно состоит соответствие между двумя теориями, а также есть ли это соответствие вообще, или в каком-то вопросе две теории радикально расходятся между собой. Какой теории отдать предпочтение при таком расхождении также не всегда ясно: хотя квантовая механика более общая теория и квантовый взгляд на мир снимает многие классические проблемы, он приносит свои собственные проблемы, связанные с интерпретацией квантовых загадок и парадоксов.

13.1. Волны де Бройля. Фазовая и групповая скорость

На заре квантовой теории в 1923 году Луи де Бройль предложил рассматривать частицу как волну с волновым вектором, выражаемым через импульс и циклической частотой, выражаемой через энергию:

применимости классической механики как область применимости приближения волновых пакетов.

Следует, однако, отметить, что простая замена частицы волновым пакетом в обычном пространстве, или даже замена системы волновым пакетом в конфигурационном пространстве, не описывает исчерпывающим образом перехода от квантовой механики к классической. Для большинства систем волновой пакет за конечное время расплывется¨ до макроскопических размеров. Например, можно было бы ожидать, со времени своего возникновения планеты существенно «размазались» по орбитам вокруг Солнца, что плохо соотносится с классической картиной. Чтобы предотвратить это расплывание, следует время от времени включать какую-то процедуру измерения.

Расплывание волновых пакетов имеет свой аналог и в классической механике (расплывание облака вероятностей), понимаемой как теория эволюции распределений вероятностей для классической системы (см. раздел 2.5.1 «Вероятностная природа классической механики (ф)»).

13.2. Что такое функция от операторов?

При рассмотрении соответствия между квантовой механикой и классической часто встречаются выражения типа «классический гамильтониан, в который в качестве аргументов подставлены квантовые операторы». С точки зрения строгого математического понятия функции такое выражение бессмысленно: функция — это правило, которое ставит в соответствие объекту из области определения функций объект из области ее¨ значений. Для классической наблюдаемой мы можем записать:

При этом конкретный способ описания соответствия значения функции значению аргумента может быть различен: явная алгебраическая формула, неявная формула (значение функции — корень алгебраического уравнения), задание в квадратурах (через определенные¨ интегралы), задание функции как решения дифференциального уравнения, задание функции таблицей значений, или графиком.

Поскольку набор операторов, который нам надо подставлять в функцию числовых аргументов, не входит в область определения (не является набором чисел), то, строго говоря, вычислить функцию с такими аргументами невозможно.

Тем не менее, в некоторых случаях мы можем обобщить (доопределить) функции числовых аргументов на операторные аргументы определенного¨ вида, хотя такое соответствие часто не будет взаимнооднозначным.

13.2.1. Степенные ряды и полиномы коммутирующих аргументов

Простейший случай, с которым мы можем столкнуться, — доопределение числовой функции на наборе взаимнокоммутирующих операторов. Порядок умножения таких операторов не имеет значения. Так что если исходная функция зада¨ется полиномом или степенным рядом (хотя бы формальным рядом), мы можем определить оператор, являющийся значением функции как ряд (полином) по степеням соответствующих операторов.

Таким образом мы определяем, например, такие операторы, как

• K(pˆ) = pˆ2 — кинетическая энергия,

2m

•U (ˆx) — потенциальная энергия (если функция U (x) может быть задана рядом или полиномом),

•ei ¯ha pˆ — оператор сдвига по координате,

•e−i ¯hb qˆ — оператор сдвига по импульсу,

aˆ

•ei ¯h (pˆz +p0lz ) — оператор винтового сдвига.

13.2.2. Функции одновременно диагонализуемых операторов

Иногда операторные аргументы задаются коммутирующими операторами, которые при этом еще¨ и одновременно диагонализуемы выбором со-

ˆ

ответствующего базиса. Это относится к набору Ak взаимнокоммутирующих эрмитовых, антиэрмитовых и унитарных операторов2.

2Взаимнокоммутирующие нормальные операторы не всегда можно одновременно диагонализовать. Например, [ˆx + iy,ˆ pˆx + ipˆy ] = 0, но операторы xˆ + iyˆ и pˆx + ipˆy одновременно не диагонализуются. Для нормальных операторов как достаточное условие одновременной диагонализации можно дополнительно потребовать коммутируемость сопряженных¨ операторов, или эрмитовых и антиэрмитовых частей.

Для такого набора операторов мы можем доопределить более широкий набор функций.

Разбиваем пространство состояний H в сумму максимальных соб-

ˆ

ственных подпространств нашего набора операторов Ak:

3

H = Hi

i

(индекс i может быть как дискретным, так и непрерывным).

При этом любой вектор из Hi является собственным для всех опера-

ˆ

торов Ak:

ψ Hi, Akψ = αkiψ.

Максимальность собственных подпространств означает, что любой

ˆ

общий собственный вектор операторов Ak попадает в одно из подпространств.

ˆ

Мы определяем оператор-функцию F (Ak) так, что все подпространства Hi являются для него собственными, с собственными числами, вы-

ˆ

числяемыми по собственным числам операторов Ak с помощью исходной функции F :

Если функция представляет собой степенной ряд или полином, то это определение согласуется с приведенным¨ выше определением через формальные ряды (полиномы), но на одновременно диагонализуемых операторах мы можем определять функции, не разложимые в ряд, включая разрывные, например, θ-функцию (ступеньку).

Условие максимальности подпространств нужно только если мы имеем дело с неоднозначными функциями (корень, логарифм и т. п.). Оно гаран-

ˆ

тирует, что все общие собственные векторы операторов Ak будут собствен-

ˆ

ными для оператора F (Ak), какие бы ветви мы не выбирали на каждом подпространстве.

Мы можем использовать это определение функции от оператора для определения разрывных потенциалов, проекторов на собственные подпространства и для проекторнозначных мер (5.3.1 «Проекторнозначная мера**»). Условие максимальности собственных подпространств было важно при определении квазиимпульса (11.4.3 «Квазиимпульс*»).

13.2.3. Функции некоммутирующих аргументов

Функции от некоммутирующих аргументов не могут быть доопределены однозначно. Результат доопределения всегда зависит от того, какой

именно формулой представляется исходная функция. Например, если к исходной формуле прибавить член, пропорциональный коммутатору аргументов, то формула будет давать те же значения на коммутирующих (в том числе числовых) аргументах, но значение на некоммутирующих аргументах изменится.

Функция, доопределенная¨ на эрмитовых аргументах, может не быть эрмитовой. Обычно для того, чтобы избежать этого вводится симметризованное произведение

которое по двум эрмитовым операторам снова дает¨ эрмитов. Однако и симметризованное произведение не устраняет неоднозначности: оно неассоциативно, т. е. возможна ситуация, когда

поэтому результат доопределения функции может зависеть от расстановки скобок, которые были неважны для коммутирующих аргументов.

Функции от некоммутирующих аргументов мы будем определять как некоторую комбинацию, построенную с помощью операций сложения, умножения на число, операторного умножения функций от коммутирующих аргументов (их мы обсудили выше в разделах 13.2.1 и 13.2.2).

13.2.4. Производная по операторному аргументу

Для того, чтобы взять производную от функции, надо, чтобы аргументу функции можно было дать бесконечномалое приращение, т. е. аргумент функции должен непрерывно меняться. Когда мы доопределяем функцию на фиксированном наборе операторов, то процедура доопределения зависит от того, какие именно операторы мы взяли в качестве аргументов, кроме того, эта процедура может зависеть от нашего произвола (часто дискретного произвола). В таких условиях правильнее считать, что мы имеем не операторную функцию операторнозначных аргументов, а один-единственный

ˆ

оператор F (Ak), который выражен через фиксированный набор операто-

ˆ

ров Ak. Говорить о производной от операторнозначной функции по операторному аргументу в данном случае, строго говоря (используя обычный смысл понятия производной), нельзя.

Прежде чем определять производную по операторному аргументу, полезно понять, зачем вообще нам такая производная может понадобиться.

удовлетворяют некоммутативному правилу Лейбница

и соответствуют обычным формальным производным благодаря свойству

∂xˆi = δij . ∂xˆj

Если функция задана как ряд или полином от своих аргументов, то такие производные можно брать как формальные производные по правилу (проверьте через коммутаторы!)

∂xˆn = nxˆn−1. ∂xˆ

ˆ

Если задана функция F (Ak) одновременно диагонализуемых аргумен-

ˆ

тов Ak, то дифференцирование снова может быть выполнено формально, но уже по другому правилу: дифференцируется по соответствующему (числовому) аргументу xk исходная (числовая) функция F (x):

Fk(x) = ∂F (x) . ∂xk

После чего в производную подставляются (в прежнем смысле) операторные аргументы:

Для функции некоммутирующих аргументов дифференцирование также может выполняться формально, при условии, что применяется некоммутативное правило Лейбница (с учетом¨ порядка сомножителей).

Такого рода производные по операторному аргументу могут применяться не только по координатам и импульсам. Например, осцилляторные операторы подходят ничуть не хуже

[ˆai, aˆ†j ] = δij , [ˆai, aˆj ] = [ˆa†i , aˆ†j ] = 0,

Формально дифференцирование операторных функций создает¨ соблазн применять его без должного обоснования, однако для произвольных операторов оно может быть определено неоднозначно, возьмем,¨ например,

сия, зарядовое сопряжение и т. п.). Следующая функция может быть определена разными способами:

Тогда формальная производная дает¨ разные ответы, в зависимости от способа определения функции:

13.3.Теорема Эренфеста

Всоответствии с данным выше определением производной по операторному аргументу (13.6) уравнения Гайзенберга для операторов координат и импульсов могут быть переписаны в виде, с точностью до шляпок аналогичном уравнениям Гамильтона:

И хотя мы сами вложили это свойство (13.5) в определение производной по операторному

аргументу, возможность выполнять дифферен- Рис. 13.1. Эренфест Павел цирование формально приводит к тому, что Сигизмундович (1880–1933).

производные с точностью до шляпок и ком- W мутаторов (если аргументы не коммутируют) совпадают с классическими выражениями.

Для сравнения с классическими уравнениями Гамильтона, возьмем¨ от обоих частей уравнений (13.8) средние. С учетом¨ того, что взятие полной

производной от оператора по времени по определению (5.19) перестановочно с квантовым усреднением, мы получаем теорему Эренфеста:

Можно сказать, что согласно теореме Эренфеста для систем, имеющих классические аналоги, уравнения Гамильтона выполняются в среднем.

При обсуждении уравнений Гамильтона (раздел 5.2.6) на примере движения (5.24) и расплывания (5.25) волнового пакета мы уже сравнивали эволюцию средних значений координаты и импульса с классической эволюцией и получили полное соответствие. Для гармонического осциллятора мы также получили, что средние координаты и импульсы ведут себя классическим образом (12.39).

Для того, чтобы эволюция средних значений соответствовала классической динамики, должно выполняться условие

Оно выполняется только для квадратичных гамильтонианов (производные от которых линейны). В случае общего положения

F (q,ˆ pˆ) =F ( qˆ , pˆ ).

Уравнения (13.10) могут выполняться приблизительно, если неопределенности¨ координат и импульсов достаточно малы по сравнению с харак-

терным масштабом изменения функций ∂H и ∂H . Более точное по сравне-

∂qi ∂pi

нию с классическим приближенное¨ описание может быть получено введением в правую часть поправок, учитывающих неопределенности¨ координат и импульсов.

13.3.1. Отличие от классического случая*

Негамильтонова эволюция средних координат и импульсов, которая может показаться особенностью квантовой теории, на самом деле, как отметил И. В. Волович, появляется уже в классической динамике, если рассматривать не отдельную фазовую траекторию (классическое чистое состояние), а распределение вероятностей по координатам и импульсам (классическое смешанное состояние).