|
|
Федеральное агентство по образованию орловский государственный технический университет факультет электроники и приборостроения |
Кафедра «Высшая математика»
О.В. Кирсанова, Л.В. Кузьмина
Дифференцирование
Методические указания
по выполнению типового расчета
Дисциплина – «Математика»
Для всех специальностей ОрелГТУ
Орел 2008
Авторы: ассистент кафедры «Высшая математика» О.В. Кирсанова,
старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Л.В. Кузьмина
Рецензент: доцент, кандидат технических наук, ОрелГТУ С.А. Власенко
Настоящие методические указания предназначены для, студентов I-го курса всех специальностей, выполняющих типовой расчет по теме «Дифференцирование».
Содержание
Введение 4
1 Общие указания к выполнению типового расчета 5
2 Примеры расчетных задач 8
2.1 Производная функции по определению 8
2.1.1 Задача 1. 8
2.2 Производные различных функций 10
2.2.1 Задача 5. 10
2.2.2 Задача 6. 11
2.2.3 Задача 7. 13
2.2.4 Задача 8. 15
2.2.5 Задача 9. 15
2.2.6 Задача 10. 17
2.2.7 Задача 11. 19
2.2.8 Задача 12. 20
2.2.9 Задача 13. 21
2.2.10 Задача 14. 22
2.3 Дифференциал 23
2.3.1 Задача 3. 23
2.3.2 Задача 4. 24
2.4 Производные высших порядков. 25
2.4.1 Задача 17. 25
2.4.2 Задача 18. 28
2.5 Производные функций, заданных параметрически 29
2.5.1 Задача 15. 29
2.5.2 Задача 19. 30
2.6 Уравнения касательной и нормали к кривой в точке 31
2.6.1 Задача 2. 31
2.6.2 Задача 16. 32
2.7 Приложение производной 34
2.7.1 Задача 20. 34
Литература 36
Приложение А 37
Приложение Б 39
Введение
Настоящие «Методические указания» предназначены для студентов 1 курса дневного и вечернего отделений, выполняющих типовые расчеты по теме «Дифференцирование».
В I разделе указаны общие рекомендации по выполнению заданий ТР. Во II разделе содержатся подробные разъяснения по каждому заданию, методы решения всех типов примеров, входящих в ТР. Решения задач сопровождаются краткими справками о необходимых формулах. Подробных пояснений теоретических положений не приводится, имея в виду, что студент найдет их в соответствующем разделе конспекта лекций или учебника; тщательно разобрав их, выучит и только после этого приступит к решению задач. В III разделе указана литература, рекомендуемая для выполнения заданий. Последний раздел содержит наиболее важные формулы по темам ТР. Этот раздел носит справочный характер.
Общие указания к выполнению типового расчета
В основном все задания типового расчета сводятся так или иначе, к нахождению производных функций, используя основные правила дифференцирования:
,
,
,
,
,
,
,
а также таблицу производных основных элементарных функций (Приложение А).
Для нахождения производной функции сначала необходимо рассмотреть ее структуру, т.е. последовательность операций (действий), которые выполняются при нахождении значения функции в точке.
Замечания
Нахождение производной многочленов, как правило, затруднений не вызывает, поэтому при составлении схемы структуры функций простейшим (начальным) элементом будем считать многочлен.
Так как дифференцирование производим по переменной
,
то выражения, не содержащие
,
являются константами.
Например,
.
Не всегда рационально сразу находить производную функции. В некоторых случаях желательно сначала преобразовать функцию, а только затем находить ее производную (чаще всего преобразовывают таким образом, чтобы из произведения (частного) получить сумму (разность)). Например,
Пример. Для данной функции найдите производную.
Составим схему структуры данной функции (рис. 1).
Для нахождения производной необходимо рассматривать действия начиная с последнего.
В данном примере это сложение, т.е. воспользуемся правилом нахождения производной суммы.
= [далее по стрелкам поднимаемся вверх: для первого слагаемого предыдущим действием было умножение, для второго – деление. Таким образом, для первого слагаемого используем правило нахождения производной произведения, для второго – частного] =
Рис. 1 Схема
=
Осталось найти производные следующих функций:
[Поднимаемся
в схеме по стрелкам вверх: нахождение
sin функции, т.е. воспользуемся производной
сложной функции]
[нахождение ln сложной функции ]=
=
,
,
.
Таким
образом,
Ответ:
