расчетное задание

Министерство образования и науки Российской Федерации

Алтайский Государственный Технический Университет

им. И.И.Ползунова

Факультет параллельного образования

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ ПО

ЭКОНОМЕТРИКЕ

Вариант – 88

Выполнила: Флек О.А.

студентка группы Эк(в)-231

Проверила: Гельфанд Е.М.

Барнаул 2014

Цена на зерно, в рулях за 1 кг Х1	Урожайность зерна, в центнерах с га Х2	Количество кроликов на ферме, в головах на 1 шед у
7	64	32
15	60	30
14	65	28
15	62	26
19	58	27
21	55	25
25	56	21
29	55	29
27	53	24
23	54	22

Примечание : Шед – это помещение, с клетками вдоль стен, их на ферме несколько.

1. Построение модели множественной регрессии

Нам необходимо построить уравнение множественной регрессии в простой стандартизированной форме.

Линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2 имеет вид:

у=а+b1*x1+b2*x2

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизированном масштабе:

ty= β1*tx1+β2*tx2

Для расчета В-коэффициентов необходимо рассчитать коэффициенты парной корреляции.

ryx1	-0,62341
ryx2	0,641054
rx1x2	-0,8911

С их помощью рассчитаем стандартизированные коэффициенты регрессии

β1	-0,253297369
β2	0,415341

И получаем уравнение в стандартизированной форме:

ty= -0,253297369*tx1+0,415341* tx2

Для построения уравнения в естественной форме рассчитываем параметры b1, b2 и a.

b1	-0,13009706
b2	0,337095
а	9,317973

Уравнение множественной регрессии в естественной форме имеет следующий вид:

у=9,317973-0,13009706*x1+0,337095*x2

Для характеристики относительной силы влияния цены на зерно(х1) и урожайности зерна(х2) на количество кроликов на ферме(у) нам необходимо рассчитать средний коэффициент эластичности.

Эух1	-0,09609442
Эух2	0,743141

При увеличении цены на зерно (х1) на 1% от своего среднего уровня, количество кроликов на ферме (у) уменьшается на 0,09609442% от своего среднего значения. С увеличение урожайности зерна (х2) на 1% от ее среднего уровня, количество кроликов на ферме возрастет на 0,743141% от своего среднего значения.

Сравнивая средние коэффициенты эластичности, видим, что Эух2>Эух1, также как β2> β1, то есть, что по среднему коэффициенту эластичности, что по коэффициенту регрессии, урожайность зерна сильнее влияет на количество кроликов на ферме, чем цена на зерно. Это можно объяснить тем, урожайность на зерно в большой степени обуславливает цену на него.

Найдем коэффициенты частной корреляции

	ryx1x2	-0,149769346
	ryx2x1	0,241059
	rx1x2y	-0,81897
Если сравнить значения парной корреляции ( ryx1=-0,62341, ryx2=0,641054, rx1x2=-0,8911) с коэффициентами частной корреляции, можно прийти к выводу, из-за тесной межфакторной связи (rx1x2=-0,8911) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются по абсолютному значению. Выводы по направлению связей совпадают. Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов ryxj и βj. Ryx1x2=0,651279 Зависимость количества кроликов на ферме(у) от цены на зерно(х1) и урожайности зерна(х2) характеризуется как умеренная, в которой 42% вариации количества кроликов на ферме определяются вариацией учтенных в модели факторов: ценой на зерно и урожайностью зерна. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 58% от общей вариации y. Для анализа среднего отклонения расчетных значений от фактических, рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации. Ā=7,94%, не превосходит 8-10%, значит, считается допустимой. Общий F-критерий проверяет гипотезу Но о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Fфакт=2,578117 Fтабл=3,4 Сравнивая Fфакт и Fтабл (Fфакт< Fтабл) мы приходим к выводу о необходимости принять гипотезу Но. Делаем вывод о статистической незначимости уравнения в целом и тесноты связи. Найдем значении частного F-критерия Fx1факт=0,160618816 Fx2факт=0,431861 Целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1 проверяем, сравнив Fx1факт и Fx2факт , оба критерия имеют низкое значение, но Fx1факт< Fx2факт, что свидетельствует о более низкой значимости прироста(даже о ее незначительности). Таким образом, можно прийти к выводу, что включение в регрессионную модель дополнительного фактора х1, не приведет к значительному улучшению данной модели.
2. Построение парных регрессионных моделей Построим 4 регрессионные модели по наиболее значимому фактору(х1) и результативному фактору (у). Линейная модель

Рассчитав параметры а и b(а= -3,880668258, b =0, 520286396), получим уравнение линейной модели:

у=-3,880668258+0, 520286396*х

Величина коэффициента регрессии b показывает, что с увеличением урожайности пшеницы на 1 центнер с гектара, количество кроликов на ферме увеличится в среднем на 0,52%-ных пункта.

Рассчитав линейный коэффициент парной корреляции:

rxy= 0,641054

Делаем вывод от том что зависимость между урожайностью зерна и количеством кроликов на ферме умеренная и прямая.

Для анализа среднего отклонения расчетных значений от фактических, рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации.

Ā=8,29%, не превосходит 10%, значит, считается допустимой.

Сравнив F факт= 5,58121 и Fтабл=5,32 Принимаем гипотезу о статистической значимости и надежности уравнения , т.к F факт>Fтабл.

Степенная модель

Рассчитав параметры а и b(а= 0,226036, b = 1,170111), получим уравнение степенной модели:

у=0,226036*х^1,170111

Рассчитав индекс корреляции:

рxy= 0,639498

Делаем вывод от том, что связь умеренная

Для анализа среднего отклонения расчетных значений от фактических, рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации.

Ā= 5,7418%, не превосходит 8-10%, значит, считается допустимой.

Сравнив F факт= 3,45963 и Fтабл=5,32 принимаем гипотезу о статистической незначимости и ненадежности уравнения , т.к F факт<Fтабл.

Показательная модель

Рассчитав параметры а и b(а= 8,262144, b = 1,020019), получим уравнение показательной модели:

у=8,262144*1,020019^x

Рассчитав индекс корреляции:

рxy= 0,637034

Делаем вывод от том, что связь умеренная

Для анализа среднего отклонения расчетных значений от фактических, рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации.

Ā= 5,7816%, не превосходит 8-10%, значит, считается допустимой.

Сравнив F факт= 3,414842 и Fтабл=5,32 принимаем гипотезу о статистической незначимости и ненадежности уравнения , т.к F факт<Fтабл.

Равносторонняя гипербола

Рассчитав параметры а и b(а= 57,57845 , b = -1805,84 ), получим уравнение равносторонней гиперболы:

у=57,57845 -1805,84/x

Рассчитав индекс корреляции:

рxy= 0,675492

Делаем вывод от том, что связь умеренная

Для анализа среднего отклонения расчетных значений от фактических, рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации.

Ā= 8,2637%, не превосходит 10%, значит, считается допустимой.

Сравнив F факт= 3,545862 и Fтабл=5,32 принимаем гипотезу о статистической незначимости и ненадежности уравнения , т.к F факт<Fтабл.

Построим на одном поле графики каждой модели и исходные данные точками

Построим таблицу с основными параметрами всех четырех моделей

	Ā	F факт	rxy
Линейная модель	8,29%	5,58121	0,641054
Степенная модель	5,7418%	3,45963	0,639498
Показательная модель	5,7816%	3,414842	0,637034
Равносторонняя гипербола	8,2637%,	3,545862	0,675492

Лучшей парной моделью является линейная, так как на ее значимость и надежность, указывает тот факт, что в ней F критерий Фишера больше Fфакт.

3. Проверка предпосылок МНК

1.Построим график остатков Ei в зависимости от теоретического значения.

y^	Ei
29,41766	2,582339
27,33652	2,663484
29,93795	-1,93795
28,37709	-2,37709
26,29594	0,704057
24,73508	0,264916
25,25537	-4,25537
24,73508	4,264916
23,69451	0,305489
24,2148	-2,2148

Точки расположены хаотично, следовательно, первый признак выполняется. 2. Средняя величина остатков равна нулю. Вторая посылка выполняется, т.е. остатки не будут накапливаться. 3. Проверка третье предпосылки сводится к проверке выполнения условий гомоскедастичности. Гомоскедастичность остатков, т.е. дисперсия остатков одинакова для каждого значения х. По методу Гольфельда-Квандтра упорядочиваем пары наблюдений по мере возрастания объясняющего фактора х2, разбиваем выборку на 2 группы, исключив вторые пары центральных наблюдений, для каждой группы получаем отдельные уравнения регрессий. у^=-73,64+1,82х2 у^=24,75+0,068 х2 Определяем остаточную сумму квадратов для первой и второй группы остатков, после чего находим их отношение, таким образом, чтобы оно было >1. Называем его R. Сравнив R с F табл. R=1,178786 < F табл=18,51, приходим к выводу о том, что третья предпосылка выполняется, имеет место гомоскедастичность. Проверим третью предпосылку еще одним способом. Для обнаружения гетероскедастичности существует тест ранговой корреляции Спирмана. Для него необходимо рассчитать ранговою корреляцию rx1e. Данные для расчета берем из таблицы x y Ei ni mi di 53 24 -5,417661098 1 3 -2 54 22 -5,336515513 2 2 0 55 25 -4,937947494 3,5 4 -0,5 55 29 0,622911695 3,5 8 -4,5 56 21 -5,295942721 5 1 4 58 27 2,264916468 6 6 0 60 30 4,744630072 7 9 -2 62 26 1,264916468 8 5 3 64 32 8,30548926 9 10 -1 65 28 3,785202864 10 7 3

rx1e=0,615152 Найдя rx1e , мы можем рассчитать t. t=2,206863981 tтабл=2,306 t знач<tтабл, значит гипотеза о доступности гетероскедастичности принимается, т.е. 3-я предпосылка выполняется. 4. Для проверки критерия наличия/отсутствия автокорреляции по критерию Дарбина-Уотсона, необходимо посчитать статистику Дарбина-Уотсона. Необходимые для расчета значения представлены в таблице. Ei Ei-E(i-1) (Ei-E(i-1))^2 Ei^2 1 -5,417661098 0,006585 29,35105 2 -5,336515513 0,081146 0,158856 28,4784 3 -4,937947494 0,398568 30,92315 24,38333 4 0,622911695 5,560859 35,03284 0,388019 5 -5,295942721 -5,91885 57,16659 28,04701 6 2,264916468 7,560859 6,14898 5,129847 7 4,744630072 2,479714 12,10841 22,51151 8 1,264916468 -3,47971 49,56967 1,600014 9 8,30548926 7,040573 20,43299 68,98115 10 3,785202864 -4,52029 14,32776 сумма 211,5481 223,1981

DW=0,947804, данное значение принадлежит интервалу «зона неопределенности» (0,604;1,001), т.к. d1=0,604, d2=1,001,

Зона наличия автокорреляции DWWWW

0 4

0,604 1,001 4 2,999 0,396

Таким образом, последняя предпосылка не выполняется. Таким образом, можно сделать вывод о том, что необходимо найти способы исправления для выполнения предпосылок.

Вывод: В ходе работы была подтверждена наша легенда, о том, что с увеличением урожайности зерна произойдет падение цен на зерно и оба эти фактора приведут росту количества кроликов на ферме. Приведенное исследование свидетельствует о том, что результаты можно исследовать, но т.к. частный F-критерий имеет низкое значение для обоих параметров, мы наблюдаем модель с не очень сильную зависимостью. Мы можем прийти к выводу о необходимости коррекции данных или увеличении количества исследований.

15