Тема 4.4 Линейная корреляция и коэффициент корреляции
При проведении некоторых химико-аналитических исследований возникает необходимость оценить характер и степень зависимости одной экспериментальной величины от другой или других исследуемых величин. С точки зрения математической статистики решение задач подобного рода направлено на установление корреляции между случайными величинами. Две случайные переменные могут быть связаны между собой, не находясь в функциональной зависимости. Такая связь называется корреляционной. В теории корреляции выделяют две основные задачи:
1) установить форму корреляционной зависимости;
2) оценить степень корреляционной зависимости.
Коэффициент корреляции служит мерой близости зависимости между двумя величинами к линейной x и y. Он рассчитывается по формуле
(4.4.1)
Где n- число данных (пар значений x,y );
Sx - стандартное отклонение x;
Sy - стандартное отклонение y;
средние
значения x
и
y.
Уравнение может быть записано в другой форме, которая более удобна для вычисления с помощью калькулятора
(4.4.2)
Наибольшее возможное значение r равно 1. В этом случае между двумя переменными имеется строгая линейная зависимость. Если значение r равно нулю, переменные можно считать полностью независимыми друг от друга. Наименьшее возможное значение r равно (-1). В этом случае между переменными также наблюдается строгая зависимость. Отрицательное значение коэффициента корреляции на то, что с возрастанием одной переменной другая переменная убывает.
Пример 4. С целью определения концентрации медного купороса в растворе отобрали 25 см3 пробы и прибавили к нему 10 см3 раствора KI с массовой долей 10 %. Выделившийся в эквивалентном количестве I2 оттитровали раствором тиосульфата натрия с молярной концентрацией эквивалента 0,05 моль/дм3 амперометрически.
Уравнения протекающих при этом реакций
2Cu2+ + 4I¯ = 2CuI+ I2
I2 + 2Na2S2O3 = 2NaI + Na2S4O3
Титрование проводили дозируя титрант по 0,5 см3 и записывая после каждой дозировки значение силы тока, mA. Результаты титрования в таблице 4.4.1.
Таблица-4.4.1- Результаты титрования
|
V (см3), Na2S2O3 (xi) |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
2,00 |
2,50 |
3,00 |
3,25 |
|
I, mA (yi) |
56,00 |
46,00 |
35,00 |
25,00 |
14,00 |
8,00 |
4,00 |
0,00 |
Рассчитать коэффициент корреляции величин х и у.
Решение. Для удобства вычислений составим таблицу расчетных значений
Таблица-4.4.2- Расчетные значения
|
№ n/n |
V(см3)Na2S2O3(x*) |
I,mA (y*) |
|
|
xi·yi |
|
1 |
0,00 |
56,00 |
0,00 |
3136 |
0,00 |
|
2 |
0,50 |
46,00 |
0,25 |
2116 |
23,00 |
|
3 |
1,00 |
35,00 |
1,00 |
1225 |
35,00 |
|
4 |
1,50 |
25,00 |
2,25 |
625 |
37,50 |
|
5 |
2,00 |
14,00 |
4,00 |
196 |
28,00 |
|
6 |
2,50 |
8,00 |
6,25 |
64 |
20,00 |
|
7 |
3,00 |
4,00 |
9,00 |
16 |
12,00 |
|
8 |
3,25 |
0,00 |
10,563 |
0 |
0,00 |
|
∑ |
13,75 |
188,00 |
33,313 |
7378 |
155,50 |
|
П р и м е ч а н и е- * далее в расчетах использованы обозначения х; у | |||||
Рассчитаем среднеарифметические значения х, у
;
По формуле 4.4.2 рассчитаем коэффициент корреляции.
Контрольное задание № 4
Рассчитать коэффициент корреляции величин, наблюдаемых при амперометрическом титровании раствором тиосульфата натрия йода, выделившегося в результате взаимодействия KI с сульфатом меди.
Таблица-4.4.1 Исходные данные по контрольному заданию № 4
|
Вариант № |
Результаты титрования | ||||||||
|
1 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,55 |
0,60 |
|
I(mA) |
64 |
54 |
46 |
35 |
24 |
15 |
5 |
0,00 | |
|
2 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,15 |
0,19 |
0,24 |
0,35 |
0,44 |
0,51 |
0,56 |
|
I(mA) |
50 |
46 |
33 |
30 |
14 |
8 |
6 |
0,00 | |
|
3 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,20 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,75 |
0,80 |
|
I(mA) |
65 |
50 |
40 |
30 |
20 |
10 |
5 |
0,00 | |
|
4 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,75 |
|
I(mA) |
70 |
50 |
40 |
30 |
25 |
18 |
10 |
0,00 | |
|
5 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,12 |
0,19 |
0,23 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,46 |
|
I(mA) |
56 |
46 |
35 |
25 |
14 |
8 |
4 |
0,00 | |
|
6 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,42 |
0,48 |
0,56 |
0,62 |
0,70 |
0,82 |
0,9 |
|
I(mA) |
68 |
56 |
45 |
35 |
17 |
9 |
3 |
0,00 | |
|
7 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,45 |
0,50 |
0,55 |
|
I(mA) |
45 |
35 |
28 |
20 |
14 |
10 |
5 |
0,00 | |
|
8 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,12 |
0,25 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,65 |
0,70 |
|
I(mA) |
57 |
48 |
42 |
28 |
20 |
12 |
6 |
0,00 | |
|
9 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,90 |
|
I(mA) |
65 |
58 |
50 |
42 |
30 |
22 |
5 |
0,00 | |
|
10 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
|
I(mA) |
68 |
61 |
52 |
42 |
25 |
15 |
6 |
0,00 | |
|
11 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,18 |
0,24 |
0,35 |
0,40 |
0,46 |
0,57 |
0,60 |
|
I(mA) |
72 |
64 |
52 |
43 |
30 |
19 |
4 |
0,00 | |
|
12 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,12 |
0,20 |
0,30 |
0,45 |
0,60 |
0,70 |
0,75 |
|
I(mA) |
65 |
52 |
45 |
37 |
26 |
15 |
6 |
0,00 | |
|
13 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,11 |
0,16 |
0,28 |
0,36 |
0,45 |
0,55 |
0,60 |
|
I(mA) |
48 |
39 |
26 |
17 |
10 |
5 |
1 |
0,00 | |
|
14 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,45 |
0,50 |
0,55 |
|
I(mA) |
45 |
35 |
28 |
20 |
14 |
10 |
5 |
0,00 | |
|
15 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,16 |
0,20 |
0,28 |
0,34 |
0,48 |
0,59 |
0,63 |
|
I(mA) |
75 |
60 |
55 |
40 |
30 |
16 |
8 |
0,00 | |
|
16 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,25 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,46 |
0,50 |
|
I(mA) |
37 |
26 |
20 |
14 |
10 |
5 |
2 |
0,00 | |
|
17 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,05 |
0,13 |
0,16 |
0,26 |
0,37 |
0,45 |
0,50 |
|
I(mA) |
62 |
52 |
43 |
34 |
21 |
12 |
4 |
0,00 | |
|
18 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,23 |
0,35 |
0,40 |
0,46 |
0,58 |
0,64 |
0,70 |
|
I(mA) |
68 |
59 |
40 |
38 |
26 |
14 |
9 |
0,00 | |
|
19 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,35 |
0,40 |
0,45 |
0,56 |
0,64 |
0,78 |
0,81 |
|
I(mA) |
48 |
36 |
28 |
15 |
9 |
5 |
2 |
0,00 | |
|
20 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,08 |
0,16 |
0,24 |
0,30 |
0,38 |
0,46 |
0,52 |
|
I(mA) |
54 |
46 |
35 |
24 |
15 |
10 |
4 |
0,00 | |
|
21 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,32 |
0,45 |
0,50 |
0,54 |
0,64 |
0,68 |
0,75 |
|
I(mA) |
56 |
46 |
32 |
28 |
14 |
8 |
2 |
0,00 | |
|
22 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,15 |
0,24 |
0,30 |
0,35 |
0,48 |
0,56 |
0,62 |
|
I(mA) |
58 |
46 |
32 |
27 |
17 |
9 |
4 |
0,00 | |
|
23 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,21 |
0,26 |
0,34 |
0,47 |
0,56 |
0,60 |
0,65 |
|
I(mA) |
53 |
45 |
34 |
28 |
16 |
10 |
5 |
0,00 | |
|
24 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,18 |
0,28 |
0,34 |
0,42 |
0,51 |
0,62 |
0,67 |
|
I(mA) |
69 |
58 |
42 |
37 |
29 |
13 |
8 |
0,00 | |
|
25 |
V, см3 (Na2S2O3) |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,35 |
0,40 |
0,45 |
0,52 |
0,59 |
|
I(mA) |
58 |
46 |
39 |
26 |
14 |
7 |
2 |
0,00 | |