Квадратичная интерполяция

Пусть табличная функция содержит три точки {x₁,y₁}, {x₂,y₂} и {x₃,y₃}. Изобразим их на плоскости (рис.7).

Рис. 7. Квадратичная интерполяция

Неизвестные коэффициенты а₀, а₁, а₃в уравнении параболыy=a₀+a_1*x+a_2*x², проходящей через точки с координатами(x₁,y₁), (x₂,y₂)и(x₃,y₃)может быть найдено из системы уравнений:

Предположим теперь, что точек несколько, например, пять. В этом случае для каждой последовательной тройки точек можно найти свое уравнение параболы из условия ее прохождения через соответствующие три точки. Результирующая функция состоит из отрезков парабол. Это – кусочно-параболическая интерполяция (рис. 8.).

Рис 8. Кусочно-параболическая интерполяция

Пример 2:Дана табличная функция (5 точек):

x	1	2	3	4	5
y	5	1	4	2	3

Требуется решить задачу интерполяции (кусочно-квадратичную) методом неопределенных коэффициентов.

Решение:

Ручной счет

Для квадратичной интерполяции с помощью метода неопределенных коэффициентов получим системы:

Реализация в Microsoft Excel:

Экспериментальные данные
x	1	2	3	4	5
y	5	1	4	2	3

Выполним квадратичную интерполяцию средствами электронных таблиц Excel по аналогии с линейной интерполяцией. Результат представлен на рис. 9.

Рис. 9.

Метод неопределенных коэффициентов

Пусть табличная функция содержит mточек. В этом случае можно построить различные виды кусочной интерполяции (кусочно-линейная, кусочно-параболическая и т.д.). В случае непрерывной интерполяции, когда используются все точки одновременно, функцию(x)будем искать в виде полинома степениn:

В этом случае степень полинома всегда на единицу меньше числа точек. Действительно, при наличии двух точек мы строили прямую, при наличии трех точек – параболу и т.д. Следовательно, справедливо соотношение:

n = m – 1.

Для нахождения неизвестных коэффициентов необходимо построить систему линейных уравнений m-го порядка из условия прохождения полинома через всеmточек:

(1)

В матричном виде система (1) может быть записана следующим образом:

C  A = Y,

где C– квадратная матрицаmm, составленная из известных координат точек,A– вектор неизвестных коэффициентов,Y– вектор-столбец свободных членов:

Эту систему можно решить, используя, например, метод Гаусса.

Пример 3:Дана табличная функция (5 точек):

x	1	2	3	4	5
y	5	1	4	2	3

Требуется решить задачу интерполяции (полином 4-ой степени) методом неопределенных коэффициентов.

Решение:

Ручной счет

Запишем задачу в матричном виде:

C  A = Y,

где:

Для решения этой системы используем метод Гаусса, получаем:

Реализация в Microsoft Excel:

Экспериментальные данные
x	1	2	3	4	5
y	5	1	4	2	3

Выполним интерполяцию полиномом 4-ой степени средствами электронных таблиц Excel по аналогии с линейной интерполяцией. Результат представлен на рис. 10.

Рис.10.

Реализация в Mathcad: