Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Zad-TFKP-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

254.26 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Т.М. НАЗАРОВА, В.В. ХАБЛОВ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО РЯДАМ И ИНТЕГРАЛАМ ФУРЬЕ,

ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2009

УДК 517.53(075.8)

Н192

Рецензенты: В. Г. Чередниченко, д-р физ.-мат. наук, проф. СибУКП;

А.Г. Пинус, д-р физ.-мат. наук, проф.

Работа подготовлена на кафедре высшей математики для студентов технических специальностей

Назарова Т.М.

Н 192 Сборник задач по рядам и интегралам Фурье, теории функций комплексного переменного и операционному исчислению : учеб. пособие / Т. М. Назарова, В. В. Хаблов — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. — 44 с.

ISBN 978-5-7782-1199-5

Настоящая разработка подготовлена в условиях острой нехватки в библиотеке НГТУ задачника по разделам математики, приведенных в заглавии. Задачи по анализу Фурье подобраны из технически простых — упор сделан на смысловое наполнение. Отобранные задачи других разделов не являются оригинальными — большинство взято из проверенного временем пособия М. Л. Краснова, А. И. Киселева, Г. И. Макаренко «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости».

		УДК 517.53(075.8)
ISBN 978-5-7782-1199-5	c	Назарова Т. М., Хаблов В. В., 2009
	c	Новосибирский государственный
		технический университет, 2009

Оглавление

§ 1.	Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
§ 2. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .		9
§ 3.	Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
§ 4. Основные элементарные функции комплексного переменного . . . . . .		13
§ 5. Дифференцируемые и гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . .		15
§ 6.	Интегрирование функции комплексного переменного . . . . . . . . . . .	16
§ 7. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		18
§ 8. Степенные ряды и ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		19
§ 9. Нули аналитических функций. Изолированные особые точки
	и их классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
§10.	Вычеты аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23
§11.	Теорема Коши о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
§12. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов . . . . .		25
§13. Преобразование Лапласа. Изображения и оригиналы . . . . . . . . . . .		27
§14. Теоремы о дифференцировании и интегрировании . . . . . . . . . . . . .		28
§15.	Теоремы смещения и запаздывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
§16. Теорема умножения изображений. Нахождение оригиналов
	по изображению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
§17. Операционный метод для обыкновенных дифференциальных
	уравнений. Случай постоянных коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . .	35
§18. Интеграл Дюамеля. Формула Дюамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		38
§19. Операционный метод для уравнений с переменными
	коэффициентами и уравнений в частных производных . . . . . . . . . .	39
Приложение. Таблица оригиналов и их изображений . . . . . . . . . . . . . . . .		41
Список литературы		44

§1. Ряды Фурье.

1. Построить график суммы ряда, ограничиваясь главной гармоникой.

∞

а) f(x) =

+ nX=1

(−1) ncosnx

;

б) f(x) = nX=1

(−1n)2

sin

πnx

∞

sinπnx

Чему равен период функции f(x) = nX=1

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

а) f(x) = cosx;

б) f(x) = sin3 x;

в) f(x) = sin3xcos2 7x;

г) f(x) = |cosx|.

Найти ряд Фурье 2π−периодической функции f(x), если

0≤ x < π,

а) f(x)

б) f(x)

−π

≤ x <3

π2

−1,

π ≤ x < 2π.

−1,

≤ x <

2 .

Изобразите график суммы ряда Фурье.

Найти ряд Фурье 2π−периодической функции f(x), если

а) f(x)

0≤ x < l,

б) f(x)

−l 2l

≤ x <3l2l

−

≤

x < 2l.

≤

x < 2 .

−

6.а) Разложить в ряд Фурье 2π−периодическую функцию f(x) = cos2 x; б) Разложить в ряд Фурье π−периодическую функцию f(x) = cos2 x.

7.Разложить функцию f(x) = x, x (−π,π) в ряд Фурье с наименьшим периодом суммы.

8.Разложить функцию f(x) = |x| , x (−π,π) в ряд Фурье с наименьшим периодом суммы.

9.Разложить функцию f(x) = x2, x (−1,1) в ряд Фурье с наименьшим периодом суммы.

10.Разложить функцию f(x) = 1−x, x (0,1) в ряд Фурье с наименьшим периодом

суммы.

11. Разложить функцию f(x) = 1− x, x (0,1) с наименьшим периодом суммы а) в ряд Фурье по синусам; б) в ряд Фурье по косинусам.

∞

12. Изобразить график суммы ряда

+ nX=1an cosnx, если

3π/2

an =

Z (1− x)cosnxdx, n ≥ 0.

∞

13. Изобразить график суммы ряда nX=1bn sinnx, если

an =

Z (1− x)sinnxdx,

n ≥ 1.

∞

14. Изобразить график суммы ряда

+ nX=1(an cosnx + bn sinnx), если коэффици-

енты an и bn вычислены по формулам:

а) an =

Z sinxcosnxdx,

n ≥ 0;

bn = 0, n ≥ 1.

б) an = 0, n ≥ 0;

b1 =

Zπ sin2 xdx;

bn = 0,

n = 2,3,...

πZ/2sinxcosnxdx,

πZ/2sinxsinnxdx, n ≥ 1.

в) an =

n ≥ 0;

bn =

Z1xsin

dx , n ≥ 1.

г) an = 0, n ≥ 0;

bn = 31

πnx

dx + Z2 sin

πnx

−

			∞
15.	Ряд Фурье функции f(x) имеет вид f(x) nX=1bn sin2πnx. Построить график
суммы	ряда, если f(x) = sin	π	x, x (0,1).
		2

16. Выписать формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье функции f(x), заданной графически

-1

f(x)

1
O	1	2

17. Выписать формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье функции f(x), заданной графически.

	f( x )
	1
	O				x
		1		2
а)
			f( x )
		1
				2	x
		O		1
б)
			f( x )
		1
в)	-2	O	1	x

18. Исходя из разложения в ряды Фурье «ступенчатых» функций (задачи 4 и 5), разложить в ряд Фурье функции задачи 17. Используйте для этого теорему о почленном интегрировании ряда Фурье и свойство линейности.

Ответы. 1. а) график y = 1− cosx; б) график y = sin

πx

. 2. Период T = 2.

3. а) f(x) cosx; б) f(x) 43 sinx −

41 sin3x;

в) f(x) 41 sin17x − 41 sin11x; г) f(x)

1 ∞ (−1)n+1

∞ sin(2n

1)x

4 ∞ (

1)n+1 cos(2n

1)x

nX=1

cos2nx.

4. а)

f(x)

nX=1

2n −−1

; б) f(x)

nX=1

−

2n − 1

−

. 5.

4n2 − 1

∞ sin(2n − 1)

πx

а)

f(x) 4

nX=1

2n − 1

;

− 1

а)

f(x) 21 + 21 cos2x;

б) f(x) 21 + 21 cos2x. 7.

б)

f(x) 4π nX=1

−1

2cosn −21

∞

(

)n+1

( n

)

πx

f(x) nX=1

−1n

sinnx. 8. f(x)

− π4 nX=1cos(2(n2

−−1)12 .

∞

(

∞

9. x2 31 + π42 nX=1(−1)n cosnπ2nx . 10. f(x) 21 + π1 nX=1sin2nπnx .

∞

11. а) f(x) π1 nX=1(−1)n+1 sinn

б) f(x) 21 + π42 nX=1(2n −1 1)2 cos(2n − 1)x.

∞

πnx

∞

		1		f(x)
						2		π
						2
		O						x
	.					.		x
12.			-1
12.
				f(x )
			1
			O					π
				.
	−π			1				x
				1				x
				-1
13.
14. а) график y = \|sinx\|; б) график y = sinx;
		f(x)
	-π	1		sinx	.			π
					.			π

в)		O						x
в)
				f(x)
			1
				.
		O				.		3
		O
	.						2	x
							2	x
г)		.		-1
г)				-1
		sin		πx
		.		2		1.
		.		O		1.		x
				O				x
15.									16. bn = Z1xsin π2nx dx + Z2 sin π2nx dx; n ≥
1; an = 0; n ≥ 0 17. а) bn = Z2													0	1
1; an = 0; n ≥ 0 17. а) bn = Z2						(1− \|1− x\|)sin π2nx dx; n ≥ 1; an = 0; n ≥ 0.
	an = Z2			0						an = Z1
б)	an = Z2	(1− x)cos π2nx dx; n ≥ 0; bn = 0; n ≥ 1. в)								an = Z1			(1− x)cosπnxdx; n ≥ 0; bn = 0;
	0		8	∞ sin(2n − 1)			π2x		8	∞ cos0		(2n − 1)		π2x
n ≥ 1. 18. а) f(x)			π2 nX=1 (2n − 1)2				;	б) f(x)	π2 nX=1		(2n − 1)2			;
								7

в) f(x) 21 + π42 nX=1(2n −1		1)2 cos(2n − 1)x.
	∞

ответ.

§2. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье.

1. Представить функцию f(x)	=	0,	x	0
1. Представить функцию f(x)		e−ax,	x >	0,
			≤

а) вещественным интегралом Фурье; б) комплексным интегралом Фурье; в)

b		∞
		−∞
найти преобразование Фурье F[f](ξ) = f(ξ) =	1	Z e−iξxf(x)dx функции f(x).
	√2π

Являются ли найденные интегралы Фурье представлениями для всех значений x

?
2.	Найти преобразование Фурье функции f(x) = e−a\|x\|.
3.	Представить функцию f(x)	=		0,		x > 1			интегралом Фурье, продол-
3.	Представить функцию f(x)			1− x,		0	< x < 1,		интегралом Фурье, продол-
жив ее на R а) четным образом; б) нечетным образом.
4.	Найти				=		0,	x > π;
а) синус-преобразование функции f(x)					=		0,	x > π;
а) синус-преобразование функции f(x)							sinx,	0	< x < π,
б) косинус-преобразование этой			функции.
б) косинус-преобразование этой
5.	Проверить, что функция f(x) = e−x2/2 является решением задачи Коши для
уравнения 1-го порядка: f′ +xf = 0;			f(0) = 1. Какому дифференциальному уравнению

удовлетворяет преобразование Фурье f(ξ) этой функции? Чему равно значение f(0)

(вспомните интеграл Пуассона)?

Почему отсюда следует, что f(ξ)

≡

e−ξ2/2 ?

]

−

ξ2/2

найти

6. Исходя из свойств преобразования Фурье и того, что F b

−

(x)

e−

(x − a)2

преобразование Фурье функции

2σ2

a,σ

σ√2π

7.Найти свертку функций (см. задачу 6) ϕa1,σ1 и ϕa2,σ2 применив к ней прямое

иобратное преобразования Фурье и используя ответ задачи 6.

8.Найти решение u(x,t) уравнения

2					√2te	−x2
	∂u	=	∂ u	+		4t	, t > 0.
	∂t		∂x2
u(x,0) = 0.

Указание: примените к обеим частям уравнения преобразование Фурье по пере-

менной x, рассматривая t, как параметр. Решите полученное уравнение для преоб-

−x2

разования u(b ξ,t). Найдите обратное преобразование Фурье u(b ξ,t) → u(x,t) = e 4t —

at) + u0(x + at)]

9. Найти решение u(x,t) уравнения

∂u ∂2u 0

∂t = a ∂x2 , t > . u(x,0) = u0(x).

Здесь a > 0, u0(x) — заданная функция.

Указание: примените к обеим частям уравнения преобразование Фурье по переменной x, рассматривая t, как параметр. Решите полученное уравнение для преобра-

зования u(ξ,t). Найдите2 обратное преобразование Фурье u(ξ,t) →

b 1

ξ)

∞

−

(x −

u(x,t) = 2√

aπt

−∞R

u0(ξ)dξ

— ответ (формула Пуассона решения задачи Коши

для уравнения теплопроводности).

10. Найти решение u(x,t) уравнения

, t > 0.

∂ u

= a2

∂ u

∂t2

∂x2

u(x,0) = u0(x),

∂u

(x,0) = 0.

∂t

Здесь u0(x) — заданная функция.

Указание: примените к обеим частям уравнения преобразование Фурье по переменной x, рассматривая t, как параметр. Решите полученное уравнение для преобразования u(b ξ,t). Найдите обратное преобразование Фурье u(b ξ,t) → u(x,t) = 12[u0(x −

— ответ.

1 ∞a cosξa + ξ sinξx

∞

eiξx

Ответы. 1. а)

f(x)

dξ; б) f(x) 2π

dξ;

a2 + ξ2

a + iξ

∞

−∞

. 2. f(ξ) = r

в) f(ξ) =

. 3. а) f(x)

Z 1−ξcos2

ξ cosξxdξ;

√2π

a + iξ

ξ2

∞

б) f(x)

ξ − sin

sinξxdξ. 4. а)

Z f(x)sinξxdx =

ξ sinπξ

;

ξ2

ξ2 − 1

∞

ξ2σ

Z f(x)cosξxdx = −

1+ cosπξ

e−iξx

−

б)

ξ2 − 1

. 6.

ϕa,σ (ξ) =

√2π e

. 7. ϕa1,σ1

ϕa2,σ2 ≡ ϕa,σ , где

a = a1 + a2, а σ = q

σ12 + σ22

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015100.86 Кб31XII. Организация ввода-вывода.doc
#
27.03.201583.97 Кб23XIII.Системный модуль ROM BIOS.doc
#
27.03.20153.89 Mб15xtt_rentgen_2009.pdf
#
14.07.2019235.11 Кб14Ya_lyublyu_tebya_no_ty_vse_menshe_i_menshe_daes....docx
#
16.07.201967.15 Кб3Yegoru_ispravit_nedostatki.docx
#
27.03.2015254.26 Кб43Zad-TFKP-1.pdf
#
27.03.2015171.52 Кб14Zadania.doc
#
27.03.2015102.61 Кб8Zadanie_Matematicheskoe_programirovanie.docx
#
27.03.201511.66 Mб368zaharov.pdf
#
11.03.2016596.96 Кб82Zemax_1.pdf
#
18.04.2019902.14 Кб0zombart_sociology.doc