Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра теории рынка

Практическое занятие №4

По предмету «эконометрика».

Основы регрессионного анализа. Множественная регрессия

Вариант №7.

Факультет: ФЭН

Группа: ЭК-91

Студенты: Владимирова О.А.

Клевцова В.В.

Преподаватель:

Щеколдин В.Ю.

Новосибирск 2011г.

Ситуация 2: «Орехи и виноград».

В соответствии с рекомендациями книги о вкусной и здоровой пище, спасённой Робинзоном с корабля, он решил разнообразить своё меню. Для этого кроме охоты на уток Робинзон стал заниматься сбором дикого винограда и орехов. В период сбора урожая он с утра выходил в лес с большой корзиной, собирал орехи с виноградом и к обеду возвращался. Со временем Робинзон заметил, что вес собранного (Y, фунты) зависит от количества обобранных кустов винограда (X₁, шт) и количества обобранных кустов орешника (X₂, шт). Необходимо построить модель этой зависимости и помочь Робинзону избавиться от алкогольной зависимости.

Цель:ознакомиться с основными положениями, понятиями и методами анализа линейных моделей множественной регрессии.

Исходные данные:

x1	x2	y
11	7	38
4	10	29
15	7	44
4	10	37
6	6	36
6	10	39
5	10	43
3	10	30
8	10	50
14	6	42
10	10	50
15	7	35
7	10	41
8	10	51
3	7	31
14	5	39
11	7	39
8	8	39
7	8	37
13	9	52
14	10	45
9	10	45
12	8	43
14	9	48
9	8	31

Задание №1. Записать уравнение зависимости веса собранного урожая от количества обобранных кустов винограда и орешника. Пояснить введенные обозначения.

Уравнение парной регрессии выглядит следующим образом:

– значение признака Y (выходной переменной ) в i-том наблюдении – вес собранного урожая в фунтах.

– значение признака X₁ (входной переменной ) в i-том наблюдении – количество обобранных кустов винограда.

– значение признака X₂ (входной переменной ) в i-том наблюдении – количество обобранных кустов орешника.

-случайная величина (ошибка наблюдения).

- неизвестные параметры

Основные предположения модели:

, - детерминированные величины

- вектор значений отклика

- вектор неизвестных параметров модели

- вектор случайных ошибок

- матрица значений независимых переменных в Nэкспериментах

- вид модели

При этом:

• ;

• ;

• .

Задание №2. С помощью метода наименьших квадратов найти оценки всех неизвестных параметров уравнения регрессии. Проинтерпретировать результаты.

Вычислим оценки неизвестных параметров, используя технику метода наименьших квадратов.

Техника МНК состоит в решении системы нормальных уравнений:

Вычислим величину остаточной суммы квадратов

,

Где .

Найдем оценки неизвестных параметров с помощью метода наименьших квадратов.

Определим матрицу значений неизвестных параметров, исходя из того, что:

, отсюда .

Таким образом, , , . Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:

= 8.855+1.208

Интерпретируем полученные коэффициенты регрессии для этой зависимости:

• Так как >0, то сделаем вывод: относительное изменение веса собранного урожая происходит,быстрее чем изменение количества обобранных кустов винограда и орешника. Значение оценки 8,855означает вес собранного при случае, когда не обобрано ни одного куста. Но интерпретация этого параметра не имеет экономического содержания.

• Так как, при изменении количества обобранных кустов винограда на 1 штуку, общий вес собранного урожая изменяется в среднем на 1,208 фунтов, т.е. с увеличением количества обобранных кустов винограда, общий вес собранного Робинзоном урожая увеличивается.

• Так как, при изменении количества обобранных кустов орешника на 1 штуку, общий вес собранного урожая изменяется в среднем на 2,428 фунтов, т.е. с увеличением количества обобранных кустов орешника, общий вес собранного Робинзоном урожая увеличивается.

Задание №3. Проверить значимость параметров уравнения по критерию Стьюдента. Для значимых коэффициентов построить доверительные интервалы. Сделать выводы.

• Проверим на значимость параметр :

Уровень значимости: =0,05.

Вычислим – несмещенную оценку дисперсии ошибок, равную

= 32.79247

Найдём – среднеквадратическое отклонение оценки по формуле , где – соответствующий элемент матрицы .

= 32.79247 × 0.0033 = 0,108215151

Критическая статистика: . Предельное распределение критической статистики стремится к t-распределению Стьюдента с N-3 числом степеней свободы.

t=4,31

Основная гипотеза отвергается, если , где – критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения Стьюдента.

=2,074.

Сравнив, видим 4,31> 2,074, т.е. гипотеза о незначимости параметра отвергается при данном уровне значимости  оценка параметра подходит для описания скорости изменения веса собранного урожая при изменении количества обобранных кустов винограда.

• Проверим на значимость параметр :

Уровень значимости: =0,05.

Найдём – среднеквадратическое отклонение оценки по формуле , где – соответствующий элемент матрицы .

= 32.79247 × 0,0196=0,642732412

Критическая статистика: . Предельное распределение критической статистики стремится к t-распределению Стьюдента с N-3 числом степеней свободы.

t=3,54

Основная гипотеза отвергается, если , где – критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения Стьюдента.

=2,074.

Сравнив, видим 3,54>> 2,074, т.е. гипотеза о незначимости параметра отвергается при данном уровне значимости  оценка параметра подходит для описания скорости изменения веса собранного урожая при изменении количества обобранных кустов орешника.

• Проверим на значимость параметр :

Уровень значимости: =0,05.

Найдём – среднеквадратическое отклонение оценки по формуле , где – соответствующий элемент матрицы .

= 32.79247 × 2,253=73,88143491

Критическая статистика: . Предельное распределение критической статистики стремится к t-распределению Стьюдента с N-3 числом степеней свободы.

t=1.20

Основная гипотеза отвергается, если , где – критическое значение, найденное по таблицам квантилей распределения Стьюдента.

=2,074.

Сравнив, видим 1,2< 2,074, т.е. гипотеза о незначимости параметра не отвергается при данном уровне значимости  оценка параметра не является корректной для использования в данной модели.

Заметим, что для расчётное значение статистики Стьюдента превосходит критическое в 2,078 раза, для - в 1,706 раза. Исходя из этого, можно сказать, что сильнее отвергается гипотеза о незначимости параметра. . Гипотеза о незначимости параметра не отвергается, причём критическое значение статистики Стьюдента превосходит расчётное в 1,73 раза.

Для значимых параметров построим доверительные 95% интервалы:

• Для параметра

Параметр с 95% вероятностью может принимать значения, лежащие в диапазоне от 0,53до 1,88

0,53

1,88

Истинное значение параметра с 95%-ой вероятностью не будет отклоняться от значения оценки этого параметра более чем на 61% от её значения.

• Для параметра

П араметр с 95% вероятностью может принимать значения, лежащие в диапазоне от 0,77 до 4,08

0,77

4,08

Истинное значение параметра с 95%-ой вероятностью не будет отклоняться от значения оценки этого параметра более чем на 54% от её значения.

Выводы:

Проверив на значимость параметры модели, получили, что параметры и значимы, а для параметра гипотеза об отсутствии значимости не отвергается.

Значит, независимые переменные оказывают влияние на отклик. Т.е. влияние количества обобранных кустов винограда и орешника на вес собранного существенно. Построенные интервалы позволяют говорить о том, что при увеличении количества обобранных кустов винограда на 1 ожидаемое изменение веса собранного (с вероятностью 95%) может принимать любые значение в диапазоне от 0,53 до 1,88 фунтов. А при увеличении количества обобранных кустов орешника на 1 ожидаемое изменение веса собранного (с вероятностью 95%) может принимать любые значение в диапазоне от 0,77до 4,08фунтов.