Zad-TFKP-1
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t |
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O |
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4 |
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t |
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-4 |
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O |
a |
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2 a |
3 a |
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2 a |
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t |
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O |
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2 a |
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-1 |
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22. |
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23. |
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f( t) |
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f( t) |
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t |
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a |
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2a |
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2a |
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t |
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-1 |
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-1 |
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Ответы. 1. а) |
1 |
+ 1 |
; |
б) |
p − m |
. 2. |
3! |
. 3. |
1 |
− 1 |
. |
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(p − 2)2 |
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(p − m)2 + n2 |
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(p + 1)4 |
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(p − 1)2 |
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31 |
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p2 − 2p |
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1 |
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1 |
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p − 3 |
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1 |
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p + α |
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e−bp |
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4. |
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p2 |
2p |
2 2 |
. 5. 2(p − |
3) − 2 · |
(p |
3)2 |
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4 |
. 6. |
2(p + α) |
+ |
2 |
|
(p |
+ |
α)2 |
4β2 |
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. 7. |
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p2 |
+ |
1 |
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ap |
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e |
− |
bp− |
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+pe |
bp |
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e |
− |
2p |
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−e |
− |
p + |
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1 |
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e |
− |
p |
+ |
e |
− |
2p |
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+e |
− |
p |
e |
− |
2p |
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e |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||
8. |
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− |
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. |
9. |
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. 10. |
1− |
. |
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11. |
− 2 |
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. |
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12. |
1− 2 |
|
2 |
+ |
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. 13. |
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2p +ap2 p |
2 |
+ 4 |
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p |
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1 |
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p |
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p |
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p |
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b |
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1 |
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e− |
ap− |
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e− |
ap |
− e− |
bp |
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1 |
∞ |
( |
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k |
(2k |
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1) |
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p |
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+ |
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be− |
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1) |
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14. |
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. 15. |
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−p2 |
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16. |
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. 17. |
p kX=0 |
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− |
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+ |
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p (p + b) |
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p2 |
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2 |
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ekp |
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2 |
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ap |
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ap |
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1 |
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ap |
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F(p) |
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e |
2ap |
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− 1 |
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2e |
ap. |
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F(p) |
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e−ap |
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e−ap |
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e−2ap . |
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18. |
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= ap2 |
2 |
− |
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+ p |
− |
ap |
19. |
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= |
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p |
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− |
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− |
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ap |
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20. |
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F(p) |
= −1 |
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1 |
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e−2 |
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− |
e− . 21. F(p) = p |
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+ |
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− |
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e− |
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− |
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e−2 . |
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p |
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ap2 |
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ap2 |
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ap2 |
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ap2 |
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+1 |
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ap + |
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2 |
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+ap |
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b |
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ap |
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2b |
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ap |
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22. |
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F(p) = p |
− |
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e− |
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+ + |
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e−3 . |
23. F(p) = − |
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e− |
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+ |
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e−2 . |
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ap2 |
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ap2 |
p |
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p |
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32
§16. Теорема умножения изображений. Нахождение оригиналов по изображению
Найти изображения следующих функций
1. |
Zt et−τ sinτdτ. |
2. |
Zt e2τ cos(t − τ)dτ. |
|
0 |
|
0 |
3. |
Zt (t − τ)2 chτdτ. |
4. |
Zt (t − τ)n f(τ)dτ. |
0 0
5.Zt e2(t−τ)τ2dτ.
0
Для данных изображений найти оригиналы и построить их графики. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
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2e−p |
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7. |
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e−2p |
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F(p) = |
p3 . |
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F(p) |
= |
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p2 |
. |
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||||||||||||||||||
8. |
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e−2p |
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9. |
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e−3p |
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F(p) = |
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. |
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F(p) |
= |
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. |
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p − 1 |
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p + 3 |
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||||||||||||||||||||||||||
Найти оригиналы |
1по изображениям. |
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1 |
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10. |
F(p) = |
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. |
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11. |
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F(p) = |
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. |
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p2 |
+p |
4p |
+ |
5 |
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p2 |
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4p |
+ |
3 |
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12. |
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13. |
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+p |
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||||||||||||||
F(p) = |
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. |
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F(p) = |
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||||||||||||||||||||||
(p + 11)2 |
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p2 +11 2 |
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14. |
F(p) = |
p +3 |
2p22+ p3 |
. |
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15. |
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F(p) = 7− p + p2 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
F(p) |
= |
|
2p |
+ p |
+ |
2p + 2 |
. |
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17. |
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F(p) = |
|
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1 |
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. |
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p5 + 2pp4 + |
22p3 |
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p2 |
p2 + 1 |
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18. |
F(p) = |
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+ |
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|||||||
(p + 1)(p − |
2n)! |
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p2 + 4 |
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19. |
F(p) = |
p (p + 1)(p + 2). . . (p + n) |
. |
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20. |
F(p) = |
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1 |
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p4 +22p3 + 3p2 |
+ 2p + 1 |
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21. |
F(p) |
= |
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p |
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+ |
2p − |
1 |
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p3 + |
3p2 + |
3p + 1 |
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2p + 3 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
22. |
F(p) |
= |
|
p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
|
|
F(p) |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
p3 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3+24p2 + 5p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
F(p) = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
25. |
|
|
F(p) |
= |
|
p + |
2p − 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(p |
− |
|
1)2 |
(p |
+ |
2) |
|
|
|
p3 − |
2p2 + 2p − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
F(p) |
= |
|
|
3p2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
27. |
|
|
F(p) |
= |
|
|
e− |
|
|
|
|
+ |
pe−2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
p3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
2p |
+ |
5 |
p2 |
+ |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
|
|
|
|
e−−3p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
|
|
|
|
|
|
|
e−−p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F(p) |
= |
|
(p |
1+ |
|
1)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) |
= |
p(p − 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
30. |
F(p) = |
|
|
|
|
e−2p + 2e−3p + 3e−4p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
p2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
31. |
F(p) = p2e−+ |
1 + ppe2 |
−2 |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32. |
F(p) |
|
|
|
|
− e−p/2 − |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p (p |
|
|
|
) p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
33. |
|
= e−p |
|
+ 12e−2p+ |
4 6e−3p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
F(p) = |
|
p2 |
|
+ |
p3 |
|
+ |
|
|
p4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
34. |
F(p) |
= |
|
e−p/3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p p2 + 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n!F(p) |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Ответы. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
p |
3. |
|
|
|
|
|
|
. 4. |
5. |
|
|
6. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(p − 1) |
|
p2 + 1 |
(p − 2) |
|
p2 + 1 |
|
p2 p2 |
− |
1 |
pn+1 |
p3 |
(p + 2) |
33
(t − 1)2 η(t − 1). |
7. (t − 2) η(t − 2). 8. et−2η(t − 2). 9. e3(t−3)η(t − 3). 10. e−2t sint. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
e−t |
e−3t |
|
. |
|
|
( |
|
t)e−t. 13. |
1t |
|
|
t. 14. |
e−t |
|
te−t.15. |
2√3et/2 |
3√3t. |
|
|||||||||||||||||
11. |
2t2 |
|
− t |
|
12. |
1 |
− |
|
|
|
|
|
e2t |
2 |
sine−t |
|
cos2t1−sin2t− |
|
|
9t |
1 sin |
2 |
t |
|
|||||||||||||
16. |
|
2 |
+2e− sint. 17. t −sint. 18. |
|
6 |
− |
15 |
− |
|
10 − |
5 |
|
. 19. 1−ne− |
+ 2n(n − |
1)e−2 |
+...+ |
|||||||||||||||||||||
(−1)ne−nt . 20. |
32e−t/2 |
√23 sin |
√3 |
t − t cos |
√3 |
t |
|
. 21. e−t 1− t2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
|
31et/2 cos |
3 |
t + √3sin |
3 |
t − 31e−t . 23. |
53 |
+ |
− |
(4sint − 3cost). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
91 |
e−2t − et |
+ 3tet |
|
. 25. 2et + et/2 5√33 sin |
√3 |
t − cos |
√3 |
t . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
31tet − 31te−t/2 cos |
|
3 |
t + √3sin |
|
3 |
t . 27. 21et−1·sin2(t −1)·η(t −1)+cos3(t −2)·η(t −2). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
(t −3)e−(t−3)η(t −3). 29. et−1 − 1 η(t −1). 30. sin(t −2)·η(t −2)+2sin(t −3)·η(t −t 31)+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3sin(t |
1−4) ·1η(t − 4). 31.1sh(t − 1) ·1η(t −11) + ch2(t −1 |
2) ·η(t −21). 32. 41η t − 21 − 51e− |
− 2! · |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
η t − 2 |
− 20 cos2 t − 2 |
|
· η t − 2 − 10 sin2 t − 2 |
· η |
t − 2 . 1 |
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
33. |
(t −1)·η(t −1)+(t − |
2)2·η(t − |
2)+(t −3)3·η(t −3). 34. η t − 3 |
−cos t − 3 |
·η t − 3 . |
34
§17. Операционный метод для обыкновенных дифференциальных уравнений. Случай постоянных коэффициентов
Найти решение задачи Коши.
1. |
x′ + x = e−t , x(0) = 1. |
|
2. |
x′ + 2x = sint, x(0) = 0. |
|
3. |
x′′ + x′ = 1, x(0) = 0, |
x′(0) = 1. |
4. |
x′′ + 3x′ = et , x(0) = 0, |
x′(0) = −1. |
5. |
x′′ + 2x′ − 3x = e−t , x(0) = 0, x′(0) = 1. |
6.x′′′ + x′ = 1, x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0.
7. |
x′′ + 2x′ + x = sint, |
x(0) = 0, |
x′(0) = −1. |
||||
8. |
x′′′ + x′ = t, |
x(0) = 0, |
x′(0) = −1, |
x′′(0) = 0. |
|||
9. |
x′′′ + 2x′′ + 5x′ |
= 0, |
x(0) = −1, x′(0) = 2, x′′(0) = 0. |
||||
10. |
x′′ + x′ = cost, |
x(0) = 2, x′(0) = 0. |
|||||
11. |
x′′′ + x′′ = sint, |
x(0) = x′(0) = 1, |
x′′(0) = 0. |
||||
12. |
x′′ + 2x′ + 5x = 3, |
x(0) = 1, |
x′(0) = 0. |
||||
13. |
x′′ + 4x = t, |
x(0) = 1, |
x′(0) = 0. |
|
14.xIV − x′′ = 1, x(0) = x′(0) = x′′(0) = x′′′ = 0.
15.x′′ − x′ = tet, x(0) = x′(0) = 0.
16. |
x′′ − x′ + x = e−t , |
x(0) = 0, |
x′(0) = 1. |
||||||||
17. |
x′′ + 2x′ + x = 2cos2 t, |
x(0) = x′(0) = 0. |
|||||||||
18. |
x′′ + 4x = 2cost cos3t, |
|
x(0) = x′(0) = 0. |
||||||||
19. |
x′′ − 4x = sin 32t sin 2t , |
x(0) = 1, |
x′(0) = 0. |
||||||||
20. |
x′′′ + 3x′′ − 4x = 0, |
x(0) = x′(0) = 0, |
x′′(0) = 2. |
||||||||
21. |
x′′′ + 3x′′ + 3x′ + x = 1, |
|
x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0. |
||||||||
22. |
x′′ + ω2x = a [η(t) − η(t − b)] , |
x(0) = x′(0) = 0. |
|||||||||
23. |
x′′ + x = 0, |
x(π) = 1, |
|
x′(π) = 0. |
|
||||||
24. |
x′′ + x′ = 2t, |
x(1) = 1, |
|
x′(1) = −1. |
|
||||||
25. |
x′′ − x′ = −2t, x(2) = 8, |
x′(2) = 6. |
|
||||||||
26. |
x′′ + x = −2sint, |
x |
π |
|
= 0, |
x′ |
|
π |
|
= 1. |
|
2 |
2 |
Решить задачи Коши для уравнений, правые части которых заданы графически
35
27. |
x′′ + 4x = f(t); |
|
|
|
28. |
x′′ + x = f(t); |
|
|
|
|
|
x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
|
|
x(0) = 1, x′(0) = 0. |
|
|
||
|
f( t) |
|
|
|
|
|
f( t) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
O |
|
1 |
2 |
|
t |
O |
a |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||
29. |
x′′ + 9x = f(t); |
|
|
|
30. |
x′′ − 2x′ + x = f(t); |
|
|
||
|
x(0) = 0, x′(0) = 1. |
|
|
|
|
x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
||
|
f( t) |
|
|
|
|
|
f( t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
O |
1 |
2 |
|
3 |
t |
O |
a |
2a |
3 a |
t |
|
|
|
Решить системы уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
31. |
x′ + y = |
0, |
|
|
|
x(0) |
|
|
|
1, |
|
|
y(0) |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y′ |
|
|
x |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x′ |
+x |
|
= y |
+ |
et, |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
32. |
y′ |
+ |
y |
= |
|
|
|
|
t |
, |
|
|
x(0) = y(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x′ |
+y |
′ |
= |
|
2x |
+ |
2y |
= |
1 |
− |
2t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
33. |
x′′ |
− |
|
|
− |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
x(0) = y(0) = x′(0) = 1. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2y′ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x′′ |
+ 3x′ |
|
+ |
2x= |
|
y′ |
− |
y |
= |
0, |
|
x(0) |
= |
x′ |
(0) |
= |
0, |
|
|
|||||||||||||||
34. |
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−x′ + x + y′′ − 5y′ + 4y = 0, |
|
y(0) = 1,y′(0) = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x′ |
= − |
y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = y(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y′ = 2x + 2y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2x′′ |
|
− |
|
x′ |
|
+ |
9x |
|
− |
y′′ |
− |
y |
′ |
− |
3y |
= |
0, |
|
x(0) |
= |
x′(0) |
= |
1, |
|||||||||||
36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2x′′ + x′ + 7x − y′′ + y′ − 5y = 0, |
|
y(0) = y′(0) = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x′ |
+ |
y |
′ |
− |
y |
= |
et, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
37. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = y(0) = 0. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
2x′ |
|
|
y′ |
|
|
2y = cost, |
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|
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|||||||||||||||||||
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x′ |
|
+ x |
+y |
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z |
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et, |
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||||||||||
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y′ |
= − + |
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+ |
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|
+ t |
, |
|
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|||||||||
38. |
= x − y + z + e3 |
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z′ = x + y + z + 4, |
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x(0) = y(0) = z(0) = 0. |
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||||||||||||||||||||||||||
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36
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x′ = −y − z, |
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x(0) = −1, |
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||||||||||||
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= −x − z, |
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|
y(0) = 0, |
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||||||||||
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39. |
y′ |
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|||||||||||||
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z(0) = 1. |
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|||||
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z′ = −x − y, |
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51 e−2t − cost+ +2sint . |
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|||||||||||||||||
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1 |
tОтветы.5 3t |
1. 2x(t) = (t +11)e−tt . 2. |
3x(t)t |
= t |
3. |
|
x(t)1 |
=t t. 4.t |
|||||||||||||||||||||
x(t) = 4e |
+ 12e−t2 |
− 3 |
.5. x(t) = |
|
8 3e − e− |
−32et− |
.6. x(t)4 =t t − sint.7.1 |
x(t) = 2 |
e− |
− te− |
||||||||||||||||||||
−cost .8. x(t)1 |
= |
|
|
− 1+ cost − sint.9. x(t) = 5e1 |
− sin2t t − 5e− cos2t − 5. |
|
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|
|
|||||||||||||||||
2t |
|
3 |
2 |
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||
10.1 |
tx(t) = 2+2 |
e− − cost |
t + sint .111. x(t) = 2t+2 |
e− + cost2t − sint .12. x(t)t |
=t25 |
+5e− |
cos2t+ |
|||||||||||||||||||||||
5e− sin2t.13. x(t) = 4 |
+ cos2t − 8 sin2t.14. x(t) = cht − |
|
− 1.15. x(t) = e |
|
|
|
− t + 1 .16. |
|||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = 31e−t − 31et/2 cos |
√3 |
t − 3√3sin |
√3 |
t . 17. x(t) = 1− 2522e−t − 56te−t − 253 cos2t+ 254 |
sin2t.18. |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = 4t sin2tt+t1221 (cos2t − cos4t). 19. x(t) = 8083 ch2t−101 cost+ 161 cos2t.20. x(t) = 92 et − e−2t (3t + 1) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = 1− e− |
|
2 |
+ t + 1 . |
|
|
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|
||||||||||
22. x(t)2= |
2a |
sin2 |
ωt |
·η(t)− sinπ2 |
η(t 2− b) |
·η(t−b) .23.1 x(t)1= −cost.24. x(t) = (t−11)2+e1−t .25. |
||||||||||||||||||||||||
ω2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = t +12t.26. x(t) =1 |
t − 1− |
2 |
cost.27. x(t) = 2 t − 2 sin2t ·η(t)−h(t − 1) − 2 sin2(t − 1)i· |
h i
η(t−1)+ 2 (t − 2) − 2 sin2(t − 2) ·η(t−2).28. x(t) = [b+(1− b)cost]η(t)+[b − b cos(t − a)]η(t−
a).
29.x(t) = 13 sin3t ·η(t)+ 19 h(t − 1) − 13 sin3(t − 1)i·η(t −1)− 29 h(t − 2) − 13 sin3(t − 2)i·η(t − 2) + 19 h(t − 3) − 13 sin3(t − 3)i · η(t − 3).
30.x(t) = X3 (−1)k 1− et−ka + et−ka(t − ka) η(t − ka).31. x(t) = et,y(t) = −et.
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k=0 |
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,y(t) = 2− t − 2e−t |
− 2te−t . |
|
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|||||||||
32. |
x(t) = et ,y(t) = et.33. x(t) = 2 1− e−t |
|
te−t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
et |
−t |
e3t |
+ 2 |
te3t |
, y(t) |
1 |
et |
e3t |
|
− te3t |
. |
|
x(t) |
|
et ( t |
− 2sin |
t),y(t) |
|
et ( |
t |
+ 3sin |
t). |
|||||||||||||
34. |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
5 |
−2 |
|
−t |
2 |
|
|
35.1 |
|
= |
|
|
cos |
|
|
= |
cos |
|
36 |
||||||||
|
= 3 |
|
+ |
|
11 |
|
4t |
+ 3 |
|
|
5 = 3 |
|
1− |
cos2t |
−22 |
t |
22 |
4t |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x(t) |
|
|
e |
t |
|
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|
|
e |
|
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||||||||
|
|
|
2cos2t |
|
sin2t ,y(t) |
|
|
|
|
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|
sin2t . |
|
|
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|
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||||||||||||||||
37. |
x(t) = e − |
34e |
|
|
− |
|
cost + 17 sint − 2 |
,y(t) = − |
3e + 51e |
|
+ 17 cost − 17 sint. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
17 |
|
+ 32e2t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
38. x(t) = −151 |
e−2t |
+ 1213e−t |
− 2+ 61et + 32e2t + 203 |
e3t ;y(t) = 151 |
e−2t + 1213e−t − 2 |
− 61et |
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
207 e3t ;z(t) = −1213e−t |
− 21et + 34e2t + 41e3t . 39. x(t) = −et,y(t) = 0,z(t) = et. |
|
|
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37
§18. Интеграл Дюамеля. Формула Дюамеля
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Найти решения задач с помощью интеграла Дюамеля. |
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1. |
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x′′ |
− x′ |
= |
|
|
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e2t |
|
|
, x(0) = x′(0) = 0. |
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(1+et )2 |
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2. |
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x′′ |
+ 2x′ + x = |
|
e−t |
|
, x(0) = x′(0) = 0. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
+ |
1 |
|
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|
e2t |
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|
|||||
|
|
|
3. |
|
x′′ |
− x′ |
= |
|
|
|
, x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2+1et |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4. |
|
x′′ − x′ = |
1+et |
|
, x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5. |
|
x′′ + x = |
1 |
, |
|
|
x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2+ cost |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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6. |
|
x′′ + x = 4+1tg2 t , x(0) = x′(0) = 0. |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7. |
|
x′′ + x = |
1 |
|
, |
|
x(0) = x′(0) = 0. |
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ cos2 t |
|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8. |
|
x′′ + x = |
1 |
, |
|
|
x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ sin2 t |
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9. |
|
x′′ − x = tht, x(0) = x′(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
10. |
x′′′ + x′ |
= |
|
1 |
, |
|
|
|
x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2+ sint |
|
|
|
|
|
|
t |
+ 1 · ·lnt |
|
|
+ 1 − 3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
et |
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
t |
|
− 1 |
− ln |
|
|
2 |
|
t |
2. − |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответы. |
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
e |
t |
|
|
|
|
|
|
1+ et |
|
|
e |
t |
(t |
|
|
) |
|
|
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
t . |
|
|
x(t) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg(t/2) |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e |
|
+ |
2 ln |
|
3+ |
|
−e +1. 4. x(t) = e −1−(t + ln2) |
e |
|
+ 1 |
|
+ e |
+ 1 |
ln |
|
e |
+ 1 . |
5. x(t) = sint |
|
t− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
arctg |
|
2√3 |
|
√+3 |
cost |
|
|
|
|
ln(2 |
|
|
|
|
cost) |
|
|
ln3 |
|
cost. 6. |
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
√ |
|
|
cost |
+ 361 |
sint |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−√3√ |
sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
− |
|
|
|
27 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cost · arctg |
|
√3cost |
|
. 7. |
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
cost − 2√2 sint · |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln √33sint |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
= cost · arctg(cost) − 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
h |
|
|
cost |
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||
ln |
sint |
− |
|
8. |
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
sint |
|
|
|
arctg(sint) |
|
|
|
cost |
|
|
|
ln |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
3 |
|
|
2√2 . |
|
|
9. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
10. |
|
+ |
|
|
|
|
· 2√2 |
|
· |
|
|
|
|
|
√2 |
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sint |
|
|
|
|
|
2ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
sin |
|
|
sin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
cos |
|
cos |
|
|
|
ln |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x(t) |
|
= − |
|
t |
+ |
|
|
|
|
|
t |
· |
t |
|
|
|
|
e |
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|
x(t) |
= |
|
|
· |
|
|
t |
− |
|
|
|
t |
· |
|
|
|
( |
|
|
|
+ |
|
|
|
t) |
− |
t |
|
t |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
√23 (2sint + 1) |
|
arctg |
2tg 2 + 1 |
− |
π |
! . |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
6 |
|
|
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|
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38
§19. Операционный метод для уравнений с переменными коэффициентами и уравнений в частных производных
Найти решения уравнений с переменными коэффициентами.
1.tx′′ + (2t − 1)x′ + (t − 1)x = 0.
2.tx′′ + 2x′ = 0.
3. x′′ + (t + 1)x′ + tx = 0, |
|
|
x(0) = 1, x′(0) = −1. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. x′′ + (t + b)x′ = 0, |
|
|
x(0) = −1, x′(0) = 0. |
(b — любое действительное число) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. x′′ + tx′ − (t + 1)x = 0, x(0) = x′(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. x′′ − tx′ + nx = 0, |
n N |
(уравнение Чебышева-Эрмита): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) x(0) = 1, x′(0) = 0; n = 2k; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
б) x(0) = 0, x′(0) = 1; n = 2k + 1. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решить граничные задачи: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂u |
2 |
|
|
|
|
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|
|
(x > 0,t > 0), |
|
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||||||||||||||||||||||
7. |
|
= k |
∂ u |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂t |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(0,t)2 |
= u0, |
|
|
u(x,0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8. |
∂u |
|
= k |
∂ u |
|
|
|
|
|
|
(x > 0,t > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∂t |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(0,t)2 |
= |
|
0, |
|
u(x,0) = u1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9. |
∂u |
|
= k |
∂ u |
|
|
|
|
|
|
(x > 0,t > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∂t |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(0,t) |
2= acosωt, |
u(x,0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
∂u |
|
= k |
∂ u |
|
|
|
(x > 0,t > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∂t |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(0,t)2= asinωt, |
u(x,0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
∂u |
= k |
∂ u |
|
|
|
|
(x > 0,t > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∂t |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2u(0,t)2= ω(t), |
u(x,0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
12. |
∂ u |
= |
∂ u |
+ bx(x − l) |
|
|
(l > x > 0,t > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂t2 |
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(0,t) = u(l,t) = 0, |
|
|
u(x,0) = |
∂u |
(x,0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ответы. 1. x(t) |
|
|
|
c |
|
|
|
c |
t2 |
e−t . |
|
x(t) |
|
c |
. 3. x(t) |
|
e−t. x(t) |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k= |
|
1 + |
2 |
|
|
s t2s 2. |
|
|
= |
1 |
|
|
k |
= |
s 4.t2s+1 |
≡ −1 |
|||||||||||||||
5. x(t) = et. 6. а) x(t) = sX=0(−1)s 2ss!Ck |
|
|
; б) x(t) = sX=0(−1)s2s s!Ck |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2s)! |
(2s + 1)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kt |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. u(x,t) |
= u0 1− |
√2π |
|
|
Z |
|
|
e−z dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. u(x,t) = u1 √2π |
· |
|
2Z |
kt |
e−z2dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xs |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
ρt |
|
|
|
|
ρ ρdρ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9. u(x,t) = ae− |
|
|
|
|
2k |
|
cos ωt − xr |
2k |
− |
|
Ze− |
|
|
sinxr |
|
|
|
. |
10. u(x,t) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
k |
ρ2 + ω2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
|
a e−xs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞e−ρt sinx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
2k sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ωt |
|
|
x |
ω |
|
ω |
|
|
ρ dρ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
− |
2k |
+ |
|
r k ρ2 + ω2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
r |
π Z |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. u(x,t) = |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
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x |
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Zϕ(τ) |
e− 4k(t τ) |
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bx |
x3 − 2lx2 + l3 + |
||||||||||||||
= |
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− |
dτ. 12. |
u(x.t) = −12 |
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2√ |
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(t |
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τ)3/2 |
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πk |
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+ |
8π5 |
kX=0cos |
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(l 2k +sin1)5 |
l . |
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bl4 |
∞ |
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(2k+1)πt |
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(2k+1)πx |
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40