2.10. Числовые характеристики случайных величин. Дисперсия. Свойства. Среднее квадратное отклонение

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

2.11. Числовые характеристики случайных величин. Квантили. Мода, медиана. Начальные и центральные моменты.

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется матема-тическое ожидание величиныX^k:

ν_k = M (X^k).

В частности, ν₁ = М(Х), ν₂ = М(Х²). Следовательно, дисперсия D(X) = ν₂ — ν₁².

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется мате-матическое ожидание величины (Х — М(Х))^k:

μ_k = M((Х — М(Х))^k)

Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого

p( X < Me ) = p( X > Me ).

Графически прямая х = Ме делит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на две равные части.

Для случайной величины Х с функцией распределения F(X) квантилью порядка р (0 < p < 1) называется число К_р такое, что F(K_p) ≤ p, F(K_p + 0) ≥ p. В частности, если F(X) строго монотонна, К_р: F(K_p) = p.

2.12. Производящая функция (случай целочисленных случайных величин).

Это частный случай Хар.функции.

Свойства.

Если Х=m(целые числа), то

Z=

2.13.Биноминальный закон распределения.

Это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А)=р=const. Кроме события А может произойти также противоположное событие, вероятность которого Р(А)=1-p=q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона:

Числовые характеристики Бин. распределения:

М(m)=np ; D(m)=npq; Ϭ(m)=

2.14.Закон распределения Пуассона.

Это распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой частотой и независимо друг от друга.

Р(м)=р(Х=м)=(а^м/м!)*е^-а

Условие нормировки:=1

2.15.Геометрический закон распределения

Это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний до первого успеха.

Р(Х=м)=q^м-1р; Mx=q/p; Dx=q/p²

Условие нормировки:

Ф. распределения:

2.16. Гипергеометрический закон распределения.

Это распределение количества удачных выборок без возвращения из конечной совокупности (см. задачу про выборку карт).

2.17. Равномерно распределение

Непрерывная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке от а до в, если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т.е. если диф.фукция распределения f(x) имеет следующий вид:

; Mx=(a+b)/2; Dx=(b-a)²/12

Св-ва распределения:

1. F(x);

2. P{X}=F(b)-F(a)=

3. 

2.18. Экспоненциальный закон распределения

Это абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Ф.распределения: ; Mx=a^-1; Dx=a^-2

2.19. Нормальный закон распределения

(Гауссово распределение) распределение, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

F(x)=; Mx=; Dx=

2.20. Характеристическая функция. Свойства. Характеристическая функция нормального

Распределения

Это один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. 

Св-ва:

1. Характеристическая функция однозначно задаёт распределение(к примеру, если обе С.В. абсолютно непрерывны, то совпадение характ.функций лечёт совпадение плотностей)

2. Х.ф. всегда ограниченна:

3. Х.ф. в нуле равна 1:

4. Х.ф. всегда непрерывна:

5. Х.ф. однородна как ф. случайной величины:

6. Х.ф. суммы независимых С.величин равна произведению х.функций

7. Для всех вещественных t верно равенство ,где

8. Теор.Леви.Пусть F-функция распределения,а -её Х.ф.Если а и в-точки непрерывностиF.

Х.ф. нормального распределения: