algebra

Обратим внимание, что обе формулы: для определителя второго порядка и для определителя третьего порядка — представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем каждое произведение составлено из элементов матрицы, которые берутся из разных строк и разных столбцов. Для определения знака, с которым входят члены определителя третьего порядка удобно использовать следующие диаграммы:

Используя определители, можно компактно записать формулы для выражения векторного и смешанного произведений через координаты векторов.

Следствие 2.18. Пусть e1, e2, e3 — правый ортонормированный базис и

В частности, если базис правый ортонормированный, то смешанное

произведение равно определителю, составленному из координат векторов.

Следствие 2.20 (Геометрический смысл определителя третьего порядка). Абсолютная величина определителя, составленного из координат трех векторов в ортонормированном базисе, равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Следствие 2.21 (Критерий компланарности векторов). Векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат (в любом базисе), равен нулю.

Оказывается, аналогичные утверждения можно доказать и для определителей второго порядка.

Утверждение 2.22 (Геометрический смысл определителя второго порядка). Абсолютная величина определителя, составленного из координат двух векторов на плоскости в ортонормированном базисе, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство. Пусть e1, e2 — ортонормированный базис, в котором векторы a и b имеют координаты ( 1, 2), ( 1, 2) соответственно. Можно считать, что плоскость, в которой располагаются векторы, находится в пространстве и e3

— единичный вектор, ортогональный этой плоскости. Тогда e1, e2, e3 — ортонормированный базис в пространстве. В нем векторы a и b имеют координаты ( 1, 2, 0), ( 1, 2, 0) соответственно. Имеем

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b, равна модулю этого векторного произведения, т. е. абсолютному значению определителя

Рис. 2.19:

Заметим, что можно дать простое «планиметрическое» доказательство, не использующее понятие векторного произведения и не выводящее за пределы плоскости, в которой расположены векторы a, b.

Утверждение 2.23 (Критерий коллинеарности векторов). Векторы a, b на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат (в любом базисе), равен нулю.

Доказательство. Равенство нулю определителя

1 2

1 2 2 1 0,

12

очевидно, эквивалентно равенству

1 2

12

(случаи, когда в знаменателях стоят нули, рассматриваются отдельно), которое, в свою очередь, эквивалентно коллинеарности векторов a( 1, 2), b( 1, 2).

Пример 2.24. Найдем векторное произведение [a, b], если a(1, 2, 3), b(3, 4, 2) (в правом ортонормированном базисе)

Таким образом, координаты [a, b] суть ( 8, 7, 2).

Пример 2.25. Найдем площадь S треугольника ABC, если A(0, 1, 2), B(2, 4, 3), C( 1, 3, 0) (в прямоугольной системе координат); см. рис. 2.19.

Треугольники ABC и A BC равны. Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине

D

B C

A

Рис. 2.20:

Пример 2.26. Найдем смешанное произведение векторов a(1, 2, 3), c(4, 5, 7), b( 2, 3, 4) (базис правый ортонормированный)

Пример 2.28. Найдем объем V призмы ABCA B C , если A(1, 1, 1), B(2, 4, 3), C(3, 2, 2), A (3, 4, 2) (система координат прямоугольная); см. рис. 2.21. Так как

Выражение [[a, b], c] называется двойным векторным произведением.

Утверждение 2.29. [[a, b], c] (a, c)b (b, c)a.

B C

A

Рис. 2.21:

Доказательство. Простой, но длинный способ доказательства утверждения — ввести произвольный правый ортонормированный базис, перейти к координатам векторов и воспользоваться формулами для выражения скалярного и векторного произведений через координаты. Можно сократить такое доказательство, если выбрать базис специальным образом. Пусть e1, e2, e3 — правый ортонормированный базис, такой, что e1 коллинеарен вектору v, а e2 компланарен векторам b и c. Имеем

a 1e1, b 1e1 2e2, c 1e1 2e2 3e3.

Откуда [a, b] 1 2e3 и, следовательно,

[[a, b], c] [ 1 2e3, 1e1 2e2 3e3] 1 2 1e2 1 2 2e1.

С другой стороны,

(a, c)b (b, c)a 1 1 ( 1e1 2e2) ( 1 1 2 2) 1e1 1 2 1e2 1 2 2e1.

Мы видим, что левая и правая части доказываемого равенства совпадают.

3, /4, /6, /3.

Обозначим a , v , c Легко вычисляются попарные скалярные произведения этих векторов, так как известны их длины и углы между ними: (a, a) 1, (b, b) 4, (c, c) 3,

(a, b) 2, (a, c) 3/2, (b, c) 3. Осюда, воспользовавшись результатом упражнения 2.31, находим квадрат смешанного произведения:

к f(x) или g(x) нужное количество членов с нулевыми коэффициентами). Тогда суммой многочленов f(x) и g(x) называется многочлен

f(x) g(x) (a0 b0)xn (a1 b1)xn 1 (an 1 bn 1)x (an bn).

Произведением многочленов f(x) и g(x), определенных согласно (4.1) и (4.2) (при любых соотношениях между m и n, называется

f(x) g(x) a0b0xn m (a0b1 a1b0)xn m 1 (an 1bm anbm 1)x anbm, т. е.

f(x) g(x) c0xn m c1xn m 1 cn m 1x cn m, где ck aibj. (4.3)

i j k

Операции сложения и умножения обладают следующими легко проверяемыми свойствами: для любых многочленов f(x), g(x) и h(x) справедливо

1)f(x) g(x) g(x) f(x) (коммутативность сложения),

2)f(x) g(x) g(x) f(x) (коммутативность умножения),

3)f(x) g(x) h(x) g(x) f(x) h(x) (ассоциативность сложения),

4)f(x) g(x)h(x) g(x) f(x) h(x) (ассоциативность умножения),

5)f(x) g(x) h(x) f(x) g(x) f(x)h(x) (дистрибутивность).

Докажем, например, ассоциативность умножения многочленов. Если f(x) и g(x) определены согласно (4.1) и (4.2) соответственно и

h(x) c0xl c1xl 1 cl 1x cl ,

то

f(x) g(x)h(x) d0xn m l d1xn m l 1 dn m l 1x dn m l ,

где, согласно (4.3) (мы пользуемся дистрибутивностью в поле F),