AlgAndGeom-1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Радиофизический факультет

А.Б. Корчагин

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций 1-й семестр

Рекомендовано методической комиссией радиофизического факультета

для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 013801 "Радиофизика и электроника"

010403 "Информационные технологии в радиофизике и телекоммуникациях"

Нижний Новгород 2012

Глава 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§1. Векторы и линейные операции над ними

Определение 1.1. Вектором называется ориентированный (= направленный) отрезок.

Если AB — отрезок, то чтобы его ориентировать, надо указать, какой из

Рисунок.

−→ −−→

Построение вектора AB + AD, описанное в этом определении хорошо

известно и называется правилом параллелограмма. Мы будем пользоваться

построенный по теореме о пропорциональности отрезков на сторонах угла при пересечении параллельными прямыми (Рис.),

Деление вектора на число β ≠ 0 определяется как умножение на число β1 ,

−−→ −→

например ABβ = β1 AB.

Определение 1.4. Операции суммы векторов и умножения вектора на

длину 1, называется единичным вектором.

3

Замечание 1.12. 1) Из опред. 1.9 следует: чтобы задать вектор, надо

задать его длину и его направление.

−→

2) Множество всех векторов, равных данному вектору AB, обычно в печатном тексте обозначают какой-нибудь буквой с жирным шрифтом, например, a, и при этом в каждой конкретной ситуации выбирают из множе-

ства a самый подходящий (среди равных). Более того, букву a тоже называют

−→

вектором. При этом вектор AB называют фиксированным вектором, а мно-

−→

жество a всех векторов, равных данному вектору AB, называют свободным вектором

3) Для того, чтобы сложить векторы a и b

−→

а) из множества a выбирают какой-нибудь вектор AB,

−→

б) из множества b выбирают вектор с началом в точке A, скажем AC,

−→ −→

в) складывают AB и AC по опред. 1.2, и

4

a на число α и пишут α a.

г) При необходимости обозначают сумму новой буквой, например, c = α a.

5)Множество всех нулевых векторов обозначается o.

6)Векторы из множеств a и −a являются противоположными. Замечание 1.13. С помощью геометрических построений можно про-

верить следующие векторные тождества.

1)a + b = b + a (коммутативность сложения),

2)(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения),

3)a + o = a,

4)a + (−a) = o.

Лемма 1.14. (1-й критерий коллинеарности) Ненулевые векторы a и b

коллинеарны, согда существует λ, такое что a = λ b.

Доказательство. 1) Необходимость. Если векторы a и b коллинеарны, то по опред. 1.10 возможны два случая либо a ↑↑ b, либо a ↑↓ b.

а) Рассмотрим первый случай. Если a ↑↑ b, то векторы имеют одно и тоже направление, то есть |aa| = |bb|. Очевидно, что a = ||ba|| b, и мы можем

положить λ = ||ba||.

б) Рассмотрим второй случай. Если a ↑↓ b, то векторы имеют противоположные направления, то есть |aa| = −|bb|. Очевидно, что a = −||ba|| b, и мы можем положить λ = −||ba||.

2) Достаточность. Если a = λ b, то по опред. 1.3 векторы a и b лежат на одной прямой и следовательно коллинеарны.

Определение 1.15. Три вектора a, b, c называются компланарными, если они параллельны какой-нибудь плоскости.

Пусть V = {a, b, c, . . . } – некоторое множество свободных векторов. Определение 1.16. 1) Если для любых векторов a, b V и любого

числа α

а) их сумма принадлежит множеству V, т.е. a + b V и

5

б) произведение αa принадлежит множеству V т.е. αa V,

то множество векторов V называется замкнутым относительно линейных операций.

Определение 1.17. Если множество векторов V замкнуто относительно линейных операций, то оно называется векторным пространством.

§2. Линейная зависимость и независимость векторов.

Рассмотрим произвольные векторы a1, a2, . . . , an.

Определение 2.1. Вектор

α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an

называется линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , an с числовыми коэффициентами α1, α2, . . . , αn.

Замечание 2.2. По закону исключения третьего (утверждения) равенство

α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an = o

выполняется

1)либо только при (α1, α2, . . . , αn) = (0, 0, . . . , 0),

2)либо еще и при (α1, α2, . . . , αn) ≠ (0, 0, . . . , 0).

Определение 2.3. Если равенство

α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an = o

выполняется только при (α1, α2, . . . , αn) = (0, 0, . . . , 0), то векторы a1, a2,

. . . , an называются линейно независимыми.

Определение 2.4. Если равенство

α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an = o

выполняется при (α1, α2, . . . , αn) ≠ (0, 0, . . . , 0), то векторы a1, a2, . . . , an

называются линейно зависимыми.

Лемма 2.5. Совокупность векторов, содержащая вектор o (напр., o, a2, . . . , an), линейно зависима.

Доказательство. Ясно что α1 a1 + α2 a2 + · · · + αn an = o, и (1, 0, . . . , 0) ≠ (0, 0, . . . , 0). По опред. 2.4 векторы o, a2, . . . , an линейно зависимы.

Лемма 2.6. (Критерий линейной зависимости.) Векторы a1, a2, . . . , an

линейно зависимы, согда один из них равен линейной комбинации остальных.

6

Доказательство. 1) →. Если векторы линейно зависимы, то в равенстве 2.4 один из коэффициентов, скажем α1, отличен от нуля. Тогда a1 равен линей-

2) ←. Если один из векторов, например a1, выражается через другие, т.е. a1 = β2a2 +···+βnan, то a1 −β2a2 −···−βnan = 0, значит (1, −β2, . . . , −βn) ≠ (0, 0, . . . , 0). Поэтому по опред. 2.4 векторы a1, a2, . . . , an линейно зависимы.

Следствие 2.7. (Критерий линейной независимости.) Векторы a1, a2,

. . . , an линейно независимы, согда никакой из них не равен линейной комбинации остальных.

Теорема 2.8. Если векторы a1, a2, . . . , ak линейно зависимы, то векторы a1, a2, . . . , ak, ak+1, . . . , an линейно зависимы.

Доказательство.

Остальная часть этого параграфа посвящена геометрической интерпретации линейной зависимости и независимости.

Теорема 2.9. Совокупность из одного вектора a1 линейно зависима, согда a1 = o.

Доказательство. 1) Пусть a1 линейно зависим, тогда по опред. 2.4 α1a1 = o при α1 ≠ 0. Тогда a1 = o.

2) Следует из 2.5.

Следствие 2.10. Совокупность из одного вектора a1 линейно независима, согда a1 ≠ o.

Теорема 2.11. Два ненулевых вектора a1, a2 линейно зависимы, согда они коллинеарны.

Доказательство. 1) Пусть векторы a1, a2 линейно зависимы. Тогда по 2.6 либо a1 = λa2, либо a2 = λa1, и по 1.14 векторы коллинеарны.

2) Доказывается в обратном порядке.

Следствие 2.12. Два ненулевых вектора a1, a2 линейно независима, согда они неколлинеарны.

Следствие 2.13. Любые два вектора на прямой линейно зависимы. Теорема 2.14. Пусть векторы a1, a2 линейно независимы. Векторы

a1, a2, a3 компланарны, согда существует такая пара чисел λ1 и λ2, что

a3 = λ1a1 + λ2a2.

7

Доказательство. 1) Если векторы a1, a2 линейно независимы, то по 2.12 они неколлинеарны. Т.к. векторы a1, a2, a3 компланарны, то по правилу параллелограмма вектор a3 можно разложить по направлениям векторов a1, a2, т.е. a3 = b1 + b2, где b1 a1 и b2 a2. По 1.14 существуют λ1 и λ2 такие, что

b1 = λ1a1 и b2 = λ2a2. Поэтому a3 = λ1a1 + λ2a2.

2) Пусть a3 = λ1a1 + λ2a2. Тогда векторы a1, a2, a3 компланарны по построению вектора a3.

Теорема 2.15. (1-й критерий компланарности.) Ненулевые векторы a1, a2, a3 компланарны, согда a1, a2, a3 линейно зависимы.

Доказательство. 1) Пусть векторы a1, a2, a3 компланарны. По закону исключения третьего возможны два случая либо a1 a2, либо a1 a2.

а) a1 a2. По 2.11 a1, a2 линейно зависимы, по 2.8 a1, a2, a3 линейно зависимы.

б) a1 a2. По 2.12 векторы линейно независимы, по 2.14 имеем a3 = λ1a1 + λ2a2, а по 2.6 a1 a2 линейно зависимы.

2) Пусть a1, a2, a3 линейно зависимы. По 2.6 a3 = λ1a1 + λ2a2, следовательно a1, a2, a3 компланарны по построению вектора a3.

Следствие 2.16. Любые три вектора на плоскости линейно зависимы. Следствие 2.17. Ненулевые векторы a1, a2, a3 некомпланарны, согда a1, a2, a3

линейно независимы.

Теорема 2.18. Если в пространстве три вектора a1, a2, a3 линейно независимы, то для любого вектора a существует такая тройка чисел λ1, λ2, λ3,

что a = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3.

Доказательство. По правилу параллелепипеда вектор a можно разложить по направлениям векторов a1, a2, a3, т.е. a = b1 + b2 + b2 + b3, где b1 a1, b2 a2, b3 a3. По 1.14 существуют λ1 и λ2 такие, что b1 = λ1a1, b2 = λ2a2,

b3 = λ1a3. Поэтому a = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3.

Теорема 2.19. Любые четыре вектора a1, a2, a3, a4 в пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Возможны два случая либо a1, a2, a3 линейно зависимы, либо a1, a2, a3 линейно независимы

а) Если a1, a2, a3 линейно зависимы, то по 2.8 a1, a2, a3, a4 линейно зависимы.

б) Если , a2, a3 линейно независимы, то 2.18 a = λ1a1 + λ2a2 + λ3a3, а по 2.6 a1, a2, a3, a4 линейно зависимы.

8

§3. Базис. Координаты вектора в базисе.

Определение 3.1. Векторы e1, e2, . . . , en называются базисом векторного пространства V, если

1)e1, e2, . . . , en — линейно независимы и

2)любой вектор a V можно представить в виде их линейной комбинации, т.е.

a = a1e1 + a2e2 + · · · + anen,

при этом числа a1, a2, . . . , an называются координатами вектора a в этом базисе.

Определение 3.2. Число векторов в базисе векторного пространства V называется размерностью этого пространства. Пространства размерности n = 0, 1, 2, 3, . . . обозначаются R0, R1, R2, R3, . . . .

Замечание 3.3. 0-мерное пространство R0 (состоящее из только из нулевого вектора o) не имеет базиса. По 2.9 совокупность из одного вектора o линейно зависима. Поэтому в 0-мерном пространстве нет независимых векторов, следовательно пункт 1) опред. 3.1 не выполнен.

Теорема 3.4. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор на этой прямой.

Доказательство. Доказательство сводится к проверке опред. 3.1. Во-первых, по 2.9 каждый ненулевой вектор e линейно независим, Во-вторых, любой вектор a на прямой коллинеарен вектору e, и по 1-му критерию коллинеарности 1.14 имеем a = λ e.

Теорема 3.5. Базисом на плоскости являются любая пара неколлинеарных векторов e1 и e2.

Доказательство. Доказательство сводится к проверке опред. 3.1. Во-первых, по след. 2.12 каждая пара неколлинеарных векторов e1 и e2 на плоскости являются линейно независимыми. Во-вторых, т.к. любые три вектора a, e1 и e2 на плоскости компланарны, то по 2.14 a = λ1e1 + λ2e2.

Лемма 3.6. Базисом в пространстве являются любая тройка некомпланарных векторов.

Доказательство. Доказательство сводится к проверке опред. 3.1. Во-первых, по 2.17 любые три некомпланарных вектора e1, e2, e3 являются линейно независимыми. Во-вторых, по 2.18 любой вектор a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3.

Теорема 3.7. Если e1, e2, . . . , en — базис и a = a1e1 + a2e2 + · · · + anen — разложение вектора a по этому базису, то координаты a1, a2, . . . , an определены однозначно.

9

Доказательство. Предположим противное, что

a= a1e1 + a2e2 + · · · + anen

a= a′1e1 + a′2e2 + · · · + a′nen

почленно нижнее, получим

o = (a1 − a′1)e1 + (a2 − a′2)e2 + · · · + (an − a′n)en.

Т.к. вектора базиса e1, e2, . . . , en линейно независимы, то (a1 −a′1, a2 −a′2, . . . , an − a′n) = (0, 0, . . . , 0). Полученное противоречие доказывает лемму.

Следствие 3.8. Векторы

a = a1e1 + a2e2 + · · · + anen, b = b1e1 + b2e2 + · · · + bnen

равны, согда

a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.

Лемма 3.9. (2-й критерий коллинеарности.) Векторы

a = a1e1 + a2e2 + · · · + anen,

b = b1e1 + b2e2 + · · · + bnen

коллинеарны, согда

Доказательство. 1) Необходимость. Если векторы a и b коллинеарны, то по 1-му критерию коллинеарности существует λ, такое что a = λ b, т.е.

a1e1 + a2e2 + · · · + anen = λb1e1 + λb2e2 + · · · + λbnen.

По лемме 3.8 имеем a1 = λb1, a2 = λb2, . . . an = λbn. Решая эти уравнения относительно λ, получим требуемый результат

2) Достаточность. Доказывается в обратном порядке.

10