AlgAndGeom-1

Другими словами, отображение называется линейным, если правые части формул (1) — многочлены степени ≤ 1 (т.е. степени 0 или 1).

Заметим, что формулы (1) можно записать в координатной форме

где f(x, y) — двух координатная (векторная) функция.

Пример 18.2. Если a1 = b1 = a2 = b2 = 0, то линейное отображение

{x′ = c1 y′ = c2

отображает всю плоскость P в точку (x′, y′) = (c1, c2) на плоскости Q и называется постоянным отображением. Рис.

Пример 18.3. 1) Линейное отображение

{x′ = x y′ = 0

реализует проекцию плоскости P на ось x′ плоскости Q. Рис.

реализует проекцию плоскости P на ось y′ плоскости Q. Рис. Пример 18.4. 1) Линейное отображение

{x′ = x y′ = y

накладывает плоскость P на плоскость Q и называется тождественным

переворачивает плоскость P вокруг биссектрисы y = x, т.е. меняет местами оси x и y и называется симметрией относительно биссектрисы y = x. Рис.

Пример 18.5. Линейные отображения

реализуют осевые симметрии относительно осей y и x соответственно. Осевые симметрии часто интерпретируют как переворачивание плоскости вокруг

51

оси симметрии на угол 180◦. Последовательное применение симметрии относительно оси y, а затем симметрии относительно оси x есть отображение

{x′ = −x y′ = −y ,

которое интерпретируют как поворот плоскости P вокруг начала координат на угол 180◦. (Два переворота эквивалентно одному повороту.) Рис.

Лемма 18.6. Если главный определитель отличен от нуля, т.е. ∆ =

a1 b1 ≠ 0, то линейное отображение f : P → Q имеет обратное линей- a2 b2

ное отображение f−1 : Q → P , которое задаётся формулами

Доказательство. Решим по правилу Крамера систему

{

a1x + b1y = x′ − c1 a2x + b2y = y′ − c2

относительно x и y, получим требуемый результат.

Следствие 18.7. (Критерий.) Линейное отображение (1) взаимно однозначно, тогда и только тогда, когда ∆ ≠ 0.

Известно, что если ∆ > 0, то аффинное преобразование не переворачивает плоскость, а если ∆ < 0, то — переворачивает.

Определение 18.8. Линейное взаимно однозначное отображение f : P → Q называется аффинным отображением (∆ ≠ 0). Если ∆ = 0, то линейное отображение называется вырожденным, потому что плоскость P отображается либо на прямую, либо в точку на плоскости Q.

Простыми словами, аффинные преобразования не комкают плоскость. Они могут осуществлять параллельный перенос плоскости, растягивать и сжимать её, сдвигать, переворачивать (как блин) и поворачивать (как барабан в "Поле чудес"). Композиция двух последовательных аффинных преобразований есть аффинное преобразование.

Например, отображения из пп. 18.4 и 18.5 являются аффинными преобразованиями, а из пп. 18.2 и 18.3 — нет.

Замечание 18.9. Если аффинное преобразование f : P → Q заданно

52

то полный прообраз оси {x′ = 0} Q есть прямая {a1x + b1y + c1 = 0} P , а полный прообраз оси {y′ = 0} Q есть прямая {a2x + b2y + c2 = 0} P .

Цель этого параграфа — представить произвольное аффинное преобразование в виде композиции простых и наглядных аффинных преобразований.

называются (параллельными) переносами плоскости P вдоль плоскости R соответственно на векторы c1i и c2j.

Ясно, что композиция этих преобразований, т.е.

{x′ = x + c1 y′ = y + c2

есть перенос плоскости на вектор c1i + c2j. Замечание 18.11. Линейное отображение

при α > 1 и β > 1 называются растяжениями, а при 0 < α < 1 и 0 < β < 1

называются сжатиями/растяжениями плоскости P .

Замечание 18.13. 1) Нетрудно видеть, что при аффинном преобразова-

53

полный прообраз оси {x′ = 0} Q есть прямая {a1x + b1y = 0} P , а полный прообраз оси {y′ = 0} Q есть прямая {a2x + b2y = 0} P .

Исследуем это аффинное преобразование детально.

Замечание 18.14. 1) Если все четыре элемента главного определителя

∆ = a1 b1 или три из них равны нулю, то отображение не является аф- a2 b2

3)Если a2 = b1 = 0, то видно, что аффинное преобразование

{x′ = a1x y′ = b2y

является сжатием/растяжением.

4)Если a1 = b2 = 0, то видно, что аффинное преобразование

{x′ = b1y y′ = a2x

представимо в виде композиции симметрии

{x′ = y′′ y′ = x′′

Другими словами, в виде композиции

{x′ = y′′ = b1y y′ = x′′ = a2x

5)При a1 = 0 и a2b1b2 ≠ 0 аффинное преобразование

{x′ = a1x + b1y

будет изучено ниже в пункте А.

6)При b1 = 0 и a1a2b2 ≠ 0 аффинное преобразование

{x′ = a1x

y′ = a2x + b2y

54

будет изучено ниже в пункте Б.

7) При a1 = 0 и a2b1b2 ≠ 0 аффинное преобразование имеет вид

{

x′ = b1y y′ = a2x + b2y .

Это преобразование можно представить в виде композиции симметрии

{x′ = y′′ y′ = x′′

8) При b2 = 0 и a1a2b1 ≠ 0 аффинное преобразование имеет вид

Это преобразование можно представить в виде композиции двух преобразо-

и отображения из пункта 6)

{x′′ = a2x

y′′ = a1x + b1y .

Другими словами можно представить в виде композиции

9) Если все элементы главного определителя отличны от нуля и ∆ ≠ 0, то аффинное преобразование имеет общий вид

{x′ = a1x + b1y y′ = a2x + b2y .

55

Оно будет изучено в пункте С.

Случай А.

В этом пункте мы опишем геометрическую интерпретацию преобразова-

Замечание 18.15. 1) Это преобразование можно записать следующим образом

sin φ·j к прямой a1x+b1y = 0 (ось φ направлена против часовой стрелки: ). 2) Преобразование

{x′ = α(cos φ · x + sin φ · y) y′ = βy

можно представить в виде композиции трёх преобразований: симметрии (см. пп. 18.5 или возможно 18.4.1))

{

x′ = |αα| x′′ y′ = |ββ|y′′ ,

сжатия/растяжения { x′′ = |α| x′′′

y′′ = |β|y′′′

56

Определение 18.16. Преобразование вида

{x′ = cos φ · x + sin φ · y y′ = y

при −π2 < φ < π2 называется горизонтальным сдвигом. Рис.

Замечание 18.17. 1) Видно, что прообразом оси y′ = {x′ = 0} при таком сдвиге является прямая cos φ·x+ sin φ·y = 0, а прообразом оси x′ = {y′ = 0} является ось x = {y = 0}.

2) Видно, что при сдвиге ось x = {y = 0} отображается на ось x′ = {y′ = 0} с коэффициентом сжатия cos φ.

3)Если 0 < φ < π2 , то прямая cos φ · x + sin φ · y = 0 при сдвиге поворачивается на угол φ по часовой стрелке и становится осью y′ = {x′ = 0},

4)Если −π2 < φ < 0, то прямая cos φ · x + sin φ · y = 0 при этом сдвиге

′=

{x′ = 0}.

5) Очевидно, что при φ = 0 сдвиг превращается в тождественное отображение.

Случай Б.

В этом пункте мы опишем геометрическую интерпретацию преобразова-

Замечание 18.18. 1) Это преобразование можно записать следующим

57

и где ψ — угол между осью y и вектором нормали n2 = sin ψ · i + cos ψ · j к прямой a2x + b2y = 0 (ось ψ направлена по часовой стрелке: ).

2) Преобразование

{x′ = αx

y′ = β(sin ψ · x + cos ψ · y)

может быть разложено в композицию трёх преобразований: симметрии (см. пп. 18.5 или возможно 18.4.1))

Определение 18.19. Преобразование

{x′ = x

y′ = sin ψ · x + cos ψ · y

при −π2 < ψ < π2 называется вертикальным сдвигом. Рис.

Замечание 18.20. 1) Видно, что прообразом оси x′ = {y′ = 0} при таком сдвиге является прямая sin ψ ·x+ cos ψ ·y = 0, а прообразом оси y′ = {x′ = 0} является ось y = {x = 0}.

58

2) Видно, что при сдвиге ось y = {x = 0} отображается на ось y′ = {x′ = 0} с коэффициентом сжатия cos ψ.

3)Если 0 < ψ < π2 , то прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0 при сдвиге поворачивается на угол ψ против часовой стрелки и становится осью x′ = {y′ = 0},

4)Если −π2 < φ < 0, то прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0 при сдвиге поворачивается на угол ψ по часовой стрелке и становится осью x′ = {y′ = 0}.

5)Очевидно, что при ψ = 0 сдвиг превращается в тождественное отображение.

Случай В.

В этом пункте мы опишем общий случай, когда преобразование имеет вид

{x′ = a1x + b1y

y′ = a2x + b2y , где ∆ ≠ 0 и a1a2b1b2 ≠ 0.

Замечание 18.21. 1) По аналогии со случаями А и Б это преобразование можно записать в виде

и где φ — угол между осью x и единичным вектором нормали n1 = cos φ ·i + sin φ·j к прямой a1x+b1y = 0 (ось φ направлена против часовой стрелки: ), а ψ — угол между осью y и вектором нормали n2 = sin ψ ·i+cos ψ ·j к прямой a2x + b2y = 0 (ось ψ направлена по часовой стрелке: ).

2) Преобразование

{x′ = α(cos φ · x + sin φ · y) y′ = β(sin ψ · x + cos ψ · y)

59

может быть разложено в композицию трёх преобразований: симметрии (см. пп. 18.5 или возможно 18.4.1))

{

x′ = |αα| x′′ y′ = |ββ|y′′ ,

сжатия/растяжения { x′′ = |α| x′′′

y′′ = |β|y′′′

Определение 18.22. Преобразование

{x′ = cos φ · x + sin φ · y y′ = sin ψ · x + cos ψ · y

отрицательном ∆ напряжение получается с переворотом плоскости, который был уже учтён при применении соответствующей симметрии в п. 18.21.2).

2)Видно, что прообразом оси y′ = {x′ = 0} при напряжении является прямая cos φ · x + sin φ · y = 0, а прообразом оси x′ = {y′ = 0} является прямая sin ψ · x + cos ψ · y = 0.

3)Видно, что при напряжении ось x = {y = 0} отображается на пря-

мую sin ψ · x′ − cos φ · y′ = 0, а ось y = {x = 0} отображается на прямую cos ψ · x′ − sin φ · y′ = 0.

60