Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания. Понятов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией экономического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 080500 «Менеджмент», 080100 «Экономика», 081100 «Государственное и муниципальное управление»

Нижний Новгород

2012

УДК 517

ББК 22.11 Т-43

Т-43 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Составитель: Понятов А.А. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 63 с.

Рецензент: к.э.н., доцент А.Д. Пчелинцев

Данные методические указания предназначены для оказания помощи студенту в самостоятельном овладении методами решения задач из курса высшей математики по разделу «Математический анализ». Все задачи соответствуют представленным в «Типовых расчетах по математическому анализу» для студентов экономических специальностей. В каждом параграфе содержатся краткие теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач, а также подробно разобранные задачи с пояснениями методов их решения.

Ознакомление с методическими указаниями позволяет студенту самостоятельно овладеть основными методами решения задач данного раздела.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии экономического факультета ННГУ, к.э.н., доцент М.Л. Шилов

УДК 517

ББК 22.11

Оглавление
Оглавление .........................................................................................................		3
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ....................................................................................		4
1.1. Основные понятия..................................................................................		4
1.2. Вычисление пределов ............................................................................		5
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...............................................		11
2.1.	Основные понятия................................................................................	11
2.2. Основные правила дифференцирования. ..........................................		12
2.3. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей {0/0} и{ / }...		13
2.4. Исследование функции........................................................................		14
2.5. Функции нескольких переменных .....................................................		20
3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ...........................................................		22
3.1. Неопределённый интеграл ..................................................................		22
3.1.1. Основные понятия.........................................................................		22
3.1.2. Табличное интегрирование ..........................................................		23
3.1.3. Интегрирование методом подстановки (замены переменной). 24
3.1.4. Метод интегрирования по частям ...............................................		27
3.1.5. Интегрирование рациональных дробей ......................................		28
3.1.6. Интегрирование простейших иррациональных функций.........		34
3.1.7. Интегрирование тригонометрических функций........................		35
3.2. Определённый интеграл ......................................................................		37
3.3. Несобственные интегралы ..................................................................		40
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.................................................		42
4.1. Основные понятия................................................................................		42
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУПП) ..............		43
4.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными ............................		43
4.2.2. Однородные дифференциальные уравнения..............................		45
4.2.3. Линейные дифференциальные уравнения..................................		46
4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка (ДУВП)...............		48
4.3.1. Неполные ДУВП, допускающие понижение порядка ..............		48
4.3.2. Линейные дифференциальные уравнения..................................		49
4.4. Системы дифференциальных уравнений...........................................		53
5. РЯДЫ............................................................................................................		56
5.1. Числовые ряды .....................................................................................		56
5.2. Степенные ряды ...................................................................................		60
Литература .......................................................................................................		63

1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

1.1. Основные понятия

Число A называется пределом функции f(x) приx, стремящемся к бесконечности(х ), если для любого числа > 0 существует такое число >0, что для всех х, удовлетворяющих условию|х| > выполняется неравенство

f (x) А . В этом случае пишут lim f (x) A.

Смысл понятия предела в данном случае в том, что при увеличении |х| разница f (x) А между значением функции и числомА становится очень маленькой, т.е. значение функции приближаются к А (рис. 1).

Число А называется пределом функции f (x) приx, стремящемся к аили в точке а (х а), если для любого числа > 0 существует такое число > 0, что для всех х, х-а < выполняется неравенство f (x) А (рис. 2). В этом слу-

чае пишут lim f (x) A

x a

Смысл понятия предела в данном случае в том, что при приближении х к

а разница

f (x) А между значением функции и числомА становится очень ма-

ленькой, т.е. значение функции приближается к Ас обеих сторон (рис. 2).

y = f(x)

A +

A+

A -

a- a a+

Рис. 1

Рис. 2

Важно! Для существования предела не требуется, чтобы функция была определена в самой точке х = а, или ее значение было равно А.

ЧислоА также называют – конечным пределом функции f(x).Если функция неограниченно возрастает (убывает) при х или х а, то вместоА пишут

знаки + (– ), например,	lim f (x) ,	lim f (x)	и т.д. В этом случае
	x a	x

функцию называют бесконечно большой при х а и говорят о бесконечном пределе. Также приналичии конечного предела говорят, что предел функции существует, а в случае бесконечно большой функции предел функции не существует. То, к чему стремится х, называютпредельным значением аргумента.

	Если lim f (x) 0			, то функцию называют бесконечно малой при х а.
		x a
y					Если x<a и х а, то употребляют запись х а–
А2					0 (х стремится ка слева). Если при этом f(x) А1, то
А2					А1 называют левымпределом функции f(x) в точке
					А1 называют левымпределом функции f(x) в точке
			y = f(x)		х=аи пишут	lim f (x) A1 . Аналогично при x>a и
А1					х=аи пишут	lim f (x) A1 . Аналогично при x>a и
А1						x a 0
					х а пишут х а+0 (х стремится к а справа). Если
					при этом f(x) А2, то lim f (x) A2 , называют пра-
		а		x		x a 0
		а		x	вымпределом функции f(x) в точке х = а(рис. 3). А1

	Рис. 3
	Рис. 3				и А2 называют также одностороннимипределами
					и А2 называют также одностороннимипределами
					функции f(x)	в точке х = а.Для существования

предела функции в точке х = анеобходимо и достаточно, чтобы А1 = А2. Вычисление пределов основывается на следующих теоремах. Если с– по-

стоянное число( lim с с ), и существуют пределы

lim f (x)

и lim g(x), то

x a

1. lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

;

x a

2. lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x),следствие: lim с f (x) с lim f (x) ;

x a

f (x)

lim f (x)

3. lim

x a

, если lim g(x) 0 ;

g(x)

lim g(x)

x a

lim g(x)

lim сg(x)

lim g(x)

4. lim[ f (x)]g(x) lim f (x) x a

, следствие:

с x a .

x a

Используются также стандартные пределы:

Первый замечательный предел:

lim sin x 1

x 0

1 x

e 2,71828....

Второй замечательный предел: lim 1

lim 1 x

x 0

Полезно знать: lim

0 , а lim

при любых p>0 и с,

lim ln x ,

х р

x 0

х р

x 0

lim сx ,

lim сx 0

при с> 1, lim сx 0 ,

lim сx при 0<с< 1.

Следует понимать, что вместо х в этих пределах может стоять функция от х.

1.2. Вычисление пределов

Для элементарных функций вычисление предела при х а заключается в подстановке значениях= ав выражение для функции, если при этом функция определена.

Пример 1.а) lim f (x) 2x2 5x 4 2 32 5 3 4 7 ,

x 3

			cos 3
												2 2 5
	lim cos2x			0.5			1		lim	x2 5		2 2 5	3
	lim cos2x		ctg2 6			2			lim
б)	x	ctg2 x	ctg2 6		3	2	6	,	в) x 2 log3	1 40x	log3 1 40 2		4 .
	6

Если при подстановке х= аполучим дробь, где числитель не равен нулю, а знаменатель равен нулю (деление на нуль), то функция при х абудет беско-

нечно большой	lim f (x) . Для наглядности в примерах эта формальная
	x a

дробьбудет указываться в фигурных скобках.Для определения знака бесконечности необходимо проанализировать знак функции при х<аих>авблизи от х= а. Если знак одинаков, то его надо поставить перед , если разный, тоследует перейти к вычислению односторонних пределов. Для облегчения анализа части функции, несвязанные с делением на нуль, можно вычислить.

	x2 1	5
Пример 2. lim			.
Пример 2. lim	2		.
x 2	x 2	0

Решение. Определим знак. Числитель при х –2 стремится к 5 и его можно заменить на 5.Итак, числитель дроби положителен.Знаменатель представляет собой квадрат числа, следовательно, положителен как при х<–2,так их>–2.Вывод: дробь положительна при х –2. Получаем:

			x2 1	5		5
	lim				lim		.
	lim		2		lim	2	.
	x 2	x 2		0	x 2	x 2
	x2 1		5
Пример 3. lim
Пример 3. lim	x 2
x 2	x 2		0

Решение. Пример похож на предыдущий, но теперь при х<–2 знаменатель отрицателен, а при х>–2 положителен. Знак функции различен, и следует вычислить односторонние пределы: предел слева (х<–2) и предел справа (х>–2).

lim

x2 1

lim

x2 1

lim

x 2

x 2 0

x 2 0 x 2

x 2 0

x 2 0 x 2

Если функция задана формулой, которая приподстановке предельного значения аргумента теряет смысл, а именно переходит в одно из выражений

0 ,0

	,	1 ,	00 ,	0 ,	0 ,
,

по которым предел без специального исследования вычислить невозможно, то говорят, что имеет место неопределенностьсоответствующего вида. Методы вычисления таких пределов называют раскрытие неопределенности. Рассмотрим некоторые из них (правило Лопиталя будет рассмотрено в 2.3).

Метод 1. Для нахождения предела дробно-рациональной функции (частное многочленов), имеющей неопределенность {0/0} при х а, необходимо числитель и знаменатель поделить на (х–а).Этотметод основан на известном из алгебры следствии из теоремы Безу, согласно которому, если многочлен обра-

щается в нуль при х = а, то он делится без остатка на (х–а). Можно непосредственно делить многочлены уголком (см. пример 44), а можно числитель и знаменатель разложить на множители одним из известных способов.

Примечание. Неопределенность{0/0} возникает, если при подстановке х=а получается дробь, числитель и знаменатель которой равны нулю. Функция в точке х=а не определена (деление на нуль). Но для существования предела при х а не обязательно, чтобы функция была определена в точке х = а. Предел вычисляется при х а, но х а, (х – а) 0. В этом случае числитель и знаменатель будут бесконечно малыми величинами неравными нулю.

6x 8

Пример 4. Найти предел

lim

3x2

5x 2

x 2

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель данной дро-

би и сократим дробь на (х–2).

x1 6 2 / 2 2, x2 6 2 / 2 4;

x2 6x 8 0, D 6 2 4 1 8 4,

3x2 5x 2 0 , D 5 2 4 3 2 49,

5 7 / 6

1 , x2 5 7 / 6 2

;

lim

6x 8

lim

(x 2)(x 4)

lim

x 4

Тогда

7 .

3x2

5x 2

3x 1

x 2

3(x

)(x 2)

x 2

Пример 5. Найти предел

lim

x 4

Решение .Здесь х 4приводит к неопределенности вида – (см. пример 3). Для вычисления предела приведем дроби к общему знаменателю, получив

неопределенность {0/0}, которую раскроем разложением на множители.

lim

2 x 4 16

lim

2 x 4

lim

x 4 x 4

x 4

x 4 x 4

x2 16

x 4

Метод 2. Для нахождения предела дробно-иррациональной функции, имеющей неопределенность {0/0}при х а, необходимо иррациональность из числителя перевести в знаменатель или наоборот, используя формулу (c–b)(c+b) = c2 –b2, а затем упростить. Если иррациональность имеется и в числителе и в знаменателе, то операцию необходимо проделать для каждой.

1 x x2

Пример 6. Найти предел

lim

x 0

Решение. Умножаем и делим на сопряженное выражение. После упроще-

ний сокращаем х и избавляемся от неопределенности.

1 x x2

1 x x2 1 x x2

lim

x x 1

1 x x

x 0

lim

x 0

lim

1 x x2 1 x x2

x(x 1)(

1 x x2

1 x x2 )

x 0

lim

x 0

(x 1)(

1 x x2

1 x x2 )

					2x



	x(x 1)(			1 x x2		1 x x2 )
	2			1.

1 (
1 (		1	1)

Метод 3. Для нахождения предела дробно-рациональной функции, имеющей неопределенность { / }при х необходимо в числителе и знаменателе вынести за скобку xв наивысшей степени (если степени одинаковы, то можно просто поделить числитель и знаменатель на xв наивысшей степени).А

затем учесть, что lim	с	0	при любых p> 0 и с.
затем учесть, что lim		0	при любых p> 0 и с.
x х р
Пример 7. Найти предел				lim	2x3 2x2 5x 6
Пример 7. Найти предел				lim	3x3 7x 1
				x	3x3 7x 1

Решение. Выносим за скобку в числителе и знаменателе x3 и сокращаем

(делим числитель и знаменатель на x3 ). Учитываем lim

lim

х2

x х3

5x 6

lim 2x

lim

3x3 7x 1

3 .

	lim	7x5 3x3 x 8
Пример 8. Найти предел	lim	8x4 5x2 4	.
	x	8x4 5x2 4

Решение. Выносим за скобку в числителе x5 , а в знаменателе x4 , имеем

		5				3		1			8
	7x5 3x3 x 8		x	7
			x	7		x2			x4			x5		7
lim		lim				x2			x4			x5	lim x	7	.
lim	8x4 5x2 4	lim					5			4			lim x	8
x	8x4 5x2 4	x		4			5			4			x	8
				x	8
				x	8		x2			x4
							x2			x4

Для нахождения предела дробно-рациональной функции, имеющей неопределенность { – } при х , надо, как и в примере 5, привести дроби к общему знаменателю и получить неопределенность { / }.

Для нахождения предела иррациональной функции, имеющей неопределенность { – } при х , надо, как и в примере 6, иррациональность из числителя перевести в знаменатель и получить неопределенность { / }.

Пример 9. Найти предел lim 9x4 2x3 3 x2 .

Решение. Умножаем и делим на сопряженное выражение. В полученном после упрощений выражении выносим наивысшую степень x2 .

lim

x2 lim

x4 2x2

3 x2

2x2

x4 2x2 3

x4 2x2 3 x4

lim

x4 2x2 3 x2

1 1

x x2

x 1

Метод 4.Для нахождения предела функции, имеющей неопределенность {0/0} и представляющей собой дробь, содержащую отношение тригонометрических функций и многочленов, можно путем преобразований привести его к ви-

ду, содержащему первый замечательный предел:

lim

sin z(x)

z(x) 0 z(x)

Пример 9.а) lim

sin 8x

lim

sin 8x

lim

sin x2 1

x 0

б) lim

1, т.к. предел имеет вид

lim

sin z(x)

1, где z x2 1.

x2 1

z(x)

x 1

z(x) 0

Пример 10. lim

sin8x

lim

sin8x

lim

7x2

x 0

lim

cos2x sin 8x

Пример11.Найти предел

sin 7x

x 0

Решение. lim cos2x sin8x lim cos2x lim sin8x

x 0

sin 7x

x 0

x 0 sin 7x

cos0 lim sin 8x

7x 1 8

lim sin 8x lim

1 1

7 .

x 0 sin 7x

x 0 8x

x 0 sin 7x

Примечание. Для сокращения записи можно lim cos2x отдельно не выписывать, а сразу под-
x 0
ставлять его значение 1 в исходную функцию: lim cos2x sin 8x		lim sin 8x .
x 0	sin 7x	x 0 sin 7x

lim

1 cos4x

Пример 12. Найти предел

x 0

1 cos4x

2sin2 2x

sin 2x 2

sin 2x

2 2

sin 2x 2

lim

2lim

8 lim

x 0

Метод5. Для нахождения предела функции, имеющей неопределенность1 , можно путем преобразований привести его к виду, содержащему второй

z(x)

lim 1 z(x) 1 z(x)

замечательный предел:

lim

z(x)

z(x) 0

z(x)

x 3 x 3

Пример 13. Найти предел

lim

x x 1

x 3

x 1 4 x 3

x 3

Решение. lim

lim

lim 1

x 1

x x

x 1

4 x 3

x 1

lim

x 3

x 1

lim 1

x 1

Учтено, что в квадратных скобках стоит второй замечательный предел и

lim

4 x 3

lim

4x 1 3 x

4 (см. пример 7). Для упрощения записи можно

x 1

x 1 1 x

делать замену переменной. Например, в данном случае

x 1

x 3

4z 4

, x

4z 1, тогда lim

lim 1

x x 1

z 4

1 4

lim 1

Предел с неопределенностью надо отличать от похожих примеров, где

неопределенности нет.

4 x 3

x 3

4 x 3

lim

x 1

x 3 x

x 1

Пример 14. lim

lim

x 2x 1

2x 1

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.2019240.13 Кб4МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМНДАЦИИ к лабораторным2003.doc
#
27.03.2015374.78 Кб10Методические указания к лр№2.doc
#
18.11.2019617.98 Кб4Методические указания к решению задач.doc
#
29.08.201992.67 Кб1Методические указания по практике 2012.doc
#
23.11.201910.08 Mб3Методические указания №43.rtf
#
27.03.20151.46 Mб8Методические указания. Понятов.pdf
#
22.09.2019251.73 Кб1Методическое пособие ;Авторские смены СПО Ювент...docx
#
11.11.2019266.24 Кб20Методическое пособие по культуре речи.doc
#
27.03.201571.17 Кб17методичка П.о.doc
#
27.03.201568.21 Кб371Методичка "Правоохранительные органы".docx
#
27.03.2015111.62 Кб4Методичка (Экономическая практика) ГМУ.doc