Методические указания. Понятов

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1. Основные понятия

Производной y функции y f (x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции y f (x x) f (x) к вызвавшему его приращению аргумента x , при стремлении приращения аргумента к нулю:

Если существует конечный предел, то функция y f (x) называется дифференцируемой в точке х (имеющей производную).Операция нахождения производ-

ной называется дифференцированием функции.

11

Геометрически производная f (x0 ) равна угловому коэффициенту каса-

тельной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)), т.е. f (x0 ) tg , где - угол наклона касательной. Уравнение касательной имеет вид y y0 f (x0 )(x x0 )

Физический смысл производной функции f(t), где t– время, а f(t)– закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Обобщая, можно сказать, что производная – есть скорость изменения функции в точке х.

Производной второго порядка(второй производной) называют произ-

7)Производная сложной функции. Пусть y= f(u),u = u(x), то y y u

xu x

Если функция y = f(u) элементарная, то в соответствии с таблицей произ-

На практике обычно замену наu, приводящую функцию к элементарному виду, делают в уме, и записывают результат сразу для х.

12

8) Логарифмическое дифференцирование. Заключается в том, что сна-

чала находят производную от логарифма функции (ln f (x)) , а затем производ-

для функций вида y uv (функция в основании и показателе степени).

Пример18. Найти производную функции y xsin x .

Решение. Находим производную от логарифма функции ln y sin x ln x

9) Дифференцирование неявной функции. В общем виде неявную функцию можно записать в виде F(x,y) = 0. Продифференцировав по х обе части этого уравнения получим уравнение для y , откуда и найдем y .

Пример 19. Найти производную y из уравнения y2 x3 xsin y 8 0 . Решение. Дифференцируем обе части уравнения, считая y сложной функцией:

2.3. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей {0/0} и{ / }

Пусть функции f(x) иg(x) дифференцируемы в окрестности точки х0, и

если предел в правой части равенства существует.

13

9) Нахождение точек перегиба. IV. Построение графика функции.

Функция f (x) называется четной, если f ( x) f (x) , график такой функции симметричен относительно оси ординат (Оу). Функция f (x) называется нечетной, если f ( x) f (x) , график такой функции центральносимметричен относительно начала координат. Остальные функции называются функциями общего вида. Они тоже могут иметь симметрию, но другого вида.

Функция f (x) называется периодической с периодом Т 0, если f (x Т) f (x) . Практически периодом называют наименьшее из положительных чисел Т, тогда любой другой период имеет вид nT, где n = 1,2,…Значения и график периодической функции повторяются через Т, следовательно, такую функцию достаточно исследовать на одном периоде. Из элементарных функций периодическими являются только чистотригонометрические. Остальные функции являются непериодическими.

Исследование на непрерывность.

Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в

некоторой окрестности точки x0 и существует предел lim f (x) f (x0 ) или

x x0

ределена в некоторой окрестности точки x0 , и для нее нарушается условие не-

прерывности (1). Точка разрыва называется точкой разрыва I рода, если односторонние пределы в (1) существуют и конечны. Если они при этом равны между собой, но не равны f (x0 ) , то x0 точка устранимого разрыва, если различ-

ны, то точка неустранимого разрыва. В последнем случае разность правого и левого пределов называется скачком функции. Точка разрыва называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов в (1) равен бесконечности или не существует.

Теорема. Все элементарные функции непрерывны в своей ООФ. Сумма и произведение непрерывных функций есть также функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функция – есть функция непрерывная во всех точках, где нет деления на нуль.

Это означает, что у элементарной функции разрывы могут быть только в точках, где функция не существует, в граничных точках ООФ. Например, в точках деления на нуль. Для составных функций подозрительными на разрыв являются точки стыковки элементарных частей.

15

Если расстояние между точкой кривой и некоторой прямой стремится к

является точкой разрыва II рода.

2. Прямая у = b является горизонтальной асимптотой, если существует

х + и х – ). Наклонная асимптота существует, если пределы для k иb конечны. При k= 0 и конечном значенииb асимптота получается горизонтальной. Поэтому на практике поиск горизонтальной асимптоты отдельно можно не проводить, сразу начиная с наклонной асимптоты (нахождения k).

Функция f (x) называется возрастающей, если из неравенства x2 x1 следует неравенство f (x2 ) f (x1) . Если же из неравенства x2 x1 следует неравенство f (x2 ) f (x1) , то функция f (x) называется убывающей.

Если во всех точках некоторого интервала f (x) 0 , то функция f (x) возрастает, если f (x) 0 , то f (x) убывает в этом интервале

Функция f (x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке x0 , если значение функции в этой точке f (x0 ) является наибольшим или наименьшим

значением функции в некоторой окрестности этой точки.

Следует помнить: 1) Максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией. Вне рассматриваемой окрестности точки x0 функция может принимать большие (меньшие)

значения, чем в этой точке. 2) Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Необходимое условие экстремума. Если функция f (x) имеет экстремум в точке x0 , то её производная в этой точке равна нулю f (x0 ) 0 (дифферен-

цируемая функция)или не существует.

Это означает, что точки экстремума следует искать только среди точек, где f (x0 ) 0 или производная не существует, их называют критическими точками первого рода(точки с f (x0 ) 0 называют стационарными). Другие

точки исследовать не нужно. Следует понимать, что это условие не достаточное, поскольку производная может быть равна нулю f (x) 0 или не существо-

16

вать не только в точках экстремумов. Поэтому после нахождения критических точек каждую из них надо исследовать на основании достаточных условий.

Первое достаточное условие существования экстремума (по первой производной).Пусть точка x0 является критической точкой функции f (x) . Ес-

ли при переходе слева направо через x0 : 1) f (x) меняет свой знак с + на–, то точка x0 - точка максимума; 2) f (x) меняет свой знак с – на +, то точка x0 - точка минимума; 3) f (x) не меняет знака, то экстремума нет.

В качестве примера функции, у которой в точке экстремума производная не существует, приведем y x . В точке х = 0 эта функция производной не

имеет (не дифференцируема), но по первому условию - это точка минимума.

Второе достаточное условие существования экстремума (по второй производной). Пусть в точке x0 f (x0 ) 0 . Тогда x0 – точка максимума, если f (x) 0 , и минимума, если f (x) 0 . Если же f (x) 0 , то для заключения о наличии экстремума требуется дополнительное исследование (например, по первому условию).

График функции f (x) называется выпуклым в интервале (а, b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке интервала, и вогну-

тым, если выше. Достаточным условием выпуклости (вогнутости) является f (x) 0 ( f (x) 0 ) в (а, b).

Точки, где f (x) 0 или f (x) не существует, называют критическими точками второго рода. Если при переходе слева направо через такую точку f (x) меняет свой знак, то эта точка является точкой перегиба, т.е. по одну сторону от нее кривая выпукла, по другую – вогнута.

Пересечение с осями у=0 при х=0. Интервалы знакопостоянства покажем на оси, отметив на ней точки пересечения с осями и разрыва функции.

непериодична, поскольку является элементарной нетригонометрической. Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна везде,

кроме точки х = 1, где не существует. Определяем тип точки разрыва.

17

Таким образом, прямаяy = kx +b = х, двусторонняя наклонная асимптота.

II. Исследование функции с помощью первой производной:

Находим критические точки первого рода:

—стационарные точки y = 0 или x3 x3 4 0 . x1 0, x2 34 1,59

—производная не существует в точке х = 1.

Определяем интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума. Результаты сведем в таблицу.