Физика гетероструктур

ла чередующихся слоев C1 и C2 с различающимися показателями преломления n1 и n2 и ширинами a1, a2. Толщины слоев удовлетворяют условиям

nb ωc Lb = Nbπ, n1 ωc a1 = n2 ωc a2 = π2 , (12.11)

где nb - показатель преломления активного слоя, Nb – его толщина, выраженная в целых числах полуволн λ / 2 = π(c /ωnb ), ω – произвольно вы-

бираемая частота, которая при выполнении условий (12.11) оказывается резонансной частотой 2D-фотонной моды. В квантовом микрорезонаторе в середину активной области помещается одна или несколько квантовых ям (слой A на рис. 12.3) с резонансной частотой экситона ω0, близкой к частоте ω . В дальнейшем для простоты предполагаем, что структура содержит одну квантовую яму и Nb – четное число, так что электрическое поле фотонной моды имеет пучность в середине активного слоя.

Смешивание экситонных и фотонных состояний в квантовом микрорезонаторе приводит к образованию 2D-экситонных поляритонов. Анализ таких связанных экситон-фотонных возбуждений можно проводить в модели двух классических осцилляторов, один из которых представляет экситон в квантовой яме, а другой - фотонную моду. Роль колеблющихся величин играют средняя поляризация P(t)=a-1∫dzPexc(z,t), индуцируемая 2D-экситоном, и электрическое поле E(t) в квантовой яме. Заметим, что в пределах тонкого слоя квантовой ямы зависимостью электрического поля от z можно пренебречь. Эти две величины удовлетворяют стандартной системе уравнений для связанных осцилляторов

где Γ, γ – нерадиационное затухание 2D-экситона и затухание фотонной моды, которое определяется неидеальной отражательной способностью зеркал, обусловленной конечностью числа пар C1 и C2 в распределенных брэгговских отражателях. Собственные решения ищем в виде экспоненциальных функций P(t) = P exp(- i ω t), E(t) = E exp(- i ω t). Если затухания Γ, γ и разность затравочных резонансных частот ω0 - ω малы по

127

сравнению с самими этими частотами, система уравнений для амплитуд упрощается:

Здесь вместо q1 и q2 введены другие параметры q j / 2ω . Для них, а также для затухания γ можно получить аналитические выражения

Поясним физический смысл введенных параметров: γ j – затухание фо-

тонной моды, обусловленное выходом фотона из микрорезонатора в левую (j=l) или правую (j=r) внешнюю среду с диэлектрической проницаемостью nj; Γ0 – введенное в (11.12) радиационное затухание экситона в структуре с одиночной квантовой ямой, Rmj – коэффициент отражения света от брэгговского зеркала j при падении на него со стороны активного слоя, Nj – число пар слоев C1 и C2 в этом зеркале, длина L определяет глубину проникновения фотонной моды в брэгговский отражатель.

Решая однородные уравнения (12.13), получим следующие комплексные собственные частоты экситон-поляритонных мод:

ω± = 12 (ω0 +ω −i(Γ+γ ))± γ1γ2 + 14 (ω0 −ω −i(Γ−γ ))2 . (12.15)

Заметим, что согласно (12.14) произведение γ1γ2 равно произведению

ΓΓ0 .

Проанализируем случай, когда частота фотонной моды ω настроена на резонанс с экситонной частотой: ω = ω0 . В режиме слабой

связи, определяемом условием (Γ−γ )2 > 4γ1γ2 , имеем для собственных частот

128

то есть их реальные части совпадают, а мнимые различаются. В режиме сильной связи, когда (Γ−γ )2 < 4γ1γ2 , у собственных частот различаются вещественные части:

В этом случае разность ω+ −ω− = 2Ω называется частотой Раби.

Отметим, что обычные структуры с изолированными квантовыми ямами являются открытыми системами, в которых 2D-возбуждения, экситоны, взаимодействуют с 3D-фотонами и экситон-фотонное взаимодействие приводит в основном к радиационному затуханию экситона. В квантовом микрорезонаторе с качественными оптическими зеркалами как экситонные, так и фотонные состояния размерноквантованы в направлении главной оси структуры. Поэтому в этом случае возможна сильная перенормировка энергии исходных («голых») частиц. В реальных полупроводниковых квантовых резонаторах расщепление Раби составляет несколько миллиэлектронвольт, а в некоторых случаях даже превышает 10 мэВ.

Рис. 12.4. Спектр оптического отражения от квантового микрорезонатора с активной областью шириной λ , в центр которой вставлена квантовая яма.

Для расчета коэффициента отражения от квантового микрорезонатора, например, при падении света слева нужно добавить в правую часть вто-

129

рого уравнения (12.13) слагаемое -(i/2)t’ml Γ E0, где E0 – амплитуда падающего света, t’ml – амплитудный коэффициент пропускания света через левое брэгговское зеркало при падении со стороны левой внешней среды. Электрическое поле волны, выходящей через левое или правое зеркало, связано с полем E в квантовой яме соотношением

E j = t2ml E ,

где tml – амплитудный коэффициент пропускания света через зеркало j при падении света со стороны активного слоя. В режиме сильной связи собственные частоты ω± в спектре оптического отражения проявляются в виде двух провалов, а в спектре пропускания – в виде двух пиков.

Для иллюстрации режима сильной связи на рис. 12.4 представлен спектр отражения от квантового микрорезонатора, в котором брэгговские зеркала выращены из чередующихся слоев AlAs (n1=2.95) и GaAs (n2=3.61), активная область шириной λ – из GaAs, одиночная квантовая яма In0.04Ga0.96As расположена в центре активного слоя, резонансные частоты ω и ω0 совпадают. Свет на структуру падает по нормали к плоскости интерфейсов. В спектре четко различимы два минимума, определяющие положение собственных частот 2D-экситонных поляритонов ω±. Расщепление Раби составляет 3 мэВ и существенно превышает ширину спектральных провалов ω+ и ω− .

При наклонном падении света в микрорезонаторе возбуждаются поляритоны с отличным от нуля 2D-волновым вектором q||. В микрорезонаторе с однородным активным слоем, не содержащим квантовой ямы, дисперсия 2D-фотонов имеет простой вид

ωphot (q||) = ω2 + (cq|| / nb )2 .

Эта формула получается из дисперсии фотонов

ω = (c / nb )q = (c / nb ) qz2 + q||2

130

в активном слое и квантования компоненты qz в микрорезонаторе. При малых значениях 2D -волнового вектора, когда q||<< q = (ω / c)nb , приме-

нимо параболическое приближение

hq2

ωphot = ω + 2m|| . (12.17)

где введена эффективная масса 2D-фотонов m = nb2hω / c2 . В квантовом

микрорезонаторе экситонная и фотонная моды смешиваются. В результате для верхней и нижней TE-поляризованных ветвей дисперсионной кривой получаем

Здесь для простоты пренебрегается экситонным и фотонным затуханием. Кроме того, экситонная эффективная масса считается бесконечной, так как фотонная масса m очень мала и обычно имеет порядок 10-5–10-4 m0. В структурах с совпадающими частотами ω0 и ω дисперсия принимает вид

где введена константа экситон-фотонной связи V = γ1γ2 = ΓΓ0 .

Из многочисленных нелинейных оптических явлений, изученных в квантовых микрорезонаторах, мы рассмотрим нелинейное рассеяние поляритонов при наклонном падении возбуждающего света под определенным углом, получившим название «магического». Речь идет о процессе рассеяния поряритонов в пределах нижней ветви

(ω−,q p )+ (ω−,q p )→ (ω−,0)+ (ω−,2q p ),

131

в котором два идентичных исходных поляритона с волновыми векторами q|| = q p , превращаются в пару поляритонов с волновыми векторами 0

и 2q p , где q p – составляющая волнового вектора света накачки, лежащая в плоскости интерфейсов. Поляритон сq|| = 0 высвечивается по нормали к интерфейсам и называется сигнальным; поляритон с q|| = 2q p получил название холостого (idler). Значение q p находится из законов сохранения энергии и волнового вектора

2ω− (q||) = ω− (0) +ω− (2q||) . (12.20)

Для частиц с параболической дисперсией такой процесс рассеяния запрещен. Сильная связь между экситоном и фотоном в микрорезонаторе приводит к антипересечению их затравочных дисперсионных кривых и к образованию ветвей ω± (q||) . Нижняя ветвь ω− (q|| ) характеризуется сильно

выраженной непараболичностью, допускающей необычное двухполяритонное рассеяние. Пусть частота микрорезонатора ω настроена на резонанс с ω0. Подставляя ω− (q|| ) из (12.19) в (12.20), приходим к трансцен-

дентному уравнению

1+ 4x2 − 4 + x2 +1− x = 0

для безразмерной переменной x = hq||2 / 2mV . Это уравнение имеет два

решения: тривиальное x1 = 0 и нетривиальное x2=1. Следовательно, изучаемое поляритон-поляритонное рассеяние происходит при qp = 2Vm / h

и критический, или «магический», угол падения возбуждающего света равен

θp = arcsin(cq /ω0 ) = arcsin(nb 2Ω/ω0 ) . (12.21)

Здесь учтено, что при нулевых расстройке ω −ω0 , и параметрах затухания Γ, γ расщепление Раби 2Ω равно 2V.

В работе [12.2] указанное рассеяние наблюдалось в двухпучковой постановке эксперимента: свет накачки падал на структуру наклонно, а второй (пробный) пучок, когерентный первому, – по нормали. Наблюдалось стимулированное усиление отражения второго пучка, когда угол

132

падения света накачки приближался к магическому углу. Процесс рассеяния характеризуется богатой поляризационной зависимостью. Этот же процесс удается наблюдать и при использовании только одного источника света. При достижении некоторой критической интенсивности накачки при угле падения τp начинается сверхлинейное нарастание ин-

тенсивности света, выходящего из структуры по нормали к поверхности образца. В этом случае дно поляритонной подзоны ω− играет роль ловушки, которая «всасывает» поляритоны и формирует макроскопическое поляритонное состояние, эффективно излучающее свет наружу.

133

ГЛАВА 13. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ НИТЕЙ §13.1. Методы изготовления квантовых нитей

Большинство способов изготовления квантовых нитей основывается на том, что в системе с двумерным электронным газом (квантовая яма) тем или иным способом ограничивается движение носителей заряда в еще одном направлении. Для этого есть несколько способов.

Наиболее очевидный из них – это непосредственное «вырезание» узкой полоски с помощью литографической техники (рис. 13.1а).

Рис. 13.1. Полупроводниковые гетероструктуры с квантовыми нитями, полученные с помощью субмикронной литографии за счет вытравливания узкой полоски из самой структуры (а) или щели в затворе Шотки (б): 1 – полупроводник с широкой запрещенной зоной (например, AlGaAs), 2 – полупроводник с узкой запрещенной зоной (например, GaAs), 3 – металлический затвор. Образующийся вблизи гетерограницы узкий электронный канал показан штриховой линией. Заштрихованы области обеднения электронами.

При этом для получения электронных нитей шириной в сотни ангстрем, где квантование энергий электронов будет заметным, необязательно делать полоски именно такой ширины, что требует литографической техники сверхвысокого разрешения. Дело в том, что на боковых гранях вытравленной полоски, как и на свободной поверхности полупроводника, образуются поверхностные состояния, создающие, как правило, слой обеднения. Этот слой вызывает сужение проводящего канала, в результате чего квантовые эффекты можно наблюдать и в полосках большей ширины – порядка десятой доли микрона.

Можно поступить иначе. Поверхность полупроводниковой структуры покрывают металлическим слоем, создающим с полупроводником контакт Шотки и имеющим узкую щель (рис. 13.1б). Если гетерограница находится достаточно близко от поверхности, в слое обеднения, то двумерные электроны на границе будут отсутствовать всюду, кроме узкой области под щелью. Такой тип одномерной структуры обладает допол-

134

нительным преимуществом: меняя напряжение на затворе, мы можем управлять эффективной шириной квантовой нити и концентрацией носителей в ней.

§13.2. Плотность электронных состояний

Все основные свойства квантовых нитей, в том числе и оптические, определяются законом дисперсии, т.е. зависимостью энергии электронных состояний от импульса

где m* – эффективная масса электронов (дырок), Ei – дискретные значения энергии (i=1,2,…), связанные с эффектом размерного квантования, pz – импульс носителя заряда в направлении его свободного движения. Выражение Ei ( pz ) описывает i-тую подзону размерного квантования. В

связи с этим интересно сравнить между собой объемные материалы с законом дисперсии

и квантовые нити (13.1). Несмотря на внешнюю похожесть приведенных формул, разное число измерений, по которым электроны (дырки) могут свободно двигаться, вызовет качественную разницу почти во всех свойствах.

Важнейшей характеристикой электронной системы наряду с ее законом дисперсии является плотность состояний, т.е. число состояний в единичном интервале энергии. Поскольку электроны подчиняются принципу Паули, то плотность состояний определит то максимальное число электронов, которое может разместиться в данном интервале энергий, а распределение электронов по энергиям определит все их остальные свойства.

Основной вопрос здесь заключается в следующем: насколько должны отличаться импульсы двух электронов, чтобы они могли считаться принадлежащими к различным квантовым состояниям и не подчиняться принципу Паули? Пусть размер образца вдоль оси z равен Lz. Из соотношений неопределенности квантовой механики следует, что

135

при этом неопределенность импульса pz будет равна 2πh/ Lz и, следовательно, различными могут считаться состояния со значениями импульса, различающимися на 2πh/ Lz . Аналогичные рассуждения относятся и к другим направлениям, в которых электроны двигаются как свободные.

Теперь мы можем вычислить важную промежуточную характеристику системы G(E) – полное число состояний, имеющих энергию, меньшую, чем E. В трехмерном случае

где V – объем образца, Vp(E) – объем импульсного пространства, т.е. области в осях px, py, pz, для которой энергия меньше, чем E. Легко понять, что эта область представляет собой шар радиусом 2m * E и объемом (4π / 3)(2m * E)3 / 2 , так что окончательно в трехмерном случае

Очевидно, что G(E) образовалось суммированием всех состояний с энергиями от 0 до E. При этом интересующая нас плотность состояний вблизи заданной энергии будет определяться производной G(E) по энергии. Кроме того, обычно интересуются плотностью состояний не на весь образец, а на единицу объема и учитывают то, что в каждом состоянии могут находиться два электрона с противоположными спинами. Это дает окончательную формулу для трехмерной плотности состояний:

Аналогичный расчет для квантовой нити приводит к следующему выражению

Здесь суммирование проводиться по подзонам размерного квантования.

136