все лекции методы и средства иик

которая изображает возможную линейную зависимость, то можно использовать метод наименьших квадратов. Правда теперь имеет смысл b1 и b2 (две прямые) так как каждая переменная в равной мере может быть рассмотрена, как зависимая и как независимая.

Если рассматривать функцию ,, то коэффициент b1 выбирают так, чтобы сумма всех квадратов была бы минимальной, однако с теми же основаниями у может рассматриваться как свободная переменная,

В общем случае (а), прямые не совпадают, можно показать, что b1 и b2, тем сильнее стремятся к нулю, чем более независимы х и у. При полной статистической независимости, прямые перпендикулярны b1=b2=0 (б).

Если имеет место функциональная зависимость, то b1=1/b2 и обе прямые регрессии совпадают.

Коэффициенты регрессии, в зависимости от тесноты статистической связи изменяются между нулем и значением крутизны, соответствующей функциональной зависимости. Поэтому значения b1 и b2 в какой-то мере отражают тесноту линейной связи, но полностью охарактеризовать ее не могут, так как не зафиксирована верхняя граница b. Этого можно достичь, по средствам нормирования, следующим образом:

, где r – коэффициент корреляции.

41

r может принимать значения от минус 1 до плюс 1. При строгой функциональной связи лежат на прямой. При положительном коэффициенте угла наклона прямой r=+1, при отрицательном r=-1.

Если х и у полностью статистически независимы, то r=0. Модуль коэффициента r, является мерой линейной зависимости, чем ближе пара значений расположения к прямой, тем больше |r|→1.

Замечания:

1.Из рассмотренного вытекает: если две величины независимы друг от друга, то они не коррелированны и равны нулю. Если пары значений

лежат на прямой, то r=1. Обратные утверждения в общем случае не верны.

Если r=0, то это означает что имеется отсутствие линейной зависимости, то х и у вообще не зависят друг от друга.

Если r=1, то из этого не следует, что зависимость х и у линейна, а следовательно только то, что эти величины зависят друг от друга.

2.r используется как мера линейной зависимости, то необходимо учитывать, что r зависит от объема выборки n. Очевидно, что при наличии только двух пар значений, величина r всегда равна 1. Однако, как можно видеть при определении доверительных границ при малых n, доверительный интервал увеличивается при использовании r в качестве статистической характеристики, только при двух пар значений недопустимо.

3.Если пары значений лежат вблизи прямой, то из этого что r принимает значения близкие к ±1, не следует что эта линейная зависимость отображает также причинно-следственную связь.

Весьма вероятно, что имеется корреляция между числом краж и числом автомобилей в стране, возможно, что такая мнимая, лишенная смысла корреляция происходит от того, что коррелирующие явления имеют общую причину, но так бывает далеко не всегда. Гипотеза, о наличии причинно-следственной связи должна быть обусловлена в каждом отдельном смысле. Корреляция показывает лишь, не противоречат ли полученные результаты гипотезе.

Коэффициент корреляции r рассчитан по исходному уравнению характеризует корреляцию выборки может быть использован в

качестве оценки математического ожидания коэффициента корреляции генеральной совокупности. При этом возникает задача

42

статистической достоверности этого коэффициента. При этом проверяют, является ли отличным r от нуля, статистически значимым.

Измерение как процесс передачи сигналов

Характерной чертой любого измерения является передача сигнала.

Сигнал – это физическая величина, несущая информацию. В процессе преобразования в измерительном устройстве параметры и вид сигнала часто изменяются, однако передаваемая им измеряемая величина должна претерпевать минимальные искажения.

Взаимосвязь двух и более сигналов устанавливается с помощью так называемых передаточных звеньев – речь идет не о приборных узлах, а о направленной функциональной связи между входным сигналом (причиной) и выходным сигналом (следствием). Эта связь характеризуется передаточными свойствами звеньев. Передаточные звенья и взаимодействующие сигналы изображаются с помощью блок-схем.

На рисунке передаточная характеристика между xe и xa характеризуется свойствами трех звеньев UV1, UV2, UV3

Измерительные сигналы и их математическое описание

Процесс измерения, понимаемый как процесс передачи сигналов, характеризуется самими сигналами и передаточными свойствами звеньев. Измерение возможно, если свойства звеньев соответствуют свойствам измерительного сигнала, поэтому типовые характеристики этих двух компонентов должны иметь общее математическое описание. Рассмотрим математическое описание характеристик сигналов.

Классификация сигналов:

1.Детерминированный

43

2.Стохастический

3.Периодический

4.Апериодический

5.Стационарный

6.Нестационарный

44

Детерминированный сигнал (причинно-определенный) – в любое время определен однозначно, является воспроизводимым. Величину можно предсказать в любой момент времени, пользуясь математическим описанием.

Стохастический (случайный) – в каждый момент времени изменяется случайным образом и может быть описан только статистическими законами. Математическое описание не дает возможности предсказать конкретное значение.

Периодический – характеризуется равенством

Апериодический – не периодический сигнал. В отдельных случаях это выражение используется для сигналов, не содержащих колебательной составляющей.

Стационарный сигнал – стохастический сигнал, статистические характеристики которого не изменяются во времени.

Есть различие между установившимся и стационарным сигналом. Установившийся – не изменяющийся во времени ( )

Нестационарный – случайный сигнал с неустановившимися характеристиками.

45

Временные характеристики детерминированных измерительных сигналов

А) Единичный импульс

1/

F=1

Б) Единичная функция

1

t

В) Линейно-нарастающая

t

Единичная функцияесть интеграл от единичной импульсной функции. Линейно-нарастающая функция получается в результате интегрирования единичной функции.

Особое место при описании сигналов занимают гармонические колебания

46

В то же время описание гармонической функции возможно в комплексной форме:

Временные характеристики стохастических сигналов

Описание стохастических сигналов как функции времени в детерминированном виде невозможно. Дается статистическое описание, при этом предполагается, что сигнал является стационарным.

Если амплитуду сигнала разбить на интервалы шириной , то можно определить относительную частоту для каждого интервала:

Амплитудная плотность:

T

x

t

Дисперсия сигнала – СКО амплитуды от среднего значения

Нужно помнить, что характеристика сигнала только с помощью амплитудной плотности связана с известной потерей информации. Одному и тому же распределению плотности амплитуд может соответствовать бесконечное множество форм сигнала, то есть плотность амплитуд не характеризует тенденцию к изменению сигнала во времени.

47

Корреляционная функция

Для изучения вопроса о тенденции сигнала к сохранению может использоваться корреляция.

Для определения наличия линейной статистической связи между парами значений рассчитывают коэффициент корреляции. Чем теснее линейная зависимость, тем больше модуль коэффициента корреляции,

имеет место так называемая автокорреляционная функция.

В отличие от коэффициента корреляции дискретных пар значений, автокорреляционная функция в общем случае относится к непрерывному сигналу и часто не нормируется.

Как и при расчете среднего значения и дисперсии сумма дискретных значений заменяется интегралом

Можно ожидать, что в общем случае для больших сдвигов времени тенденция к сохранению сигнала становится меньше. это максимум функции и справедливо неравенство:

Автокорреляционная функция является четной относительно .

48

а)стохастический сигнал

б) автокорреляционная функция Виды сигналов:

49

а) малый сигнал с малой тенденцией к изменению, зависимость от крутая и быстро выходит к .

б) сигнал с большой тенденцией к изменению. Низкочастотная функция.

50