все лекции методы и средства иик

При известном значении с, с помощью такого графика можно, на основании измерения, показать верхнюю и нижнюю границу математического ожидания.

Математическое ожидание с доверительной вероятностью Р (в процентах) лежит внутри этих границ. Интервал между этими границами называется доверительным интервалом математического ожидания.

Часто случайную погрешность, определяемую доверительной вероятностью, называют также недостоверностью измерения. Эта погрешность статистически описывает только отклонения от математического ожидания, а не правильность измерения.

μ и σ теоретически, принадлежат генеральной совокупности; в каждой реальной выборке – величины оценки параметров. σ2 – дисперсия (второй момент плотности распределения вероятности).

В качестве оценки σ используется рассеяние:

(теряется 1 степень свободы), S2 – состоятельная

оценка. При n→∞, S→σ.

Случайная погрешность среднего значения.

Чтобы избежать недостоверности случайной погрешности единичного замера, можно усреднить несколько измерений. Но полученное среднее значение является только случайной величиной, так как n – является выборкой (конечным числом), среднее квадратическое отклонение у него меньше, чем у единичного измерения.

Между средним квадратическим отклонением среднего значения и средним квадратическим отклонением измерения имеется соотношение:

Усреднение позволяет уменьшить доверительную границу погрешности, при заданной доверительной вероятности пропорционально .

Систематическая погрешность градуировки.

Систематическая погрешность Ес=μ-х, реально μ→ , полученную при многократных измерениях.

Ес≈х- .

31

В связи с тем, что систематическая погрешность является воспроизводимой, ее можно определить при поверке прибора и учесть при проведении измерений.

Градуировочная кривая с систематической погрешностью, зависящая от размера измеренного значения.

Так как точно может быть определено только среднее значение, а не математическое ожидание, то градуировочная кривая имеет смысл лишь в том случае, если результат случайной погрешности определяемого среднего значения при градуировке существенно меньше, чем систематическая погрешность. Поэтому градуировка по одиночному измерению без априорного значения случайной погрешности или доверительного интервала лишена смысла.

Если используемые при градуировке меры или приборы сравнения имеют значительные рассеяния, то результирующая погрешность должна определяться на основе законов распространенных погрешностей.

32

Распространение погрешности

Если результат измерения определяется на основе математической обработки отдельных измеренных значений, то погрешность вводится и в этот результат, поэтому говорят о распространении погрешности. Различным структурам систематических и случайных погрешностей соответствуют разные законы распространения погрешностей.

Систематические погрешности

Результат измерения y определяется по m различным измеренным значениям xi. В статике эта связь описывается уравнением:

При малых отклонениях результирующее отклонение можно рассчитать, используя первые члены ряда Тейлора:

Следует отметить, что систематическая погрешность может иметь знак «+» или «−» вследствие чего возникает возможность ее компенсации. Особое значение, предъявленное к систематической погрешности, имеет частная

производная . Эти весовые (влияющие) коэффициенты показывают, каким

весом отдельные систематические погрешности участвуют в образовании систематической погрешности результата измерения.

Случайные погрешности Случайная погрешность, рассматриваемая как единичное явление, по своей

природе не может быть предсказано заранее, однако можно высказать суждение о ее статистических свойствах.

При нормальном распределении погрешности СКО является мерой, характеризующей плотность распределения погрешности, поэтому вопрос о распространении погрешности сводится к способу распространения

величин .

Если отдельные влияющие величины взаимно независимы и для величин

Если вместе с СКО подставить их оценки рассеивания , то получим соотношение для определения рассеивания результата ( не строгое):

Используя в качестве оценки можно определить доверительные границы погрешности при выбранной доверительной вероятности.

Для увеличения точности расчета результата измерения можно использовать среднее значение влияющих величин:

Если для усреднения каждой из m величин используется n значений, то СКО или рассеивание будет уменьшаться

Если рассеивание S(xi) влияющих величин заранее не известно, то можно определить его одновременно с усреднением xi, используя те же n значений. В этом случае приведенное соотношение и график не могут быть использованы. Доверительные границы погрешности среднего значения результата измерения определяют по формуле:

Величину С определяют по графикам для выбранной доверительной вероятности Po и числу степеней свободы

Предел погрешности.

Его применяют для задания максимального гарантированного значения погрешности. Этот предел содержит как оценочную систематическую, так и случайную погрешность. Пределы погрешности отдельно измеренных значений могут иметь положительные, отрицательные или неопределённые знаки. При неопределённых знаках, предел погрешности результата измерений определяется суммированием абсолютных значений пределов погрешности отдельных измеренных значений.

34

-погрешность Если знаки пределов погрешности измеренных значений известны, то

положительные и отрицательные пределы погрешности результата измерений вычисляются по отдельности.

Методы обработки, связанные со статистическими погрешностями.

Проверка гипотезы нормальности распределения.

Рассмотрим два варианта проверки гипотезы нормальности закона распределения генеральной совокупности, из которых взята данная выборка. Наиболее простой вариант, состоящий в сопоставлении измеренного распределения с нормальным, основан на исследовании диаграммы накопленной частоты. Числовые пометки на оси ординат нанесены таким образом, что нормальному распределению соответствует прямая линия. Накопленную частоту измеренных значений наносят на диаграмму, изображенную на рисунке. После этого проводят прямую таким образом, чтобы отклонение от точек было бы минимальным. Суждение о том, насколько хорошо распределение соответствует нормальному, высказывается после рассмотрения следующих вопросов:

1.В какой мере точки удалены от прямой.

2. Насколько рассчитанное среднее значение выборки отклоняется от определенного с помощью прямой математического ожидания нормального распределения µ. Величина µ считывается с диаграмм при накопленной частоте 50 %.

Замечание: значение 100% накопленной частоты, которая достигается в выборке, на диаграмму не наносят. Это связано с тем, что нормальное распределение допускает бесконечно большое отклонение от ожидаемого значения. Нормальное распределение представляет собой лишь приближенную модель действительное распределение. Однако бесконечно большие отклонения не встречаются. Вероятность бесконечно больших отклонений мала, поэтому внимание надо уделять отклонениям, находящимся в области среднего значения. Поэтому не следует обращать внимание на отклонение накопленной прямой меньше 10% и больше 90%.

35

Диаграмма накопленной частоты для проверки нормальности распределения. Рассмотренная процедура дает только качественную ,грубую оценку. Тем не менее, она пригодна для обнаружения отклонения от нормального распределения. Качественная оценка определяется с помощью хи-квадрат распределения.

1.Определяем из выборки оценки.

и

2.Разбиваем измеренные значения на K интервалов K>4,таким образом, чтобы в каждом интервале было >5 значений.

3.Определяют число измеренных значений в каждом интервале nsi.

4. Для нормального распределения с и , находим вероятность pi попадания измеренных значений в i-ый интервал. По этой вероятности определяют число измеренных значений noi, которые должны были попасть в этот интервал при нормальном распределении.

5.Вычисляется выражение

И используя рисунок решают, имеет место нормальное распределение или нет.

К-число интервалов, используемых при проверке.

36

Доверительные границы -распределения, используемых для проверки гипотезы о нормальности распределения при уровне

оснований сомневаться в том, что генеральная совокупность, откуда произведена выборка, имеет предположительно нормальное распределение. Однако это не означает, что речь идет о каждом случае нормального распределения. Можно только утверждать, что если нормальное распределение действительно имеет место, то выражение

в среднем только в 5% всех случаев лежит в верхней и в 5% всех случаях- в нижней заштрихованных областей. Поэтому, если попадает в эти области, то гипотеза о нормальности распределения отвергается.

37

Грубые погрешности измерения

Если большое число измеренных значений привлекаем для дальнейшей обработки, то каждый раз возникает сомнение, не входят ли грубые ошибки. Ответ получают следующим образом:

1.Предполагают, что различие в ряде измерений обусловлены случайными погрешностями (нормальное распределение).

2.По измеренным значениям определяют характеристики распределения. Для нормального распределения такими характеристиками являются

среднее значение и рассеяние S.

3.Выбирают доверительную вероятность 95%.

измеренных значений, лежащих вне доверительного интервала, отвергаем гипотезу об их принадлежности к генеральной совокупности

и считаем, что эти значения являются грубой погрешностью.

5.После исключения грубой погрешности рассчитывает исправленные оценки и S.

Линейная регрессия.

В измерительной технике очень часто определяют зависимость одной переменной y от другой переменной x, и с помощью линейной регрессии исследуют линейную зависимость значений.

На частном примере (х – независимая, у – зависимая переменная) рассмотрим линейную регрессию. Например: при проверке величина воспроизводимая мерой является независимой, а показания проверяемого прибора - зависимой. Не смотря на то, что мы стремимся получить линейную зависимость, измеренные значения y, как правило, не лежат на прямой. В данном случае, это происходит потому, что имеется случайная погрешность измерений.

При исследовании статистических процессов, это обусловлено также и тем, что взаимосвязь является не функциональной, а лишь статистической.

Возникает вопрос, как провести искомую прямую, называемую прямой регрессии, через точки измерений, нанесенные на (х; у) диаграмму, или как ее рассчитать.

38

Исходя из того, что для определенного значения независимого распределения х, величина у нормально распределена относительно математического ожидания, лежащего на прямой, и что это нормальное распределение не зависит от значения переменной х, то можно применить метод наименьших квадратов. При этом рассматриваются не расстояния точек измерения от прямой, а разность ординат точек измерения и прямой.

Прямую, соответствующую минимальной сумме квадратов погрешности, с наибольшей вероятностью можно рассматривать, как искомую прямую генеральной совокупности и рассчитывать по следующей формуле:

y

x

Крутизна прямой (b), называется коэффициентом регрессии и рассчитывается следующим образом:

В результате получают оценку прямой, описывающую линейную зависимость.

Доверительные границы для коэффициента регрессии.

Процедура, определения доверительных границ, следующая:

1.Выбирают доверительную вероятность (р в процентах);

2.По графику распределения Стьюдента определяют с, как функцию c=f(p%; nf), где nf – число степеней свободы;

3.Вычисляют выражения:

;

Далее определяют доверительные границы для погрешности коэффициента регрессии:

39

; (*)

Математическое ожидание β с р(%) лежат в области (*).

На графике покажем доверительный интервал для коэффициента b линейной зависимости, определенный таким расчетом:

y

x

y

x

Если этот интервал включает β=0, то с выбранной доверительной вероятностью, нет основания утверждать, что действительный коэффициент регрессии (b) отличен от нуля. В этом случае считают, что линейная зависимость не установлена с достаточной достоверностью. Дополнительная недостоверность состоит в том, что среднее значение также представляет собой лишь оценку соответствующего математического ожидания. Поэтому «недостоверность» является положение прямой.

Линейная корреляция.

Если пары значений изучают с целью выявления линейной зависимости и при этом х и у не рассматривают как зависимые и независимые переменные, то в этом случае говорят о корреляции. Например, рост пар братьев и сестер – статистически бессмысленно рассматривать: рост одной – независимая, рост другой – зависимая переменная. Также постановка вопроса имеет место при сопоставлении давление, температура и др. в различных местах.

Изобразим положение переменных регрессии при различной степени линейной статистической связи пар значений (х; у).

А) у

х

40