Задачи для самостоятельной работы.

1. Определить истинность следующих высказываний, если ,,,:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10).

2. Могут ли следующие высказывания быть ложными? Если да, то каковы должны быть значения высказываний P, Q, R?

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

3. В следующих сложных высказываниях выделить элементарные высказывания, обозначить их буквами и записать с помощью логических символов:

1) и;

2) данное число делится на 2 и на 3, или не делится на 6;

3) если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то второе слагаемое делится на 3;

4) если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят углы пополам, то данный параллелограмм – ромб;

5) если целое число – положительно и чётно, то оно простое, или не больше двух;

4. Определить, является ли данная последовательность символов формулой:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

5. Построить таблицы истинности для следующих формул, сделать соответствующие выводы:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) .

6. Являются ли следующие формулы тавтологиями?

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

7. Выразить все основные логические операции через конъюнкцию и отрицание; через дизъюнкцию и отрицание.

8. Доказать следующие равносильности двумя способами (с помощью преобразований и с помощью истинностных таблиц):

1)

2)

3)

4)

5)

6)

9. Доказать, что если формулы итавтологии, тотоже тавтология.

10. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения?

1) ; 4);

2) ; 5).

3) ;

11. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения?

1) ; 4);

2) ; 5);

3) ; 6).

12. Используя логические символы, записать следующие высказывания. Построить к ним отрицание.

1) Числа 5 и 12 не имеют общих делителей, отличных от .

2) Если натуральное число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3.

3) Для любого целого числа существует целое числотакое, чтоили.

4) Каким бы ни было натуральное число , найдётся число, большее, чем.

5) Существует наименьшее натуральное число.

6) Система линейных уравнений не совместна.

7) Не существует рационального числа такого, что.

8) Для всяких целых чисел исуществует целое числотакое, что.

13. Доказать следующие равносильности:

1) ;

2) ;

3) .

14. Доказать законы де Моргана для предикатов.

15. Найти множество истинности предикатов, определённых на множестве :

1) ; 3);

2) ; 4).

16. Найти множество истинности следующих двуместных предикатов, определенных на множестве :

1) ; 3);

2);4)

17. Указать свободные и связные вхождения переменных в следующих формулах:

1) ;

2) ;

3) .

18. Записать собственные аксиомы для формальной теории:

а) групп; б) колец; в) полей.

19. Выполнимы ли следующие формулы:

а) ; г);

б) ; д);

20. Доказать, что бескванторная формула теории предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.