Глава 2. Математическая логика Введение.

Логика занимается анализом методов рассуждений; при этом основное внимание направлено на форму, а не на содержание конкретных доводов. Разговорные языки на протяжении длительного времени развивались как средство общения, а это не всегда совместимо с точностью и надежностью логического анализа. При этом текстуальное сходство не может быть свидетельством тождественности логической формы. Для иллюстрации приведем следующий пример:

1. Я видел портрет Ползунова. Ползунов – изобретатель паровой машины, следовательно, я видел портрет изобретателя паровой машины.

2. Я видел портрет кого-то; кто-то изобрел колесо; следовательно, я видел портрет изобретателя колеса.

Внешнее языковое сходство этих рассуждений обманчиво, что обнаруживается, если обратиться к содержанию. Но существуют более тонкие примеры, где ошибку обнаружить сложнее.

Кроме того, богатство языка, наличие синонимов, имеющих разные смысловые оттенки в разных контекстах, не позволяют использовать разговорный язык в строгом логическом анализе. Возьмем, например, фразы «великий русский поэт А. С. Пушкин» и «автор «Евгения Онегина»», определяют ли эти фразы одно и то же? Если это синонимы, то в любом предложении можно заменить одну из этих фраз другой, не меняя смысла предложения.

Возьмем предложение: «Великий русский поэт А.С. Пушкин является автором «Евгения Онегина»» и заменим в этом предложении одну из двух фраз другой, получим предложение: «Великий русский поэт А.С. Пушкин является А.С. Пушкиным». Таким образом, из предложения, имеющего смысл, мы получим предложение, лишенное смысла.

Математическая логика возникла в середине XIX века, но получила мощный толчок для развития в конце XIX века открытием парадоксов теории множеств. Напомним некоторые из парадоксов.

1. Парадокс Рассела (1902): Как правило, множества не содержат самих себя в качестве своего элемента. Например, множество простых чисел не является простым числом. Но так как никаких ограничений на множества не накладывается, то можно представить себе и множества, которые содержат себя в качестве своих элементов. Назовем такие множества неправильными. Таким образом, множество является правильным, если оно не содержит себя в качестве своего элемента.

Пусть – множество всех правильных множеств. Теперь поставим вопрос: будет ли множествоправильным или неправильным? Предположим, что– правильное, но все правильные множества являются элементами множества, т. е. тогдасодержит себя в качестве одного из элементов, значит множество– неправильное. Предположим, что это так, тогдаявляется элементом, но множество, по определению, содержит лишь правильные множества, и значит,должно быть правильным. Получено логическое противоречие.

2. Парадокс Кантора (1899): С одной стороны множество всех множеств должно иметь наибольшую мощность, с другой стороны, мощность множества всех его подмножеств должна быть ещё большей.

3. Парадокс Бурелли-Форти (1897): Этот парадокс аналогичен парадоксу Кантора, но возникает в теории порядковых (ординальных чисел). Для любого ординального числа существует ординальное число, следующее за ним. Однако ординальное число, определяемое множеством всех ординальных чисел, является наибольшим порядковым числом.

Кроме парадоксов теории множеств существует ещё семантические парадоксы. Рассмотрим наиболее известные из них.

4. Парадокс лжеца: Некто говорит «Я лгу». Если он при этом лжёт, то сказанное им ложь, т.е. он сказал правду. Если же он не лжёт, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжёт. Т.е. он и лжёт и не лжёт одновременно. С парадоксом лжеца имеет сходство известный ещё в древности «парадокс критянина». Критский философ Эпименид сказал: «Все критяне – лжецы». Если он сказал правду, то, поскольку сам Эпименид критянин, сказанное им есть ложь. Если сказанное им ложь, то существуют критянин, который не лжёт.

5. Парадокс Берри (1906): Существует конечное число слогов в русском языке. Следовательно, имеется лишь конечное число таких фраз русского языка, которые содержат не более пятидесяти слогов. Поэтому с помощью таких фраз можно охарактеризовать только конечное число натуральных чисел. Пусть есть «наименьшее из натуральных чисел, которое не характеризуется никакой фразой русского языка, содержащей не более пятидесяти слогов». Взятая в кавычки фраза характеризует число и содержит менее пятидесяти слогов.

Анализ парадоксов привёл к различным планам их устранения.

Логические парадоксы содержат допущение, что для любого свойства существует соответствующее множество всех элементов, обладающих свойством. Если отвергнуть это допущение, то логические парадоксы становятся невозможными. Так, например, парадокс Рассела зависит от существования множествавсех множеств, которые не является элементами самих себя. Поэтому парадокс Рассела доказывает, что такого множества не существует. Парадоксы Кантора и Бурелли-Форти показывают, что не существует универсального «множества всех множеств» и не существует множества всех ординальных чисел. В 1908 г. Цермело построил аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории логические парадоксы невозможны, а семантические парадоксы даже невозможно сформулировать.

Более глубокое исследование парадоксов было предпринято конструктивистами (Брауэр) и интуиционистами (Гейтинг). С их точки зрения, объект, обладающий некоторыми свойствами, существует только тогда, когда указан метод построения, отыскания такого объекта.

Однако какой бы подход не был избран к проблеме парадоксов, необходимо исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться, какие допустимы символы, как из них составлять формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из различных аксиом и правил вывода. В этом состоянии одна из задач математической логики.