lek6
.pdfЧАСТЬ 6.
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ И СКОРОСТЬ СВЕТА
Пусть некоторая система отсчета К = {x, y, z} считается неподвижной, а система отсчета К′ = {x′, y′, z′} движется относительно системы К с постоянной скоростью v0. Оси координат обеих этих инерциальных систем отсчета расположим так, как показано на рисунке ниже.
|
y |
y′ |
|
Оси 0x и 0x′ совпадают и |
|
|
|
|
расположены параллельно |
|
|
|
v0 |
вектору скорости v0. Ось 0y |
|
|
v0t |
|
параллельна оси 0y′, а ось |
|
|
|
|
|
|
0 |
0′ |
x, x′ |
0z параллельна оси 0z′. В |
|
|
|
|
момент времени t0 = 0 обе |
z |
z′ |
|
|
системы совместились. |
Спустя промежуток времени t система К′ переместилась на расстояние v0t. Некоторая точка в пространстве имеет в системе К координаты (x, y, z),
а в системе К′ – координаты (x′, y′, z′). Переход от координат точки в системе К′ к ее координатам в системе К имеет вид:
x = x′ + v0 t,
y = y′,
z = z′.
Эта система уравнений называется преобразованиями Галилея. Преобразования Галилея соответствуют представлениям классической механики.
Пусть в момент времени t0 = 0, когда обе системы отсчета были совмещены, в точке х = х′ = 0 произошла вспышка света. Спустя промежуток времени t луч света вдоль оси 0х′ достиг некоторой точки с координатой х′ = сt. Координата этой же точки в системе К согласно преобразованиям Галилея будет равна
x = ct + v0 t .
Получается, что в системе К луч свете достиг этой точки со скоростью
x = c + v0 . t
Таким образом, скорость света оказалась зависящей от скорости наблюдателя, и по отношению к разным системам отсчета скорость света оказалась различной.
Все эксперименты, поставленные с целью обнаружения зависимости скорости света в вакууме от системы отсчета, дали отрицательный результат. С другой стороны, в электромагнитной теории, скорость света в вакууме представляет собой физическую константу, а не скорость какого-то материального объекта. Обнаружилось противоречие между классической механикой и электромагнетизмом. Это противоречие было устранено Альбертом Эйнштейном.
ПОСТУЛАТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Эйнштейн изменил классические представления о независимых друг от
друга пространстве и времени таким образом, чтобы скорость света в вакууме была одинаковой для всех наблюдателей, а все законы физики имели одну и ту же форму для всех инерциальных систем отсчета. Для этого пространство и время нужно рассматривать как единый пространственно – временной континуум – четырехмерное пространство – время. Время должно зависеть от пространства и в разных системах отсчета идти по-разному.
В основе специальной теории относительности (СТО) лежат два посту-
лата:
1.Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, и абсолютное движение обнаружить невозможно – принцип от-
носительности.
2.Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных сис- темах отсчета и не зависит от движения источника или наблюдателя –
принцип постоянства скорости света.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА В представлениях о четырехмерном пространстве – времени любая
точка будет иметь четыре координаты. В качестве четвертой координаты возьмем ct.
Теперь переход от координат точки в системе K ′ = {x′, y′, z′, ct ′} к ее ко-
ординатам в системе K = {x, y, z, ct} должен удовлетворять обоим постулатам.
Согласно принципу относительности переходы от системы K ′ к системе K и наоборот от системы K к системе K ′ должны быть выражены одинаковыми уравнениями. Кроме того, эти уравнения должны удовлетворять и принципу постоянства скорости света. Этим условиям соответствуют преобразования Лоренца:
x = γx′ + γβct ′, (1)
y = y′,z = z ′,
ct = γβx′ + γct ′(2)
|
x′ = γx − γβct, (3) |
и |
y′ = y, |
|
|
|
z′ = z, |
|
ct ′ = −γβx + γct.(4) |
|
|
В этих уравнениях
γ = |
1 |
|
, β = |
v0 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
1 − β 2 |
|
|
c |
Видно, что эти системы устроены одинаково. Знак «минус» при членах с β в системе справа учитывает направление скорости v0. Остается доказать, что эти преобразования удовлетворяют и принципу постоянства скорости света, то есть доказать, что из условия x′ = ct ′ следует x = ct . Для этого разделим уравнение (1) на уравнение (2):
|
|
|
|
|
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
γ (x′ + βct ′) |
|
|
ct ′ |
|
+ β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
= |
|
= |
ct ′ |
|
= |
1 + β |
= 1, |
|||
|
|
βx′ |
|
|
|||||||
ct γ (βx′ + ct ′) |
|
|
β + 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
ct ′ |
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ct ′ |
|
|
|
|
что и требовалось доказать. Разделив уравнение (3) на уравнение (4), можно показать, что из условия x = ct следует x′ = ct ′ .
Именно Эйнштейн придал преобразованиям Лоренца новый физический смысл. В соответствии с этими преобразованиями изменяются не размеры физических тел, как это считали раньше, а само пространство – время.
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ
Если в двух разных точках на оси 0х два события произошли одно- временно, то по отношению ко всем наблюдателям, движущимся отно- сительно оси 0х, эти же события произошли не одновременно. Причиной этому является постоянство скорости света относительно любых инерциальных систем отсчета.
|
Для доказательства |
отно- |
|
|
сительности |
одновременности |
|
A |
используем |
мысленный |
экспе- |
B |
|
|
римент Эйнштейна, схема которого изображена на рисунке сле-
Kва.
L
M
Пусть в точках A и B произошли вспышки света. Пусть потом в некоторый момент времени все три наблюдателя оказались точно напротив середины отрезка AB. Пусть в этот же момент времени свет от точек A и B одновременно достигнет середины отрезка. С этими условиями согласятся все три наблюдателя.
Теперь встает вопрос о том, когда произошли вспышки света в точках A и B. По этому вопросу наблюдатели не договорятся.
Примем точку зрения наблюдателя К. Вспышки света дошли до середины отрезка AB одновременно. При этом свет с одинаковой скоростью прошел одинаковые расстояния, а значит, затратил одинаковые промежутки времени. Следовательно, вспышки света в точках A и B произошли одновре-
менно.
Теперь примем точку зрения наблюдателя L. И для него вспышки света дошли до середины отрезка AB одновременно. Но, когда произошли эти вспышки, точка В находилась дальше от наблюдателя L, чем точка А. Значит свет, пришедший из точки В затратил больше времени. Следовательно, вспышка света в точке В произошла раньше, чем в точке А. Итак, вспышки света в точках A и B произошли не одновременно.
С точки зрения наблюдателя М вспышка света произошла раньше в точке А. Следовательно и для него вспышки света в точках A и B произошли
не одновременно.
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ СОКРАЩЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Законы, открытые Эйнштейном, получили название релятивистских.
Одним из релятивистских эффектов является релятивистское сокращение пространства.
А |
l0 |
В |
v |
x ′, x
Пусть ось 0x′ проходит через две точки А и В. Пусть отрезок АВ покоится в системе отсчета К′ и движется со скоростью v относительно системы К вдоль оси 0х.
Будем считать, что расстояние между точками А и В равно длине отрезка АВ. Длина этого отрезка будет равна модулю разности координат концов отрезка, но при обязательном условии: координаты начала и конца от-
резка должны быть измерены одновременно.
|
Введем следующие обозначения: |
||||
l0 = xB |
− x A |
при t A |
= t B |
– длина отрезка в системе отсчета К′, |
|
′ |
′ |
|
′ |
′ |
|
l = xB − xA |
при t A = t B |
– длина отрезка в системе отсчета К. |
|||
Но если t A |
= t B , то t A ≠ t B и наоборот. Следовательно, расстояния между точ- |
||||
|
|
′ |
′ |
|
|
ками А и В в разных системах отсчета различны.
Получим формулу связи между этими расстояниями. Разность координат точек А и В в системе 0х′ равна l0. Разность координат точек А и В в системе 0х найдем с помощью уравнения (1) из преобразований Лоренца:
x |
B |
− x |
A |
= γ (x′ |
− x′ |
)+ γβ (ct ′ |
− ct ′ ). |
|||||||
|
|
B |
|
|
A |
|
|
B |
|
A |
|
|
||
С помощью уравнения (4) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ct ′ |
|
− ct ′ |
= −γβ (x |
B |
− x |
A |
)+ γ (ct |
B |
− ct |
A |
). |
|||
B |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
Если последняя разность равна нулю, то есть t A = t B , то xB − x A = l . Тогда по-
лучим:
|
|
|
|
|
|
|
l = γl |
0 |
− γ 2 β 2 l . |
|
|
||||||
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = l0 |
|
|
γ |
= l0 |
γ |
= |
l0 |
= l |
|
|
1 − |
v 2 |
|
, поскольку |
1 |
+ β 2 = 1 . |
|
1 |
+ γ 2 β 2 |
γ 2 |
|
0 |
c 2 |
γ 2 |
|||||||||||
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, мы получили формулу релятивистского сокращения пространст-
ва:
|
|
|
|
|
|
|
l = l |
|
1 − |
v 2 |
. |
||
0 |
c 2 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Согласно этой формуле наблюдатель, движущийся вдоль отрезка, собственная длина которого равна l0 , получит при измерении длины этого отрезка величину l, меньшую, чем l0. Таким образом, для движущегося наблюдателя пространство вдоль направления его движения сокращается.
РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ЗАМЕДЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ Пусть в некоторой точке пространства одно за другим произошли два
события. И пусть в системе отсчета К′, относительно которой эта точка поко-
ится, промежуток времени между этими событиями будет равен t |
0 |
= t ′ |
− t ′ . |
|
2 |
1 |
Промежуток времени t между этими же событиями в системе К получим с помощью уравнения (2) из преобразований Лоренца:
c(t |
2 |
− t |
1 |
) = γc(t ′ |
− t ′ ). |
|
|
2 |
1 |
Итак, мы получили формулу релятивистского замедления времени:
t = |
|
t |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
1 − |
|
v 2 |
||||
|
|
|
||||
|
|
c 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Согласно этой формуле наблюдатель, движущийся относительно системы отсчета, в которой происходят некоторые события с промежутком t0, получит при измерении промежутка времени между этими событиями величину t, большую, чем t0. Таким образом, для движущегося наблюдателя вре-
мя замедляется.
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭНЕРГИЯ Если преобразования Лоренца продифференцировать по собственному
времени некоторой движущейся частицы с учетом замедления времени, то мы получим новые, релятивистские выражения для импульса и полной энергии этой частицы, удовлетворяющие соответствующим законам сохранения:
r r mv
p = ,
1 −
v 2
c 2
mc 2
E = ,
1 −
v 2
c 2
где v – скорость частицы относительно данной системы отсчета, а m – ее масса покоя. Поскольку скорость движения относительна, импульс и энергия частицы зависят от системы отсчета.
Если частица покоится в некоторой системе отсчета, то ее энергия в этой системе будет равна величине
E0 = mc 2 ,
называемой энергией покоя частицы. Поэтому энергия Е называется полной, так как включает в себя и энергию покоя, и энергию движения.
Исключив скорость из выражений для импульса и полной энергии, получим формулу связи массы покоя частицы с ее релятивистскими импульсом и полной энергией:
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 .
Импульс и полная энергия частицы зависят от системы отсчета, а выражение
E 2 − p 2 c 2 = const ,
поскольку масса покоя частицы неизменна.
ИНТЕРВАЛ И ЧЕТЫРЕХВЕКТОР Как мы уже видели, при переходе от одной системы отсчета к другой
обычное трехмерное пространство и время сами по себе изменяются, но рас-
стояние между двумя точками в четырехмерном пространстве – времени остается неизменным. Это расстояние называют интервалом s. Квадрат интервала обычно записывают так:
s 2 = c 2 t 2 − (x 2 + y 2 + z 2 ).
Постоянство интервала
c 2 t 2 − (x 2 + y 2 + z 2 )= const ,
то есть его независимость от выбора системы отсчета, физики называют инвариантностью. Последнему равенству соответствует и ранее полученное равенство
E 2 − p 2 c 2 = const ,
в котором трем координатам x, y, z соответствуют три проекции вектора им-
пульса px, py, pz, а координате ct соответствует выражение |
E |
. |
||||
|
|
|
|
|
c |
|
Таким образом, в четырехмерном пространстве – времени полная энер- |
||||||
гия и импульс составляют четырехвектор: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
. |
|
|
|
|
p x , p y , p z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c |
|
|
|
Четырехвектор также инвариантен, то есть одинаков, по отношению к любой системе отсчета.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Любая массивная частица в каждой системе отсчета обладает энергией
покоя благодаря своей массе и энергией движения, то есть кинетической энергией. В сумме эти две энергии составляют полную энергию частицы. Следовательно, релятивистская кинетическая энергия частицы равна разности между полной ее энергией и энергией покоя этой частицы:
Ek = E − mc 2 .
Согласно принципу соответствия релятивистское выражение для кинетической энергии должно превратиться в классическое при условии v << c. Покажем это, воспользовавшись приближенным равенством
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
при v << c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2c |
2 |
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
mc |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
mc |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
mc |
2 |
|
|
v |
2 |
|
mv |
2 |
|
||||||||
Ek = |
|
|
|
|
|
− mc |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
1 − |
|
|
= |
|
|
|
|
1 − 1 + |
|
|
|
= |
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 − |
v |
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
1 − |
v |
|
|
|
2c |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА Уравнение второго закона Ньютона, записанное в виде
|
r |
r |
|
|
dp |
|
|
|
= ∑F |
, |
|
|
dt |
||
|
|
|
где p – вектор релятивистского импульса. Согласно этому уравнению им-
пульс частицы
r r |
t |
r |
|
||
p = p0 |
+ ∫∑F dt |
|
|
0 |
|
по величине может расти хоть до бесконечности.
Но при этом скорость частицы, обладающей массой покоя, останется всегда меньше скорости света в вакууме. Покажем это.
Из определения релятивистского импульса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
|
|
|
|
mv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
v 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
v 2 |
m 2 v 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|||||||||||||
имеем |
|
= 1 − |
|
|
, потом |
v |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= 1 , |
|
|
откуда v = c |
|
|
|
и оконча- |
|||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ m c |
|||
|
c |
p |
|
|
|
|
c |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||
тельно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = c |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
mc |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
Последнее уравнение удобно для анализа поведения скорости в зависимости от импульса. При малых значениях импульса в знаменателе можно пренебречь единицей, и мы получим классическое соотношение
v = c |
p 2 |
= |
p |
, |
m 2 c 2 |
|
|||
|
|
m |
а при очень больших значениях импульса получим v → с, но все равно v < с. График зависимости скорости от импульса изображен ниже на рисунке.
v c
0 |
p |
ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ВТОРОГО ЗАКОНА НЬЮТОНА
Дальше идет необязательный материал, предназначенный для любо-
знательных студентов.