lek3
.pdfЧАСТЬ 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ВОЛНЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД
Электрический заряд – это внутреннее свойство электронов (e), протонов (p) и многих других элементарных частиц. Электрический заряд частицы поддается количественному измерению, так как сила электромагнитного взаимодействия прямо пропорциональна электрическому заряду. Наименьший по величине экспериментально обнаруженный электрический заряд, равный
e = 1,6 10 −19 Кл,
получил название «элементарный заряд». Электрон обладает элементарным отрицательным зарядом, а протон – элементарным положительным зарядом:
qe = −e , q p = e .
Если в теле число электронов равно числу протонов, то тело не заряже-
но. Именно электроны могут переходить с одного тела на другое. Тело заряжено положительно, если часть электронов удалена из него, а заряжено отрицательно, если число электронов в теле больше числа протонов в нем. Этот недостаток или избыток электронов составляет сторонний заряд тела. Когда мы будем говорить о заряженных телах, мы будем иметь в виду именно сторонний заряд. Часто зарядом называют само заряженное тело.
ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ Проводники электрического тока – это тела (вещества), в которых
имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы: электроны или ионы, – которые могут перемещаться вдоль тела. Все металлы являются проводниками.
Диэлектрики – это вещества, в которых нет свободных носителей заря-
да. Они являются изоляторами. В диэлектрике электрическое поле ослаб-
ляется в ε раз.
Величина ε называется диэлектрической проницаемостью. В вакууме и воздухе ε = 1, в диэлектрике ε > 1, в металле ε → ∞ (электрическое поле в металле ослабляется до нуля).
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА Взаимодействие между электрически заряженными телами осуществ-
ляется через электрическое поле. Схема взаимодействия изображена ниже на рисунке.
создает |
|
действует |
заряд |
Электрическое |
заряд |
+ |
|
+ |
|
поле |
|
действует |
|
создает |
Взаимодействие точечных зарядов в вакууме подчиняется закону Ку-
лона:
F = |
1 |
q1 q2 |
, |
|
4πε 0 |
r 2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
где ε0 = 8,9·10-12 Ф/м – электрическая постоянная. Согласно закону Кулона
сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна модулю произведения величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Заряды одного знака отталкиваются,
а противоположные по знаку заряды притягиваются.
Электрическая кулоновская сила – сила прямого действия, она направлена вдоль прямой, на которой расположены точечные заряды, как это показано ниже на рисунке. В векторной форме закон Кулона выглядит следующим образом:
+ |
+ |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
|
|
q q |
2 |
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
F = |
|
|
1 |
e |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4πε |
|
|
r 2 |
|
r |
|
q1 |
r1-2 q2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
1−2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r
где r = r1−2 – единичный направляющий вектор, направленный вдоль радиу-
er
r1−2
са – вектора r1-2.
Закон Кулона применим и для взаимодействующих проводящих шаров, где r1-2 – расстояние между центрами шаров.
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Электростатическое поле – это поле, созданное неподвижными за-
рядами. Поле способно действовать с некоторой силой на любой точечный заряд, помещенный в это поле. Эта способность не зависит от помещенного заряда, а является свойством самого поля. Мера этого свойства является силовой характеристикой поля. Силовая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется напряженностью. Напря-
женность электрического поля в некоторой его точке – это вектор, рав-
ный вектору силы, действующей со стороны поля на точечный положи-
тельный электрический заряд, помещенный в эту точку, деленному на величину этого заряда:
r |
F |
, |
Н |
. |
|
E = |
|||||
|
|
||||
|
q+ |
|
Кл |
Эта формула определения напряженности используется для расчета силы, действующей на точечный заряд, а не для расчета напряженности.
Точечный заряд, помещенный в электростатическое поле, обладает потенциальной энергией, источником которой является само поле. Поле обладает запасом энергии. Мера этого свойства поля является его энергетической характеристикой. Энергетическая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется потенциалом. Потенциал электрического поля в некоторой его точке равен потенциальной энер-
гии, которой обладает точечный положительный электрический заряд,
помещенный в эту точку, деленной на величину этого заряда:
ϕ= W , Дж = В (Вольт).
q+ Кл
Эта формула используется для расчета потенциальной энергии.
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ Согласно закону Кулона электростатическое поле – это поле цен-
тральных сил и, следовательно, является потенциальным, а электриче- ские силы являются консервативными. Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда из одной точки поля в другую, как и любая работа консервативных сил, равна разности потенциальных энергий этого заряда в поле:
2 |
r |
r |
|
A1−2 = ∫F dr |
= W1 − W2 . |
||
1 |
|
|
|
Разделив это уравнение на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулу связи напряженности с потенциалом в интегральном виде:
2 |
r |
r |
|
|
∫E dr |
= ϕ1 − ϕ 2 |
. |
||
1 |
|
|
|
|
В правой части формулы стоит разность потенциалов первой и второй точек поля. Разность потенциалов двух точек поля – это работа электрического поля по переносу единицы положительного заряда из первой точки поля во вторую.
Используя связь консервативной силы с потенциальной энергией:
r
F= −gradE p
иразделив обе части этого равенства на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулы связи напряженности с потенциалом в дифференциальном виде в векторной форме:
r
E = − gradϕ
и в проекциях на оси координат:
|
|
|
Ex |
= − |
|
∂ϕ |
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||
|
|
|
E y |
= − |
∂ϕ |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
||
|
|
|
E |
|
= − |
. |
|
|||||
|
|
|
z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
||||
1 |
|
2 E |
|
Вектор напряженности поля E все- |
||||||||
|
|
|
гда |
направлен в сторону уменьшения |
||||||||
φ1 |
|
|
||||||||||
> |
φ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потенциала.
ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е Как и любая работа консервативных сил, работа электростатического
поля по перемещению точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю:
r |
r |
|
∫F |
dr |
= 0 . |
l
Используя формулу определения напряженности, получим теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля:
rr
∫E dr = 0 .
l
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по лю- бому замкнутому контуру равна нулю. Равенство нулю циркуляции векто-
ра является признаком потенциального характера соответствующего поля.
РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА Чтобы получить формулу для расчета модуля вектора напряженности
электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом, используем закон Кулона и определение напряженности.
E = |
1 |
|
|
|
q1q2 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
q1 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4πε |
0 |
|
r 2 |
|
q |
2 |
|
|
4πε |
0 |
|
|
r 2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда для любого точечного заряда q получим
|
r |
|
= |
1 |
|
q |
|
– |
|
|
|||||||
|
E |
|
4πε 0 |
|
r 2 |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу для расчета модуля вектора напряженности созданного этим зарядом поля в точке с радиусом – вектором r.
EВектор напряженности поля,
+ |
|
|
созданного положительным заря- |
|
q |
|
r |
дом, |
совпадает по направлению с |
|
E |
|
||
|
|
|
|
|
– |
|
|
радиусом – вектором точки. |
|
q |
|
r |
|
|
Вектор напряженности поля, созданного отрицательным зарядом, направлен в сторону, противоположную радиусу – вектору точки.
Чтобы получить формулу для расчета потенциала поля точечного заряда, используем связь потенциала с напряженностью для центрального поля:
Er = − dϕ . dr
Далее берем неопределенный интеграл:
ϕ = −∫Er |
|
|
1 |
|
q |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr = |
|
+ ϕ |
∞ , |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
dr = −∫ |
4πε 0 |
|
r |
|
|
4πε 0 r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где константа φ∞, – потенциал поля на бесконечности – равна нулю. Итак:
ϕ = |
q |
– |
|
||
|
4πε 0 r
формула для расчета потенциала поля, созданного точечным зарядом q в точке с радиусом – вектором r. Потенциал поля – это число, знак которого совпадает со знаком заряда. Положительный заряд создает вокруг себя электростатическое поле с положительным потенциалом, отрицательный заряд – поле с отрицательным потенциалом.
Каждый точечный заряд создает свое электростатическое поле независимо от других зарядов. Поле, созданное системой точечных зарядов, представляет собой суперпозицию (сумму) полей, созданных каждым из зарядов:
r r |
и ϕ = ∑ϕ i . |
E = ∑Ei |
|
i |
i |
СИЛОВЫЕ ЛИНИИ Электрическое поле можно наглядно изобразить с помощью силовых
линий. Силовые линии – это прямые или кривые линии, в каждой точке которых векторы Е направлены по касательным к этим линиям. Ниже на рисунке изображены силовые линии полей положительного и отрицательного точечных зарядов и силовые линии поля, образованного двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями.
+ |
– |
Е |
Е |
+
Е
–
Как видно из рисунков, поля положительного и отрицательного точечных зарядов являются центральными (сферически симметричными), а поле, образованное двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями, является однородным: во всех точках поля векторы Е одинаковы, а силовые линии параллельны и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
Силовые линии показывают не только направление поля, но его силу: там, где силовые линии расположены чаще, там поле сильнее. Однородное поле везде одинаково.
|
ПОТОК ВЕКТОРА |
|
Рассмотрим элементарную площадку |
dS |
площади dS и вектор а. Проведем к этой |
|
|
a |
площадке с ее лицевой стороны перпендику- |
α |
ляр (нормаль) и отложим вдоль него вектор |
|
|
dS |
dS, по величине равный площади площадки. |
|
Угол между этими векторами обозначим α. |
Потоком вектора а через элементарную площадку dS называется скалярное произведение векторов а и dS:
r
dΦ = a dS .
Чтобы найти поток вектора через поверхность конечной площади, нужно взять интеграл
r
Φ = ∫a dS .
S
Заметим, что поток – это число.
ТЕОРЕМА ГАУССА Электростатическое поле создается электрическими зарядами, причем
напряженность поля прямо пропорциональна величине заряда. Чем больше заряд, тем больше силовых линий выходит из заряженного тела, и больше поток вектора напряженности. Все это отражено в теореме Гаусса: поток ΦE
вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность S прямо пропорционален электрическому заряду qвнтр, за-
ключенному внутри этой поверхности:
|
qвнтр |
или |
∫ |
r |
r |
1 |
∫ |
|
|
||
|
E |
dS = |
ρ dV |
, |
|||||||
|
ε |
|
ε |
|
|||||||
Φ E = |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
S |
|
|
|
0 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где V – объем, заключенный внутри замкнутой поверхности S, а ρ = |
dq |
– |
|
dV |
|||
|
|
объемная плотность заряда. Теорема Гаусса отражает потенциальный ха-
рактер электростатического поля.
E |
В качестве примера покажем, что |
|
из теоремы Гаусса следует закон Ку- |
||
|
||
S |
лона. Для этого окружим точечный за- |
|
|
||
+q |
ряд +q сферической поверхностью ра- |
|
E |
диуса r, а заряд расположим в центре |
|
r |
этой поверхности. В этом случае сило- |
|
|
вые линии напряженности Е электро- |
|
|
статического поля будут перпендику- |
|
|
лярны замкнутой поверхности S. |
Скалярное произведение векторов будет равно произведению их модулей. Во всех точках этой поверхности векторы Е должны быть одинаковы по модулю, и этот модуль можно вынести из-под знака интеграла. Поток вектора Е
будет равен Φ E = ∫E dS = E 4πr 2 . Подставив его в теорему Гаусса, получим
S
E 4πr 2 = |
q |
, откуда E = |
q |
|
, как и следует из закона Кулона. |
||
|
|
|
r 2 |
||||
|
ε |
0 |
|
4πε |
0 |
|
|
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК |
|
Электрический ток – это направленное движение электрического |
заряда. |
|
dq |
Пусть элементарный заряд dq, нахо- |
v |
дящийся в объеме dV, движется со скоро-
+
стью v.
dV
Произведение объемной плотности заряда ρ = dq на вектор его скорости на-
dV
зывается вектором поверхностной плотности тока: = ρ r . Если движущий-
j v
ся заряд пересекает некоторую поверхность S, то интеграл, взятый по этой
поверхности от скалярного произведения |
r |
|
|
|
|
|
||||||||
j dS , называется силой тока: |
||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
r |
|
|
||
|
dq |
|
dr |
|
dq |
|
dr dS |
|
dq |
|
||||
i = ∫ j dS = ∫ |
|
dS = |
∫ |
= |
, |
|||||||||
|
|
dt |
|
|
||||||||||
S |
|
S |
dV dt |
|
|
S |
dV |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, сила тока равна производной от заряда по времени:
i = dq , Кл = А (ампер).
dt с
СТОРОННИЕ СИЛЫ Электрические силы «толкают» положительный заряд только в сторону
уменьшения потенциала. При круговом токе положительный заряд должен пройти участок от меньшего потенциала к большему. Поэтому для создания кругового тока необходимы так называемые сторонние силы, силы неэлектрической природы, которые будут «толкать» положительный заряд от меньшего потенциала к большему. Такие сторонние силы действуют в источниках тока (см. рисунок внизу) и направлены от «минуса» к «плюсу».
Естор – вектор напряженности поля сторонних
– + сил, направленный от меньшего потенциала к Естор большему.
ЗАКОНЫ ОМА Поверхностная плотность тока прямо пропорциональна суммарной на-
пряженности электрического поля и поля сторонних сил:
r = σ (r + r ).
j E Eстор