Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

IW_3_Math_analysis

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

482.86 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Дифференцирование. Задача 1

Производная функции, заданной параметрически

Постановка задачи. Найти производную функции, заданной параметрически.

План решения. Если зависимость от задана посредством параметра :

то производная вычисляется по формуле:

. (1)

Вычисляем и , подставляем в формулу (1) и записываем ответ.

Задача 1. Найти производную .

Задача 1. Найти производную yx .

		3t2 1
x									,
x			3t		3				,
			3t
1.1.						t	3
y sin							3			t
														.
														.
				3
				3
x
x			2t t 2 ,
					1
1.3.	y				1								.

		3 1 t										2
												2



x ln t												t		1 ,
1.5.
				2		1.

y t t
										t

x ctg 2e ,
1.7.
y ln tget .

								t	2			,

x arctge
1.9.
1.9.
y			et 1.

								1
x ln															,

						1			t				4
						1			t
1.11.											1 t2
y arcsin											1 t2						.
y arcsin																	.
											1 t					2
											1 t

						,
x arcsin				1 t		,
1.13.	arccost 2 .
y	arccost 2 .

x					2 ,
x		1 cos2 t			2 ,

1.15.		cost
y		cost	.
y			.
		sin2 t


	t	2	,
x 1	t		,
1.2.
y tg	1 t .

x arcsin sin t ,

1.4.

y arccos cost .


			2t t								2		,
x			2t t										,
1.6.	arcsin t 1 .
y	arcsin t 1 .

x ln ctg t ,

1.8.			1
y										.
y		cos					2			.
		cos						t

									1 t
x ln									1 t								,
x ln								1 t									,
1 .10.								1 t

					1 t							2		.
y					1 t									.
x
x			1 t2 ,
							t
1.12.							t
y																.

				1 t2
				1 t2
							t
x														,

			1 t2
			1 t2
1.14.
1.14.						1									1 t2
						1									1 t2
y ln																		.
y ln																		.
														t
					1 t
x ln													,
x ln					1			t					,
1.16.					1			t

			1 t								2		.
y			1 t										.

x arccos1t ,

1.17.

y t2 1 arcsin 1t .

			t ,
x arcsin			t ,
1.19.
1.19.
y	1	t .

x t
x t	t2 1,

1.21.	1	1 t	2
y ln	1	1 t		.
y ln				.
		t

x ln 1 t2 ,

1.23.

y arcsin 1 t2 .

1 sin t

x ln

1 sin t

1.25.

ln cost.

1 t

t t2

arctg

1.26.

1 t arcsin t .

x lntg t,

1.27.

sin

ln t

ln 1 t2 ,

1 t

1.58.

arcsin t ln

1 t 2 .

1 t

	1
x			,
x			,
	ln t
1.18.
1.18.		1		1 t2
		1		1 t2
y ln								.
y ln								.
				t
x	arcsin t 2 ,
		t
1.20.		t
y					.

	1 t2
	1 t2
x arctg t,


1.22.			1 t			2
						2
y ln							.
y ln			t 1				.
			t 1

x arctg t 1,

1.24.t 1

y arcsin 1 t2 .

x esec2 t ,

y tg t ln cost tg t t.

arcsin t ln

1 t

1 t2

1.30.

1 t

y 1 t2 ln 1 1 t2 .

tt2 ,1ln t

Дифференцирование. Задача 2

Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически

Постановка задачи. Составить уравнение касательной и нормали к кривой

в точке	, соответствующей значению параметра			.
План решения. Если функция		в точке	имеет конечную производную, то уравнение
касательной имеет вид
			, (1)
где	и	.
Если	, то уравнение касательной имеет вид			.
Если	, то уравнение нормали имеет вид
			. (2)

Если , то уравнение нормали имеет вид .

1. Вычисляем координаты точки :

2. Находим производную в точке касания при :

3. Поставляем полученные значения в уравнения касательной (1) и нормали (2).

Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

Находим:

Уравнение касательной

или .

Уравнение нормали

или .

Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t t0 .


x a sin	3	t,
2.1.
y a cos3 t,			t	0	3.
				0

x a t sin t ,

2.3.	y a 1 cost ,							t		3.
	y a 1 cost ,							t	0	3.

				2
x		2t t			,
x		3			,
			1 t
2.5.			2t t2
y			2t t2			, t		1.
y						, t		1.
			1 t	3			0
			1 t


x 3 cost,
2.2.			3.
y sin t,	t	0	3.
		0

		,
x 2t t	2	,
	2
2.4.
y 3t t	3 , t		0	1.
			0

									t
x arcsin													,


							1 t2
2.6.										1
y arccos										1				, t				1.


								1 t				2					0
								1 t
																						3at
x t	t cost 2sin t ,																			x				,
x t	t cost 2sin t ,																			x	1 t		2	,
																			2.8.		1 t
2.7.																			2.8.
y t t sin t 2cost ,																		t0	4.	y		3at2
																									,	t		2.
																									,	t		2.
																					1 t		2				0
																					1 t
x 2ln ctg t ctg t,
2.9.
y tg t ctg t,												t0 4.
	1				2	1				4
x				t					t		,
x		2		t		4			t		,
2.10.			1				1
y			1	t 2			1		t3 , t							0.
y				t 2					t3 , t							0.
	2					3									0
	2					3
x at cost,																				x sin t,
2.11.																			2.12.
y at sin t,										t0		2.								y cost,						t0		6.

									t
x arcsin												,


				1					t2
2.13.									1
y arccos									1				, t		1.


								1 t			2			0
								1 t
	1 t
x				,
x		t2		,
2.15.	3				2
y	3				2		,		t		2.
y							,		t		2.
		2t	2			t				0
		2t				t

x a t sin t cost ,

2.17.	y a sin t t cost ,							t		4.
	y a sin t t cost ,							t	0	4.


x 1 t			2	,
2.19.
y t		t3		,	t	0	2.
						0
x t 1 sin t ,
2.21.
y t cost,					t0 0.

	1 ln t
x			,
x		t2	,
2.14.		3 2ln t
y		3 2ln t		,	t		1.
y				,	t		1.
		t				0
		t


x a sin		3	t,
2.16.
y a cos3 t,							t	0		6.
								0
			t 1
	x						,
	x				t		,
2.18.				t 1
	y			t 1			,				t		1.
	y						,				t		1.
					t							0
					t
												,
	x ln 1 t										2	,
											2
2.20.
	y t arctg t,													t	0	1.
															0
			1 t3
	x								,
	x		t		2	1			,
			t			1
2.22.					t
	y				t				,			t		2.


				t	2	1							0
				t		1


x 3cost,											x t t	4	,
2.23.											2.24.
y 4sin t,					t0	4.					y t2 t3 ,					t	0		1.
																	0

x t		3	1,								x 2cost,
2.25.											2.26.
y t2			t 1,			t	0	1.			y sin t,			t0		3.
							0
x 2 tg t,											x t3				1,
2.27.
2.27.	y 2sin			2 t sin 2t, t						4.	2.28.	t		2						2.
	y 2sin			2 t sin 2t, t					0	4.	y	t		2	,			t	0	2.
									0										0
x sin t,											x sin t,
2.29.											2.30.
y at ,				t0	0.						y cos 2t,					t0		6.