16-20матан

16) Екінші текті қисық сызықты интегралдың жолдан тәуелсіздігі.

1. Екінші текті қисық сызықты интегралдың интегралдау жолынан тәуелсіздігі туралы теорема (дәлелдеуімен).

2. Екі айнымалыдан тәуелді фунцияны толық дифференциалы бойынша тұрғызу (формуласын жазу).

17) Бірінші текті беттік интеграл.

1. Бірінші текті беттік интеграл анықтамасы.

2. Бірінші текті беттік интеграл қасиеттері.

3. Бірінші текті беттік интегралды есептеу.

Шекарасы құрама-жатық контуры болатын құрама-жатық бетінің нүктелерінде анықталған функциясы берілсін. Оны құрама-жатық қисық­тармен бөліктерге бөлшектейік те, бұлардың әрқайсысының ауда­нына сәйкес арқылы белгілейік. Әрбір бөліктен кез келген нүктесін алып, қосындысын түзейік. Мұны бетінің осы бөліктеуге және нүктелерінің осылай таңдап алынуына сәйкес функциясының интегралдық қосындысы деп атаймыз. Егер бетінің бөліктері диаметрлерінің ең үлкені нөлге ұмтылғанда интегралдық қосындысы белгілі бір ақырлы шекке ұмтылса, онда бұл шек функциясының беті бойынша бірінші текті беттік интеграл деп аталады және арқылы белгіленеді

1-теорема. Айталық, жатық беті теңдеуі арқылы берілсін (мұндағы - тұйық шектеулі аймақ), ал осы бетінде анық­талған шектеулі функция болсын. Онда теңдігі орынды әрі мұның оң жағындағы екі еселі интеграл бар болса, онда сол жағындағы беттік интеграл да бар.

Бірінші текті беттік интеграл қасиеттері

Егер беті жатық, ал f(x,y,z) функциясы бұл бетте үзіліссіз болса, онда

беттік интегралы бар.

Шынында да (32)-нің оң жағындағы интеграл астындағы функция үзіліссіз, демек, ол бар. Сондықтан оның сол жағындағыбеттік интеграл да бар.

2-теорема. Егер параметрлік

теңдеуі арқылы берілген жатық бет, ал осы бетте анықталған шектеулі функция болса, онда

= (40)

мұндағы

, ,

Егер (32)-нің оң жағындағы екі еселі интеграл бар болса, онда сол жағындағы беттік интеграл да бар.

Бірінші текті беттік интегралды есептеу

Айталық, жатық беті теңдеуі арқылы берілсін (мұндағы - тұйық шектеулі аймақ), ал осы бетінде анық­талған шектеулі функция болсын. Онда

(32)

теңдігі орынды әрі мұның оң жағындағы екі еселі интеграл бар болса, онда сол жағындағы беттік интеграл да бар.

Дәлелдеу үшінбетін құрама-жатыққисықтарменбөліккебөлеміз. Бұлбөліктердіжазықтығынапроекциялап, аймағыныңсәйкесбөлік­теуіналамыз (сурет). Сондаәрбірэлементтерініңдиаметрісәйкесдиаметріненаспайтыныайқын. Енді

беттік интегралына сәйкес

(33)

интегралдық қосындысын қарастырайық. элементінің ауданын

түрінде өрнектеп (беті жатық, демек, - үзіліссіз функция), бұл екі еселі интегралға орта мән туралы теореманы қолданып, мұны

түрінде жазамыз. Мұндағы нүктесі аймағының анықталған белгілі нүктесі, ал осы аймақ ауданы. Сонда (33) интегралдық қосындыны былай

(34)

жазуға болады. Енді мұны бетінің дәл сол бөліктеуіне сәйкес (32) оң жағын­дағы екі еселі интегралдың

(35)

интегралдық қосындысымен салыстырамыз. Бұл екі қосындының бірінен бірінің өзгешелігі тек функциясының әртүрлі нүктелердегі мәнде­рінде: (34) интегралды қосындыда мәні элементінің орта мән теоремасы беретін нүктесінде де, ал (35) интегралдық қосындыда бұл функциясының элементінен қалауымызша алынған нүкте­сіндегі мәні, әрине, жалпы жағдайда, бұл нүктелер тең емес.

функциясы үзіліссіз, демек, тұйық шектеулі D аймағында бірқалыпты үзіліссіз, сондықтан кез келген ε үшін саны табылып, аймақтары диаметрлерінің ең үлкені санынан кіші болғанда

< ε (36)

Ал теорема шарты бойынша f(x,y,z) шектеулі, яғни

=const,

сондықтан (36) бағалаудан

. (37)

18) Екінші текті беттік интеграл.

1. Екінші текті беттік интеграл анықтамасы.

2. Екінші текті беттік интеграл қасиеттері.

3. Екінші текті беттік интегралды есептеу.

Екінші текті беттік интегралды анықтау үшін бізге ең алдымен бет жақтарының ұғымы қажет. Егер бетінде жатқан және оның шекарасымен ортақ нүктесі жоқ кезкелген тұйық контур бойымен жүріп өткенде бет нормалі бағытын өзгертпесе екі жақты бет деп аталады. Егер бойымен жүріп өткен бет нормалы бағытын кері өзгертетін бетте жатқан тұйық контур табылса, онда бет бір жақты бет деп аталады.

Жатық регуляр бет бағытталатын бет деп аталады,егер оның бойымен бірлік нормаль векторлар үзіліссіз өрісін таңдау мүмкін болса,егер ондай мүмкіндік жоқ болса, онда бет бағытталмайтын бет деп аталады. Бірлік нормаль векторларының үзіліссіз өрісі таңдап алынған бет бағытталған бет деп аталады.

19) Беттік интегралдың кейбір қолданыстары.

1. Геометриядағы кейбір қолданыстары.

2. Физикадағы кейбір қолданыстары.

Мысалы:

20) Остроградский-Гаусс формуласы, Стокс формуласы.

1. Остроградский-Гаусс формуласы.

2. Стокс формуласы.

Айталық, D-тұйық жәй xoy жазықтығында жатқан L контурының іші болсын, . R кеңістігінде тұйық аймақ V={(x,y,z):z(x,y)zz(x,y), (x,y)} (z(x,y)z(x,y),(x,y)D) қарастырайық.Тұйық V аймағы және беттері мен жасаушы­лары L контурының нүктелері арқылы өтетін OZ өсіне параллель цилиндрлік бүйір бетімен қоршалған деп ұйғарамыз. Мұндай аймақты oxy жазықтығы арқылы қарапайым аймақ деп атаймыз. Дәл осылай oyz, ozx жазықтықтары арқылы да қарапайым аймақтарды анықтауға болады. Егер V аймағын әр жазықтық бойынша қарапайым аймақтарға жіктеу мүмкін болса, онда оны жай ғана қысқаша қарапайым аймақ деп атайтын боламыз. бетін сыртқы бірлік нормаль векторлары арқылы, яғни n=(cos(n,x), cos(n,y), cos(n,z)) векторы арқылы бағыттаймыз, демек, бетінің сыртқы жағын қарастырамыз.

теорема. Егер V-қарапайым аймақ, яғни барлық координаттық жазық­тықтар арқылы қарапайым аймақ, ал P, Q, R функциялары өздерінің туындыларымен бірге осы V тұйық аймағында үзіліссіз болса, онда Остроградский формуласы деп аталатын

(1)

формула орынды.

Дәлелдеуі. V аймағында анықталған және z бойынша туындысы осы аймақта үзіліссіз R(x,y,z) функциясы үшін жүргіземіз. Егер

айқын теңдеуін, V кеңістік аймағының (x,y) жазықтығындағы проекциясы D аймағы бойынша интегралдасақ, онда

(2)

Оң жақтағы интегралдардың біріншісін z=z(x,y) бетінің жоғарғы жағы бойынша R(x,y,z) функциясынан алынған беттік интеграл түрінде жазуға болады:Дәл осылай оң жақтағы екінші интегралды R(x,y,z) функциясынан бетінің жоғарғы жағы бойынша алынған беттік интеграл немесе кері таңбамен алынған бетінің төменгі жағы бойынша алынған беттік интеграл түрінде жазуға болады:

Сонда(3)

мұнда оң жақтағы интегралдардың біріншісі бетінің жоғарғы жағы бойынша, ал екіншісі бетінің төменгі жағы бойынша алынған (3) формуланың оң жағына нөлге тең бүйір беттің сыртқы жағы бойынша алынған интегралын қоссақ (өйткені бұл бетте ), V аймағын қоршайтын бетінің сырты бойынша алынған интегралға келеміз. Сонымен, (4)Бұл теңдік саны ақырлы координаттық жазықтықтар арқылы қарапайым болатын кез келген V аймағы үшін де орынды. Шынында да, V-ны бөлік­терге бөліп, олардың әрқайсысы үшін (4) теңдікті жазып, қосындыласақ, онда сол жағында V аймағы бойынша алынған үш еселі интегралды, ал оң жағында бөліктері бойынша екі рет алынған интегралдар қосындысынан тұрады және ол интегралдар бір рет беттің бір жағы бойынша, ал екінші рет екінші жағы бойынша алынады да, оларды қосындылағанда бірін бірі жояды. Сонымен біз

(5)теңдігін аламыз. Дәл осылай , (6)теңдіктерін де дәлелдейміз.(5) және (6) теңдіктерін қосып,

(7)Остроградский формуласын аламыз. Теорема дәлелденді.

Стокс формуласы

Егер P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) функциялары контурымен қоршалған бағытталған беті жататын аймақта анықталған және біріші ретті туындыларымен бірге осы аймақта үзіліссіз болса,онда Стокс формуласы деп аталатын

(1)

формуласы орынды.

Дәлелдеу. Алдымен интегралдың оң жағын былай

(2)түрінде жазып, мұның бірінші қосылғышын жеке қарастырайық.Айталық, беті Декарт координаттарындатеңдеуі арқылы берілсін. арқылы бетінің жазықтығына проекциясын және арқылы оның шекарасын, яғни контурының проекциясын белгілейік (суретті қараңыз).Біз қисықсызықты интегралын қарастырып, кеңістік контурының теңдеуімен берілген бетінде жатқандығынан оныжазықтық контуры бойынша алынған қисық сызықты интегралға түрлен­діреміз. Сонан соң Грин формуласын қолданып оны аймағы бойынша алынған екі еселі интегралда келтірtміз. Мұнда функциясының x және y айнымалыларының күрделі функциясы екенін және оның yбойынша туындыны есептеуде ескердік. Нормальдік бағыттаушы косинустары өрнектерін пайдаланып, теңдігін аламыз, сонда

Енді бойынша екі еселі интегралынан бойынша интегралына көшеміз:

.Сонымен,

(3)

Біз формуланы табуда беті түрінде берілген деп ұйғардық. Дәл осындай нәтижеге бетінің теңдеуі арқылы берілген жағдайында да жетуге болады. Ол үшін бетінің жазықтығына ( жазықтығына емес) проекциясын қарастырып, дәл жоғарыдағыдай дәлелдеу жүргізуге болады. Ал, егер өсіне перпендикуляр жазықтық бөлігі болса (әрине, онда ондай бетті жазықтығына да, жазықтығына да бірмәнді проекциялауға болмайды), онда (3) түрдегі теңдік мардымсыз түрде орынды (тривиальным образом): оның оң жағы да, сол жағы да нөлге тең. Енді Грин және Остроградский формулаларын дәлелдеуде қолданған стандарттық әдіс әрқайсысында (3) формула орындалатын саны ақырлы беттерге жіктелетін беті үшін де орынды. Сонымен, (3) теңдіктің дұрыстығы жоғарыда келтірілген беттер түріндегі саны ақырлы беттер кесектері үшін де орынды екен. Сонымен, дәл жоғарыдағы (3) теңдік сияқты дәлелденетін,(4)

(5)теңдіктерін аламыз. Бұл (3)-(5) теңдіктерді қосып, дәлелдеу керек

(2) формуланы аламыз. Міне осы формуланы Стокс формуласы деп атайды. Кейде Стокс формуласы деп (1) формулаyы да айтады.

16