Предисловие

Предлагаемая вниманию читателей коллективная монография посвящена оптическим свойствам твердотельных гетероструктур, часто называемых наноструктурами, с характерными масштабами пространственных неоднородностей, лежащими в области от сотен до единиц нанометров. Эти неоднородности играют роль потенциальных ям, в которых в той или иной степени могут быть локализованы внешние электромагнитные поля и различные элементарные возбуждения твердого тела, например, электроны, дырки, экситоны или колебания кристаллической решетки – фононы. Особый интерес представляет случай, когда линейные размеры области пространственной локализации волн и частиц в одном, двух или трех измерениях становятся меньше длины их свободного пробега в неограниченном материале. При выполнении этих условий возникает эффект размерного квантования энергетических спектров волн и частиц. Он заключается в том, что квазинепрерывные зоны разрешенных энергий расщепляются на подзоны при уменьшении размеров области локализации в одном или двух измерениях и на дискретные уровни при уменьшении ее размеров в трех измерениях. Величина расщепления растет с уменьшением размеров и при выполнении упомянутых выше условий становится больше, чем однородная ширина уровней, т.е. эффект размерного квантования может быть обнаружен экспериментально.

В зависимости от того, в каком числе измерений размеры неоднородности меньше длины свободного пробега волн и частиц, принято говорить об дву-, одно-, и нульмерных структурах. Если движение возбуждений твердого тела сильно ограничено в одном измерении, т.е. неоднородность представляет собой, например, тонкий слой материала, то такую структуру называют двумерной. Это связано с тем, что в двух других измерениях область пространственной локализации волн и частиц определяется длиной их свободного пробега так же, как и в обычных “объемных” (макроскопических) однородных материалах. Термин двумерная структура не геометрический и вовсе не означает, что в такой структуре одно из измерений отсутствует. Он лишь подчеркивает, что ее свойства в двух измерениях близки к объемным, а в одном – радикально отличаются от них. Аналогично, если движение возбуждений твердого тела сильно ограничено в двух измерениях, т.е. неоднородность представляет собой волновод или нить с малым поперечным сечением, то такую структуру называют одномерной. Наконец, если волны и частицы локализованы в неод-

VIII Предисловие

нородности, все три линейных размера которой меньше длины свободного пробега, то говорят о нульмерной или квазинульмерной структуре. В этом смысле рассматриваемые твердотельные гетероструктуры называют системами с пониженной размерностью или низкоразмерными. Их отличительной особенностью является то, что свойства таких объектов зависят от их размера и формы. В частности, собственные энергии и собственные функции электронной и колебательной подсистем низкоразмерных структур являются существенно более чувствительными к явному виду граничных условий, чем соответствующие величины для объемных твердых тел. Это утверждение в полной мере относиться и к различного рода взаимодействиям элементарных возбуждений низкоразмерных систем с внешними полями и друг с другом.

Стремительное развитие физики твердотельных низкоразмерных систем тесно связано с широкими возможностями, которые предоставляет исследователям оптическая спектроскопия. Информация, получаемая об этих системах в рентгеновском, ультрафиолетовом, видимом и инфракрасном спектральных диапазонах, позволила не только сформироваться новому разделу физики твердого тела, но и послужила базой для создания множества оптоэлектронных устройств, основанных на наноструктурах. Уникальные физические свойства низкоразмерных систем, обнаруженные и изученные преимущественно оптическими методами, стимулировали развитие технологии изготовления наноструктур. В настоящее время нанотехнологии достигли такого уровня, что позволяют конструировать высококачественные низкоразмерные системы с наперед заданными свойствами. Это, в свою очередь, привело к более глубокому пониманию физики таких систем, основанному на данных, полученных оптическими методами, а также к совершенствованию наноразмерных оптических устройств, применяющихся в различных областях человеческой деятельности начиная от электроники и кончая биологией и медициной.

Книга предназначена для студентов старших курсов физических факультетов и аспирантов, специализирующихся в области оптики твердого тела, а также для всех желающих познакомиться с новым разделом физики твердого тела, изучающим взаимодействие электромагнитных полей с низкоразмерными системами.

Книга построена следующим образом. Первая глава, написанная С.В. Гапоненко, посвящена фотонным кристаллам, представляющим собой твердотельные среды, диэлектрическая проницаемость которых изменяется в пространстве с периодом порядка длины волны света. Эти чрезвычайно интересные объекты ведут себя по отношению к световым волнам подобно тому, как обычные кристаллы по отношению к электронным возбуждениям. Периодическое изменение диэлектрической проницаемости может приводить к возникновению зонного энергетического спектра электромагнитных волн в фотонных кристаллах. Образование запрещенных зон в спектре световых волн позволяет управлять плотностью фотонных состояний путем конструирования фотонных кристаллов с наперед заданными свойствами, что чрезвычайно

Предисловие IX

расширяет возможности синтеза различных оптических сред. Полученные к настоящему времени результаты в этом новой области оптики позволяет говорить о ее серьезном влиянии на развитие оптической техники в ближайшие десятилетия.

Во второй главе Н.Н. Розанов детально анализирует различные аспекты распространения оптического излучения в линейных и нелинейных периодических твердотельных структурах, включая фотонные кристаллы. Рассмотренные примеры показывают, что периодическое изменение оптических свойств среды приводит к большому числу эффектов, которые могут быть успешно использованы в различных областях оптики. Пространственная периодическая модуляция свойств среды позволяет управлять частотной дисперсией и дифракцией электромагнитных волн, что крайне важно для реализации новых классов оптических устройств с уникальными характеристиками. По мнению автора, к числу наиболее перспективных относится нелинейно-оптическое направление этого раздела современной оптики, поскольку именно с нелинейно-оптическими свойствами фотонных кристаллов связан возросший в последнее время интерес к оптической бистабильности, оптической памяти, переключению и чисто оптической обработке информации.

В третьей главе Е.Л. Ивченко рассматривает оптические свойства полупроводниковых квантовых ям и сверхрешеток. Эти квазидвумерные структуры играют важную роль в современной оптоэлектронике, так как на их основе создано большое количество разнообразных приборов и устройств, примерами которых могут служить лазеры, светодиоды, терагерцовые излучатели, солнечные батареи, фотоприемники, электрооптические модуляторы и переключающие устройства, а также оптоэлектронные интегральные схемы. В этой главе дается последовательное теоретическое описание как самих структур, так и ряда протекающих в них оптических процессов, модифицированных эффектом размерного квантования, характерном для таких низкоразмерных систем.

Четвертая глава, написанная А.В. Федоровым и А.В. Барановым, представляет собой обзор современного состояния оптики полупроводниковых квантовых точек, в которых, поскольку они являются квазинульмерными структурами, наиболее ярко проявляется эффект размерного квантования. В этой главе, наряду с теоретическим описанием физики низкоразмерных систем, большое внимание уделяется экспериментальным методами стационарной и нестационарной оптической спектроскопии, позволяющим получить информацию о энергетических спектрах и динамике элементарных возбуждений квантовых точек. Здесь же обсуждаются использование квантовых точек в качестве активной среды в полупроводниковых лазерах, а также применение этих нульмерных структур в качестве люминесцентных меток для визуализации биологических объектов разного типа и для сверхчувствительного детектирования биохимических реакций.

XПредисловие

Впятой главе А.М. Бонч-Бруевич, Т.А. Вартанян, С.Г. Пржибельский рассматривают оптические резонансы в видимой области спектра металлических наночастиц, линейные размеры которых порядка 1–100 нм. Спектральное положение и вид этих резонансов зависят от материала и формы частиц, а добротность резонансов может доходить до 30, что определяет такое же увеличение действующего на частицу поля по сравнению с полем падающей световой волны. Эффективность вызываемых светом нелинейных процессов в области нахождения частицы повышается из-за этого на много порядков. Возможность манипулировать резонансами металлических наночастиц привлекательна для практических целей. Кроме резонансных особенностей отдельных металлических наночастиц привлекательные и интересные свойства обнаруживаются и у ансамблей частиц, поскольку сближение частиц вызывает смещение резонансов и дополнительное усиление поля в промежутке между ними. Перенос посредством электрической индукции возбуждения в ансамблях частиц открывает перспективу их применения в информационных целях и возможность производить селективное оптическое действие на распределенные системы металлических наночастиц.

XII Оглавление

2.3. Одномодовый световод с брэгговской решеткой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.1. Двунаправленное распространение излучения . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.2. Брэгговские солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.3.3. Оптическая бистабильность и переключение . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.4. Полупроводниковые микрорезонаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.4. Связанные световоды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.5. Двумерные фотонные кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.5.1. Неидеальные фотонные кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.5.2. Нелинейные двумерные фотонные кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.6. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3. Оптика квантовых ям и сверхрешеток

Е.Л. Ивченко : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105 3.1. Классификация гетероструктур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2. Размерное квантование электронных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3. Правила отбора при оптических переходах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.3.1. Междузонные и внутризонные оптические переходы между подзонами размерного квантования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.3.2. Поляризационные свойства оптических переходов из подзон тяжелых и легких дырок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.4. Резонансное отражение и поглощение света в структурах с квантовыми ямами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.5. Вторичное свечение гетероструктур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.6. Квантовые микрорезонаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4. Оптика квантовых точек

А.В. Федоров, А.В. Баранов : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.1.1. Состояния размерного квантования электронных и фононных возбуждений квантовых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.1.2. Электрон-фононное взаимодействие в квантовых точках . . . . . . 196 4.1.3. Динамика электронных возбуждений квантовой точки . . . . . . . . 199 4.2. Оптические методы исследования квантовых точек . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.2.1.Изучение энергетической структуры электронных возбуждений204

4.2.2.Исследование фононных и электрон-фононных состояний

квантовых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.2.3. Исследование динамики элементарных возбуждений

квантовых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 4.2.4. Оптическая спектроскопия одной квантовой точки . . . . . . . . . . . 247 4.3. Применение квантовых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 4.3.1. Лазеры на квантовых точках для волоконной связи . . . . . . . . . . . 258 4.3.2. Квантовые точки в биологии и медицине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Оглавление XIII

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5. Оптические резонансные свойства металлических наночастиц

А.М. Бонч-Бруевич, Т.А. Вартанян, С.Г. Пржибельский : : : : : : : : : : : : : : : : 271 5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.2. Резонансы Ми отдельных металлических наночастиц . . . . . . . . . . . . . . 272 5.2.1. Эффект размера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 5.2.2. Эффекты формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5.3. Действие окружения на резонансы металлических наночастиц . . . . . . 281 5.3.1. Электродинамические эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 5.3.2. Контактные эффекты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.4. Нелинейные оптические свойства металлических наночастиц . . . . . . . 286 5.4.1. Генерация высших гармоник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.4.2. Оптические комбинационные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 5.5. Неоднородные системы металлических наночастиц . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.5.1. Структурные параметры неоднородных систем . . . . . . . . . . . . . . 289

5.5.2. Измерение релаксационных параметров индивидуальных резонансов в неоднородных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5.6. Применения металлических наночастиц, связанные с их оптическими свойствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

5.7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

1. Фотонные кристаллы

С.В. Гапоненко

Институт молекулярной и атомной физики НАН Белоруссии, Минск, Белоруссия

gaponen@imaph.bas-net.by

1.1. Концепция

Со времени публикации Луи де Бройлем гипотезы о волновых свойствах материальных частиц [1] волновая механика вещества стала хорошо развитой областью естествознания и позволила дать согласованное описание свойств атомов, молекул, кристаллов, а также предсказать свойства новых искусственных объектов, например квантоворазмерных полупроводниковых структур. На начальном этапе квантовая механика во многом “подпитывалась” представлениями, возникшими в классической волновой физике (например, дифракция и интерференция электромагнитных волн). В наше время наблюдается интересный обратный процесс: результаты квантовой механики, не связанные с квантовой статистикой, зарядовыми эффектами, спиновыми свойствами элементарных частиц, переносятся в оптику и электромагнетизм и создают основу для формирования новых разделов оптики и электродинамики “несплошных” сред и соответствующих направлений прикладных исследований и разработок. Концепция фотонного кристалла возникла на основе аналогий свойств электромагнитных волн со свойствами электронов в периодических структурах с периодом порядка длины электромагнитной волны и длины волны де Бройля соответственно. Формирование и развитие этой концепции стало возможным благодаря переносу представлений квантовой теории твердого тела для одночастичного случая (одноэлектронное приближение) на случай электромагнитных волн. Поэтому изложение основных представлений о фотонных кристаллах целесообразно начать с краткого обзора общих закономерностей движения квантовой частицы в периодическом потенциале.

1.1.1. Электроны в кристаллических структурах

Одномерный случай

Рассмотрим частицу в периодическом потенциале (рис. 1.1), удовлетворяющем условию

2С.В. Гапоненко

Условие (1.1) означает, что потенциальная энергия инвариантна относительно трансляции вдоль оси x на величину a. Рассмотрим общие свойства волновых функций, удовлетворяющих одночастичному стационарному уравнению Шредингера

спотенциалом, обладающим трансляционной симметрией.

(a)

(б)

Рис. 1.1. Периодический потенциал (а) и амплитудно-модулированная волновая функция (б).

Произведя преобразование x → x + a, получаем уравнение

Сопоставляя уравнения (1.2) и (1.3), легко видеть, что функции (x) и (x+a) удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с одним и тем же собственным значением энергии E. Если это значение энергии невырождено, т. е. ему соответствует одна волновая функция, то функции (x) и (x + a) могут различаться лишь постоянным множителем:

(x + a) = c (x):

Если обе функции нормированы, модуль c должен быть равен единице и, следовательно,

| (x + a)|2 = | (x)|2 :

Таким образом, частица имеет одинаковую вероятность находиться в точках x и x + a.

Рассмотрим свойства коэффициента c. Применяя дважды операцию трансляции на величины an1 и an2 , имеем

(x + an1 + an2 ) = cn1 cn2 (x);

где

an = na, n = 1, 2, 3, . . .

Принимая во внимание очевидное соотношение

an1 + an2 = an1+n2 ;

можем записать (x + an1 + an2 ) ≡ (x + an1+n2 ) = cn1+n2 (x), откуда следует

где k может принимать любые значения. Таким образом, волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера с периодическим потенциалом, может отличаться от периодической функции с периодом a только фазовым коэффициентом вида ei f (x); где f (x) – линейная функция x. Такая волновая функция имеет вид

Запись (1.6) означает, что собственная функция гамильтониана с периодическим потенциалом – это плоская волна, промодулированная с тем же периодом, что и потенциал. Это утверждение известно как теорема Флоке (Floquet). Типичный вид волновой функции для одномерного случая показан на рис. 1.1б.

Одно из важнейших свойств функций вида (1.6) – их периодичность по отношению к волновому числу k. При добавлении к волновому числу величины kn = 2 n=a значение волновой функции не изменяется, т. е. k+kn (x) = k(x). Поэтому все волновые числа k1, k2,..., отличающиеся на величину 2 n=a, оказываются эквивалентными. Это свойство является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Все множество волновых чисел оказывается состоящим из эквивалентных интервалов с шириной 2 =a. Каждый из этих интервалов содержит все неэквивалентные значения волнового числа k. Эти интервалы называют зонами Бриллюэна [2]. Выбор интервалов может быть произвольным, например

Более удобно, однако, выбирать зоны Бриллюэна в виде отрезков, симметричных относительно начала координат. Множество всех неэквивалентных значений k, имеющих минимальное абсолютное значение в интервале

до 2 ~=a = h=a. Закон сохранения квазиимпульса в такой форме является прямым следствием трансляционной симметрии пространства. Согласно теореме Нетер (E. Noether), каждому виду симметрии пространства–времени соответствует свой закон сохранения. Закон сохранения импульса в обычном пространстве является следствием однородности пространства: все точки пространства эквивалентны. В пространстве с трансляционной симметрией эквивалентны точки, координаты которых различаются на целое число периодов. Поскольку квазиимпульс однозначно определяется значением волнового числа, зоны Бриллюэна, содержащие все неэквивалентные значения k, одновременно содержат и все неэквивалентные значения квазиимпульса. Добавление величины nh/a к квазиимпульсу просто означает переход в эквивалентную точку другой зоны Бриллюэна. Как видно из рис. 1.2а, 1.2б, зависимость E(k) для частицы в периодическом потенциале существенно отличается от зависимости E(k) для свободной частицы. Однако по аналогии с функцией E(k) = ~2k2/2m, присущей свободной частице, для периодического потенциала можно формально записать

где m*(k) – функция, которую обычно называют эффективной массой. Во многих практически важных случаях эффективную массу можно считать постоянной. В окрестности экстремума E0(k0) можно записать разложение функции E(k) в ряд Тейлора

В экстремуме dE/dk = 0. Отсчитывая энергию и волновое число от точки экстремума, т. е., полагая E0 = 0, k0 = 0, можно записать это выражение в более компактной форме

Если пренебречь вкладом членов со степенями выше k2, легко видеть, что (1.11) переходит в соотношение (1.9) с постоянной эффективной массой, определяемой выражением

m*−1 = 1 d2E : (1.12)

~2 dk2 k=0

Эффективная масса, задаваемая этим соотношением, определяет реакцию частицы на внешнее воздействие через соотношение

6С.В. Гапоненко

где F – внешняя сила, а a – ускорение. Это уравнение формально совпадает со вторым законом Ньютона. Сопоставляя рис.1.2а (пунктирная кривая) и 1.2б, легко видеть, что эффективная масса частицы в окрестности минимума энергии может оказаться заметно меньше, чем ее собственная инертная масса. В некоторых случаях она, в принципе, может оказаться и больше, чем в однородном пространстве. Кроме того, частица в периодическом потенциале может иметь отрицательную эффективную массу. Этот случай соответствует положительной кривизне функции E(k) в области ее экстремума. Отрицательность эффективной массы – не побочный математический результат, лишенный физического смысла, а принципиальное свойство частицы, взаимодействующей одновременно с фоновым периодическим потенциалом и с внешним возмущающим потенциалом. Отрицательность эффективной массы означает, что импульс частицы уменьшается при появлении внешнего потенциала, т. е. частица под действием возмущения не ускоряется, а затормаживается. Это происходит из-за того, что частица отражается от периодических границ потенциала.

Для периодического потенциала прямоугольной формы стационарное одночастичное уравнение Шредингера решается точно. Такая задача была впервые исследована в 1931 г. Кронигом (R. de Kronig) и Пенни (W.G. Penney) [3] и известна как модель Кронига–Пенни.

Обобщение на трехмерный случай

Обобщение теоремы Флоке на трехмерный случай было выполнено Блохом [4] и известно как теорема Блоха, а функции вида (1.6) часто называют блоховскими волновыми функциями. В трехмерном случае волновая функция записывается в виде

где k – волновой вектор, r – радиус-вектор, а R – трехмерный вектор трансляции,

где a1, a2, a3 – базисные векторы трехмерной решетки.

Для обобщения понятия зон Бриллюэна на трехмерный случай необходимо введение понятия обратной решетки кристалла. Базисные векторы обратной решетки имеют размерность обратной длины и определяются соотноше-

В выражениях (1.16) и (1.17) знак × обозначает векторное произведение. Параллелепипед, образованный векторами b1, b2, b3, определяет элементарную ячейку обратной решетки, объем которой

Согласно определению (1.18), каждый из базисных векторов обратной решетки перпендикулярен к двум базисным векторам прямой решетки с номерами, отличными от номера базисного вектора обратной решетки, т. е. b1 a2,a3; b2 a1,a3; b3 a1,a2. В кубической решетке базисные векторы взаимно перпендикулярны. Поэтому для нее базисные векторы обратной решетки также образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов. В случае кубической решетки a1 = a2 = a3 = a и b1 = b2 = b3=2 /a.

Как уже отмечалось, в одномерном случае волновые числа, отличающиеся на величину 2n /a, эквивалентны. В трехмерном случае эквивалентны волновые векторы, различающиеся на вектор обратной решетки. Таким образом, трансляционная симметрия прямой решетки приводит к трансляционной симметрии волновых векторов в пространстве обратной решетки.

В одномерном случае зоны Бриллюэна представляют собой отрезки на оси волновых чисел, а в двух- и трехмерном пространствах зоны Бриллюэна являются, соответственно, многоугольниками и многогранниками. Волновые векторы kгр, лежащие на границе зон Бриллюэна, удовлетворяют простому соотношению

где bn = n1b1 + n2b2 + n3b3 – вектор трансляции обратной решетки, а n1, n2, n3 – целые числа.

Для построения зон Бриллюэна начало координат выбирают в одном из узлов обратной решетки. Из начала координат к ближайшим узлам решетки проводят векторы bn. Плоскости, проходящие через середины этих векторов

иперпендикулярные к ним, ограничивают первую зону Бриллюэна. Затем проводятся векторы bn к следующим ближайшим узлам и строятся перпендикулярные к этим векторам плоскости. Между этими плоскостями и плоскостями, ограничивающими первую зону, находится вторая зона Бриллюэна. На рис. 1.3 построены 3 первые зоны Бриллюэна для двумерной квадратной решетки. На рис. 1.4 показаны элементарные ячейки простой (ПК), объемноцентрированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубических решеток. Для ПК решетки первая зона Бриллюэна имеет форму куба, а в случае ОЦК

иГЦК решеток первые зоны Бриллюэна имеют форму сложных многогранников.

Классификация электронных состояний в кристаллах проводится выделением в первой зоне Бриллюэна точек и линий, которым соответствуют группы неприводимых представлений. Эти точки и линии обозначают заглавными греческими и латинскими буквами. Центр зоны Бриллюэна (k = 0) обозначают буквой Г. При всех операциях симметрии эта точка преобразуется сама

8С.В. Гапоненко

2c 3f 3e

Рис. 1.3. Три первые зоны Бриллюэна двумерной квадратной решетки. Первая зона представляет квадрат в двумерном пространстве со стороной 2=a. Вторая зона состоит из 4, а третья – из 8 треугольных сегментов. Общая площадь каждой зоны составляет (2=a)2.

Рис. 1.4. Элементарные ячейки для ПК, ОЦК и ГЦК решеток, а также первая зона Бриллюэна для ГЦК решетки.

Рис. 1.5. Обозначение кристаллографических плоскостей с использованием индексов Миллера. В качестве единиц измерения вдоль осей x, y, z выбираются длины базисных векторов решетки a1, a2, a3. Плоскость обозначается набором 3 чисел (hkl), каждое из которых равно наименьшему целому кратному обратых значений длин отрезков, отсекаемых плоскостью, от соответствующих координатных осей.