559

У = х1 , а = 1,2,3,1/2;

х

у = еХ

У= log х

У= а

а

y=lnx

y=sinx y=cosx y=tgx У= ctgx

У= arcsin х

У= arccosx у = arctg х

У= arcctgx

2. Построить графики следующих функций:

1)

У = О

о

)' х

2) У = 6х - х-

3

У = sш-

2

4)

У= -3

5) У= гх+1

6) У= со{х+ :)

7) У = 4х

8) У

1

9) У = зsiпх

= (х+ 1) 3

10) У = 7х- 8

11)у=е

Х

1

12)у=--

13) У= 0,5

+1

14) У = е

х-2

15) У= (х-1)2

х

Х

16) У= Iln(x+1)1

17) У= lnl~

18) у = Ixl

2

21) У= I~ -5х+ 61.

19) У = Iх-зl

20)

х

У=-

4

1) х= О

2) х2 + У2 = R 2

3) У2 = х

4) Зх+15=0

5)(x_a)2+(Y_b)2=R2

6) ух=о

7) хс + 2х + Ус = О

8) х

С

- 4х + уС + 2у = 5

1) У = {

2х-1

х::; 2;

{У

= 2х2 -

1,

х < -2

'

2) . У = 5,

х = -2

-2х+4,

х>2

1У

= -2х + 7,

х > -2

~

л:л:л:л:

Л:' 2л:. Вы­

ции для основных углов а =

О' - ' - ' - ' - '

'б' 4 '3'2'

,

числить SiП(5зЛ:);

со{5:); tg (74Л:); clg 3: .

1)

х

2)

-kx

А>О, k>O.

У= е ;

у=А·е

,

3)

у=е"';

4)

У = 3· е

сх

1) а2 -Ь2

2) Гх+1 .

1

а-Ь

с .

2

1+ v x+x

х -Гх

з

з

2у

ху

3) х + у

.(2 2)

. х -у

+---

2 2'

х+у

х+у

х-у

1)

Х-8,

2)

о

2х-1

(х-Щ х+ 6)

(х + 2х+ 5)( х+ 1)

4.

Решить уравнения:

1)

Ix -11 = 2

2) Iзх- 21 + х= 11

3) х-1 =-1

4) Зх2 -4х+1 = О

х+5

5) (х2

= О

-9)..Jx 2

+6х+8

6) .J12-x=x

7) х - 2х- 8 = О

8) gX = 27х-1

9) 3

Х

= 5

1О) 5Х - 24 = 52-х

11) ln х = 51n 2 -ln 4 + ln е -ln е2

12) 19x 2

= 41g2+1g3

J8

13) log x+log

4=2

14) 2cosx = -

2

4

Х

15) log2(x+ 14) + log2(x+ 2) = 6

16) sinx-cosx= О

17) sin 2 х+2sin х-3 = о

18) tg 3 х+ зtgх= о

5.

Решить неравенства:

1) -1 < 1

2)х2 -7х+6<О

х

3)

22 > 1

х

х-2

::;0

4)

Ix - 51 < 1

5) х2 (х+6)

6)

Ix + 21;;:: 2

6. Найти область определения функции:

1) У= 1n(1 +х)

2) У

__

х -

1

1

х+1

3) У= .J2x-1

7. Указать множество значений функции:

1)y=2-sin5x

2)y=11+2cosx

3)у=3-х

4)у=-2+5Х

5)у=2siпх

+з

6)у=2-.[;

малых.

4. Вычислить пределы:

2

arcsin5x

о

1) 1im х -4х+З

Х- +Х

2)lim ---

3)lim,

о

x~1 ж(х-1)

X~O tgЗх

Х )11 Х" -

х-

4) 1im ~-1

5)lim(1+2'!ЗХ

x~2

х-2

X~X;

:;)

7) 1im

з:3

+ 15х

8)lim е2sin х

-

1

9) 1im

х+2

X~X; х - 2х+ 3

х )11

5х

Х )1'11

х-1

3 х

10)li11Jx-~]

11) 1im (

х+ 3 )

12)lim x-.J3x~4

x"L

х-+l

Х )"

Х + 5

Х)-+

16- х-

13) 1im sin 2х

.

х3 -

3Х- 2

15) 1im

s~n 7х

14) 11т

о

х )П sin 3х

х)1

Х+Х-

Х )11

Х- + JD(

1) = х+2

X- 51

1

2) у=х+3--­

3)у=-

У х2 -4

I

х-5

3-Х

4)y=sinx

5Х- ~ x~ 2

5) У= еХ б)

f(Xj ={1- 3~ х> 2

х

5) !!.-(_1)

б)

dl 21

1):2(sin ах),a~cons!

2{:]

3) (aгclg-Гxj'

10. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1)

1im

х-!

2)

1im 1п,х

3) lim х

Х )."

е.\

Х )," х-

X~O f!!'-1

4)

.

х' -

бх2 + 12х - 8

l'

sin 2х

11т

"

5)

1т--.

Х )2

Х"

- 3х- + 4

Х

)П sin 3х

1) У= In х

2) у= х2 -3х

3) у=хе Х

4) У = х' - 4х2 - 3х + б

5) У = 10- 3х - х2

11. Показать, что функция у удовлетворяет уравнению:

Х

1)

функция У = хе

2 ,уравнение

ху' = (1- х2 )у ;

2)

функция У = Ig 1п 3х

; уравнение (1 + у2 )dx = xdy ;

3)

функция У = е

2х

; уравнение

у" + 5у' + бу = О.

РАЗДЕЛ V

Дuффереllцuа'IЫlое

UСЧUС:lеlluе ФУIlКЦUU lleCKO:lbKUX

nерелеllllЫХ

1. Знать определение

функции

двух переменных

z = ер( ж; у) .

dz через частные производные

с".,.

и

с".,.

;""

;"".

сх

су

1) z= ~х2 + у2-11;

2) z = In( -х- 2у);

3) z =

')

1

') ')

4) z =

1

~

~Н- - х

- - у-

~(х- 2) с + (у + 1) с - Нс

5) z= 2х+Зу-1 ;

б) z = ~уС - х-1

х-у

б. Дана функция

f(x.,y) =

2ху

число

.f(3,4).

2 2' Найти

1) z= х'" + у - 5X~Y); 2)

У

х-2у

.

z = - ' 3) z =

хС '

2х+ у'

х

5) lf = хусZ '/-+ + 3х - 8У + 2z - / + 1.

4) z= У ;

8. Найти полные дифференциалы функций:

1) z=x)y'

х

3)z=xe c"y'

2)z=cos-

у

о

у-

5) и=--Г-,

vX ·z

9. Найти производные сложных функций:

d.,.

2

е"';

1) ~ для функцииz = In(x

- у), где у =

2)

dz

Ф

2х-Зу

о

dl

для ункции z=e

,где x=lgl,y=I--I;

dlf

Ф

yz

1·

Г,

3) - для

ункции и=-, где х=2 ,у=sш51,z=-V1··;

dl

Х

4) z= In(x 2 + у2),

гдех = uv, у = и,

cz =?,

~z =?

v

си

cV

10. Показать, что функция z удовлетворяет уравнению:

7 = У

.

...... ')

......

2

z

...... ')

1) функция

2у с- z

с

С z

,уравнение.

_ . __

+_=_ ,

Х

............

......

2

...... 2

Х

схсу

сх

су

......

......2

...... 2

2) функция z = у2 ln х, уравнение: х cz _ ух с z

= х2 С Z .

Dx

Схсу

Сх2

3)z= х2 +ху+ у2 -Зх-6у;

4) z = х2 + у2 - 2 1n х - 181 n у,

х > О, У > О .

51, -1-/,

.J3 -~I

-4· i". ;Il. ~

2

2' , , ';-

3. Преобразовать

к

виду

z= а+ iЬкомплексные числа;

::J-,1'~-1+vJ,,~',ГЗ;· 3Гj.-v-q,v-CJlОб,V·

-'С-9. ~_125,,\/10,"11б. х'}.

'=4.

j,

-1'16.

плоскости:

1) %2 - 2z + 2 = О;

2) 2%2 + 2z+ 5 = О;

3)

%2+2=0;

4) z- + бz+ 13 = О;

5) %2 + z+ 1 = О;

б).

Z1 + 8 = О