559

РАЗДЕЛ VII

Векторuая и :lUuейuая а.иебра.

1.Дать определение координат вектора в данном базисе.

2.Дать определение операции умножения вектора на чис­

ло.

3.Дать определение и перечислить основные свойства

скалярного произведения векторов.

4.Дать определение и перечислить основные свойства

векторного произведения векторов.

5.Дать определение обратной матрицы.

б. Дать определение собственных чисел и собственных

векторов линейного оператора.

7. Даны векторы а = {3;-1;4} и Ь = {1;5;2} в базисе

Т, .1, k (в декартовой системе координат). Найти:

1)сумму векторов 2а + 3 Ь;

2)скалярное произведение а· Ь;

3)векторное произведение аХ Ь;

14

9. Даны точки А(О;I;I), В(2;2;1),С(I;4;5). Найти площадь

треугольника АВс. Найти длину высоты ВН.

10.Даны точки А(О;I;I), В(2;2;1), С(I;3;5), 0(0;0;1). Найти

объем пирамиды АВСО. Найти длину высоты ОН.

11.Вычислить определители:

Задачу -1) реuшmь .неmодо.н сведеllllЯ опреде:mmе:IЯ k" mре­

Y?O:lblIO.HY вllду.

12. Являются ли линейно зависимыми векторы:

2)а = {1;2;-1}; Ь = {2;4;3}; с = {-1;3;3}.

Ответ обосновать.

13. Найти линейную зависимость между векторами:

1) 3 = {1', -4'2'}' Ь = {- 2'К-4}'

", ",

2)з = {1;-1;1;-1}; Ь = {1;0;1;0}; с = {1;-3;1;-3}.

14. Найти обратную матрицу А-1 ,если

l)A~(: =~) 2)A=[~ ~ ~I 3)А=[ ~ -~ ~]

15.Решить методом Гаусса системы уравнений:

15

19.Написать уравнение плоскости:

1)проходящей через точку Мо(l; 1; 1) перпендикулярно

вектору ri = {2;2;3}.

2) параллельной оси OZ и проходящей через точки

М](2;2;0) и М2(4;0;0).

3) проходящей через точки М](1; -1 ;2), М2(2; 1;2) и

Мз(1;1;4).

20.Найти угол между плоскостями Х+ z= 6 и

x-2y+2z= 8.

21.Написать уравнение прямой, проходящей через

1)точку А(4;3;0) параллельно вектору 1= {-1;1;1};

2)точки А(-1 ;2;3) и В(2;6;-2) и найти ее направляющие

косинусы.

16

22. Написать канонические и параметрические уравнения

23. Найти собственные числа и собственные векторы ли-

нейного оператора, заданного матрицей:

РАЗДЕЛ VIII

Иumегра'IЫlое исчиС:lеuие Фуuкции одиой nерелеuuой

1. Знать определение первообразной инеопределенного

интеграла ff( Х)dx = F( Х) + с.

2. Знать определение определенного интеграла и его гео­

метрический смысл.

3.Знать таблицу основных неопределенных интегралов.

4.Для неопределенного и определенного интегралов знать

правило замены переменных и формулы интегрирова-

ния по частям.

17

18

1[

7. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) У = VX, У = О, х = 1, х = 2;

2)у= х -2х-8, У= -2х +х-2;

2

3)у=6-х-2Х, у=х+2;

4)у = 3 - ж; у + Х = 9;

5)у=-3, х+у=4;

х

19

РДЗДЕЛIХ

Обыкuовеuuые диффереuциа;lьuые уравuеuия

1. Найти общее решение дифференциального уравнения (или решить задачу Коши):

{ у(о) = о

20

g, k -- постоянные величины;

2. Показать, что общее решение уравнения гармонических

колебаний

х+а2 х = О

может быть представлено в виде

х= Asin(а t+ ер), где А, ер - произвольные постоянные.

3. Найти общее решение уравнения упругих колебаний без учета сил сопротивления при наличии периодической

внешней силы

Х+а2 х=аsiПШl.

Использовать запись общего решения из задачи 2.

21

РАЗДЕЛ Х

Двойиые ииmегран,

Изменить порядок интегрирования:

2 8-х

fdx f f(x, y)dy,

оЗх

Перейти к полярной системе координат в интегралах:

Используя двойные интегралы, вычислить:

1)площадь фигуры, ограниченной линиями

у= 2Гх, у = Гх, х = 4

2)объем тела, ограниченного поверхностями

z = х2 + у2, z = О, У = О, У = Зх, х = 2;

3)массу прямоугольной пластины со сторонами АО=4,

ОВ=3, поверхностная плотность которой меняется про­

порционально расстоянию до стороны ОА с коэффици­

ентом пропорциональности k=2;

4)координаты центра масс однородной пластинки, об­

22

Указание. Координаты центра масс находят по Форму-

оО

менты площади относительно осей координат.

РАЗДЕЛ XI

КривО:lИиейиые, nоверхиОСnlllые иитегран, и Э:lелеuты

теории nО:IЯ

1. Знать определения скалярного и векторного полей.

2. Знать определения операторов Гамильтона и Лапласа:

Оператор Гали:lьтоuа в декартовой системе координат

Оператор Лаn:шса в декартовой системе координат

,,2 ,,2 ,,2

д=v·v=v2=~+~+~

,,--) ,,2 ,,-)'

схсу се

Оператор Лаn:шса от ска'IЯРUОЙ Фуuкции и

в декартовой системе координат (х,у, z)

в цилиндрической системе координат (Р;ер;z) в предположении, что U = и(р)

в сферической системе координат (г; ер; 8) в

предположении, что U = и(г)

23