559
.pdf
дu=v2u(г)=_1 ~: (i~U) .
у2 сГ сГ
3. Знать определение nроизводuой Фуuкции U = и(х,у, z)
по uanpaB:leuulO /0 |
= {cosa; cos~; |
cosy} |
|||
си |
= |
l' и(м) - и(мо) |
l' ди |
||
с/ |
1т |
IMoMI |
= |
1т-- |
|
|
M~Mo |
\/~O д/ |
|||
и формулу для ее вычисления: |
|
|
|||
си |
|
си |
си |
си |
о |
- |
= -СОSа + -cos~ + -cosy = VU·/ |
||||
с/ |
|
сХ |
су |
cz |
|
4. Знать определение градиеита скалярного поля
U = и(х,у, z) и его физический смысл
си: си.. си k'
gradU = VU = - 1 +-J + -
сХ су cz
5. Знать определение дивергеиции векторного поля
а = {Р,Q, R} и ее физический смысл:
· . V' еР cQ cR
dlуа= а=-+-+-
сХ су cz
б. Знать определение ротора векторного поля
а = {Р, Q, R}
i
rota. = - с
сХ
Р
7.Уметь формулировать основные теоремы теории поля.
1)ФормулаГрина:fPdx+ Qdy= ff (~Q - ~P)dXdY
сХ су
L D
2) Формула Остроградского-Гаусса:
24
в векторной форме: #а. ri°ds= fff divadV
S v
в координатной форме:
#Pdydz+ Qdxdz+ Rdxdy=
s
= fff(~P+ ~Q + ~RJdXdYdZ
ох оу oZ
V
3) Формула Стокса:
в векторной форме: fа· d.· = ff (,·ota)· riO dS
LS
вкоординатной форме:
!Pdx+ Qdy+ Rdz= ff[~R- ~Q)dYdZ+
J су cZ
L S
+ [~P- ~R)dXdZ++[~Q - ~P)dXdY .
cZ сХ сХ су
8. Уметь доказывать следующие соотношения:
divgradU = V·(VU) = v2u, rot gradU = V х (VU) = О, div rot а = V . (У' х а) = О.
9. Вычислить криволинейные интегралы
1) |
f |
2 |
|
|
{х= acost |
У dx+2xydy ПО окружности |
о' |
||||
|
|
|
|
У= аsшt |
|
|
L |
|
|
|
|
2) fydx - |
|
Х= acost |
|||
xdy по эллипсу {У= Ьsошt' |
|||||
|
L |
|
|
|
|
3) f |
YdX+XdY |
|
|
||
2 |
2' где J" - |
отрезок прямой У= х от точ |
|||
|
L |
х +у |
|
|
|
ки |
|
~1;1) |
до точки ~2;2) , |
|
|
25
(2:3)
4) fxdy+ ydx
(1:2)
10. Найти функцию и по ее полному дифференциалу
232 |
|
1) dU = 2xydx+x dy |
2) dU = у dх+Зху dy |
11. Найти производную функции U =х2 - Зyz+5 в точке
М(1;2;-1) в направлении, составляющем равные углы с
осями координат.
. . .
12. Задано векторное поле радиус-вектора r = xi +yj +ж .
Найти |
div г, rot г, gradr, gradr2 |
1 |
где |
, grad-, |
|||
|
|
r |
|
r=lrl=~x2+у2+i .
13. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразо
вать интегралы:
1) #xdydz+ ydxdz+ zdxdy
s
2) #yzdydz+ xzdxdz+ xydxdy
s
14. Применяя формулу Стокса, показать, что
f(Y+Z)dX+(Z+X)dY+(X+ y)dz= О, где L - любой
L
замкнутый контур.
РАЗДЕЛ XII
Числовые и степенные ряды
1. Найти сумму ряда:
26
n 11
2. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1) f ,; |
2) L sln |
n |
3) L ~ |
|
х . |
2 |
х |
n=! ,; + 1 |
n=! ,; + 1 |
n=! n+ 1 |
|
хх
4)L _1_ |
|
|
5) " |
1 |
|
|
|||
|
n=2 |
nln n |
|
|
~ nln 2 n |
|
|
||
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
||
7)L ~ |
|
|
8)f (_1)n |
|
|
||||
|
|
х |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=! |
|
|
|
n=! |
пJn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
11) L(2n+ 3) |
12)L - |
||
|
|
|
|
|
|
|
3n+2 |
f |
(_IУ1 |
|
|
|
|
|
|
n=! |
11 |
2 lnn |
|
|
|
х |
|
|
1 |
|
х |
.j.C |
|
|
|
L vn· |
|
|
|
|
14) L |
|
|
13) |
|
arcsin ,; |
|
i/n |
|||||
|
|
n=! |
|
|
|
|
|
n=! |
,; + n+ |
3.НаЙти область сходимости функционального ряда |
|||||||||
|
|
х |
n |
|
X |
(Х-1)n |
|
|
|
1) |
|
I~ |
2) |
I |
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
n=1 |
2 . n |
|
|
|
|
|
|
х |
n |
|
~(х-з)n |
|
|
||
4) |
|
I~ |
|
|
|
||||
|
5) |
L.J |
пJn |
|
|
|
|||
|
n=1 |
n |
|
n=1 |
|
|
|
||
4.Записать в общем виде ряды Тейлора и Маклорена. 5. Записать разложение в ряд Маклорена следующих функций и указать области сходимости:
х |
3)У= sinx |
5)у= ln(1 +х) |
l)у= е |
27
2)у= cosx
б. Используя разложение функций, указанных в пА,
написать разложение по степеням х и указать области
сходимости для функций:
-х |
2 |
х |
зг--- |
l)у=е |
2)y=sin |
3)y=~27-x |
|
4)y=ln(10+x) 5)у=_1_ |
б)у=.J1+х |
||
|
х-3 |
|
|
7. Вычислить приближенно с помощью рядов с точностью
до 0,001:
1)..Ге |
2)sin12 |
|
|
|
11 |
8. С |
помощью |
рядов решить дифференциальные |
|
|
У" =х2У |
уравнения: |
1) |
|
|
|
{ у(о) = о, у'(о) = 1 |
,О
2) {У = 2cosx-xy
у(о) = 1
РАЗДЕЛ XIII
ТрuгО1l0.wеmрuческuе ряды Фурье
1.Знать определения ортогональной системы функций,
нормы функции и ряда Фурье по ортогональной системе функций.
2.Знать определение тригонометрического ряда Фурье
для функции, заданной на отрезке [-1,1], формулы для
коэффициентов и теорему Дирихле о сходимости этого
ряда.
3.Знать формулы для разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на отрезке [0,1].
4.Разложить в тригонометрический ряд Фурье функции, заданные на отрезке [-1,1]
28
1)f ( х) = {3,1,О,
-1, х Е
f (х) = О, х Е { 2х, х Е
х Е [-4, 2)
х Е [2, 3] |
2) |
х Е (3,4]
[-2, О]
(0,1)
[1,2]
л:, |
х Е [-л:, О] |
3) f(x) = {л:-2х, |
х Е(О,л:] |
5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функции, заданные на отрезке [0,1] по cos
1, х Е [О, 1)
1) f(x) = 0,ХЕ[1,2] |
2) |
{ 2, х Е (2,3] |
|
-1, х Е [О, л:/4]
f ( х) = х + ~ х Е ( Л:/4 , Л:/2 ) { 1, х Е [ Л:/2, л:]
б. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функции,
заданные на отрезке [0,1] |
по sin |
|
|
х, х Е (0,1) |
|
1, |
х Е [0,л:/2] |
2)f(x)= { |
|
|
|
1) f(x)= {1, х Е (1,2) |
1-х,ХЕ(л:/2,л:) |
||
|
|
О, |
х Е [л:, 2л:] |
РАЗДЕЛ XIV
()nерациOllllое UСЧUС:lеuuе
1.Знать определение преобразования Лапласа, свойства преобразования Лапласа, основные правила операционного исчисления. Уметь пользоваться таблицей изображений функций по Лапласу.
2.Найдите изображения функций:
29
а) |
f(t) |
= t 6 5t |
б) f(t) |
= е 2t sin 2 t В) |
f(t) = t соsзt + 5е tt' |
|
|||
г) |
f(t) |
= t(t7 |
+ sin 4t) |
д) f(t) = 2't - e't cos2 t |
З. По изображению найдите оригиналы:
a)f(p)= ,2Р +7 |
б)f(р)= ,5р -з |
р- - 5Р + 4 |
р- - 4 Р + 8 |
В) '( р) = , р + 2 |
|
г f |
_ |
2р + 5 |
|||
|
|
р- + 4р + З |
|
) |
(р) - р-, |
+ |
бр+ 25 |
|
- |
р+ 1 |
|
|
|
|
|
д) |
f ( р) |
= Р(р-, - 5Р + |
б) |
|
|
|
|
4. |
Решите уравнения: |
|
|
|
|
|
|
а)у' - Зу = e't sint, у(О) |
= 1 |
б)у' - |
У = (t + 2)J, у(0) |
||||
|
|
у" + 9у = 5, |
|
|
{ у" + 5у' + 4у = зе2t , |
||
В) {у( О) = О, у'( О) = 2. |
г) |
у( О) = 1, |
у'( О) = -1. |
||||
ЗО