Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черноморский государственный университет им. Петра Могилы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный и определенный интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

517.64 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Международный консорциум «Электронный университет»

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Евразийский открытый институт

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

А.Н. Малахов

Неопределенный и определенный интегралы

Методические указания и варианты типового расчета по высшей математике

Москва, 2009

УДК 51

ББК 22.1 М 181

Малахов А.Н.

М 181 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕ-

ГРАЛЫ: Методические указания и варианты типового рас- чета по высшей математике. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2009. – 52 с.

ISBN 978-5-374-00258-4

УДК 51

ББК 22.1

©	Малахов А.Н., 2009
© Оформление. Евразийский открытый
ISBN 978-5-374-00258-4	институт, 2009

Содержание
Введение............................................................................................	4
Содержание задания......................................................................	4
Рекомендуемая литература и учебные пособия.....................	5
Решение типовых задач и упражнений.....................................	5
Литература........................................................................................	20
Приложение к методическим указаниям .................................	21
Варианты...........................................................................................	22

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

ВВЕДЕНИЕ

Студентам 1 курса на 2-ом семестре выдается для само- стоятельного выполнения типовой расчет ТР на тему: «Неоп- ределенный и определенный интегралы». Цель типового рас- чета – закрепление навыков интегрирования функций.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Каждому студенту выдается для самостоятельного вы- полнения 20 заданий. В «Приложении» к методическим ука- заниям помещено 30 вариантов задания. Студент должен вы- полнить типовой расчет именно для того варианта, который ему указан преподавателем, ведущим практические занятия.

Прежде чем приступить к выполнению задания студен- ту рекомендуется изучить главы 6; 7 (§1, §§2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 (п.1,

п.2, п.3, п.4)); 10 (§§1, 2, 3, 4 (п.1, п.2), 5, 6, 7 (п.п.1, 2, 3, 4)); гл.11 (§§1, 2, 3) учебника [1], а также соответствующие лекции и ма- териал практических занятий. Затем внимательно проследить за ходом решения задач и упражнений, предлагаемых здесь, в качестве типовых. Только после этого целесообразно присту- пить к выполнению задания.

Выполнение задания оформляется в отдельной учениче- ской тетради в клетку; графики (и другие рисунки и чертежи) оформляются от руки, но с соблюдением пропорций, масшта- ба и других, характерных для правильного чертежа условий.

После домашней проверки сданного преподавателю сво- ей группы задания, студент обязан «защитить» выполненную им работу. При защите ТР студенту кроме вопросов, относя-

Методическиеуказания и варианты типового расчета по высшей математике

щихся непосредственно к выполненному им заданию, будут предложены еще и теоретические вопросы по теме защищае- мой работы.

Считается зачтенной ТР только в том случае, если студент решил не менее 2/3 каждого типа задач своего варианта и отве- тил на 2/3 предложенных ему «теоретических» вопросов.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ

Студентам, желающим более глубоко изучить раздел «Неопределенный и определенный интегралы», кроме ука- занного в п.2 учебника [1] можно с пользой рекомендовать еще учебники [2], [3].

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

1. Вычислить интеграл	x4	3x2 53 x 7x 6		dx .
		3	x

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

	x4 3x2 53 x 7x												11								5							2					1
													6		x						3x						5 7x				6x
													6					3						3					3				3
							3 x											3						3					3				3
							3 x
													11								5							2					1
Интегрируя, получим: (x																					3x							5 7x				6x			)dx
Интегрируя, получим: (x																			3		3x					3		5 7x		3		6x		3	)dx
		14					8						5								2
			3	x				2	x		5x			21		x				9x					c
			3		3			2		3				21			3						3
		14			3		8			3			5				3						3
		14				3	8				9		5							21								.
																												.
		3 x2 (					x4					x 2 53 x										x 9) c
		3 x2 (					x4				8	x 2 53 x										x 9) c
		14									8										5

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

Проверка:

	d			3					2		3					4				9			2			3								21
								x							x						x				5 x																x				9			c
								x			14				x					8	x				5 x											5					x				9			c
	dx										14									8																5
			d					3			14						9			8								21						5										2
			d					3									9											21
										x 3									x 3 5x													x 3 9x												3 c
										x 3									x 3 5x													x 3 9x												3 c
			dx					14									8											5
			dx					14									8											5
			3					14			11						9			8			5									21					5					2							2			1

										x 3											x 3				5																x 3 9									x		3

		14						3									8			3											5						3												3
		14						3									8			3											5						3												3
			11								5										2							1
x					3		3x					3	5 7x									3		6x						3
			1						12								6				1							3														x4			3x2 53 x 7x 6
			1																																							x4			3x2 53 x 7x 6
							x 3					3x 3 5x 3 7x 3 6																																												.
			1				x 3					3x 3 5x 3 7x 3 6																																							3					.
			1																																																3		x
			x
			x			3
2. Вычислить интеграл																															xdx									.
2. Вычислить интеграл																														1 x							2			.
																														1 x
Решение: Полагая 1 x2																												u 2 ,										имеем для подынтеграль-
ного выражения: 2xdx 2udu,																															xdx												udu					du .
ного выражения: 2xdx 2udu,																													1 x2																			du .
																													1 x2															u
Интегрируя, получим: du u c																																															1 x2				c
Проверка:														d					1 x2						c												1								2x									x	.
Проверка:													dx						1 x2						c							2				1 x2									2x										.
													dx																			2				1 x2															1 x2
3. Вычислить интеграл																																			dx											.
3. Вычислить интеграл																											sin					2	x cos										2		x	.
																											sin						x cos												x
Решение:													Поскольку sin 2																			x cos 2													x 1,						то подынте-
гральная функция преобразуется к виду:
								1										sin 2 x cos2 x																								1								1				.
	sin 2 x cos2 x																		sin 2 x cos2 x																				cos2						x				sin 2			x		.
	sin 2 x cos2 x																		sin 2 x cos2 x																				cos2						x				sin 2			x
6

Методическиеуказания и варианты типового расчета по высшей математике

Интегрируя, получим:

tgx ctgx c .

sin

x cos

cos

sin

Проверка:

tgx ctgx

cos2

sin 2

sin 2 x cos2

4. Вычислить интеграл

Решение: Введем подстановку по формуле:

. Тогда

dx adtt 2 и подынтегральное выражение примет вид:

adt

t 2

x x

a 2

1 t

a 1 t

Интегрируя, получим:

arcsin t

arcsin

c .

x x

2 a 2

1 t 2

Проверка:

arcsin

x2 a2

x x2 a2

	1			a

				x2
1		a	2	x2
1		x2
		x2

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

5. Вычислить интеграл			dx		.
	x	2	4x	14

Решение: Выделяя полный квадрат в знаменателе имеем: x 2 4x 14 x 2 2 10 .

Следовательно,

x 2 4x 14

x 2 2 10

u 2 10 2

если положить

x 2

u , dx

du . Таким образом, заданный

интеграл сведен к табличному

arctg

и по-

этому

arctg

c .

4x 14

Проверка:

x 2

arctg

10 x 2 2

x2 4x 14

6. Вычислить интеграл x 2e x dx .

Решение:

Положим

u x 2 ,

e x dx

du 2xdx ,

ve x . Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

udv u v vdu . x 2e x dx x 2e x 2 xe x dx .

Рассмотрим теперь e x x dx и применим еще раз формулу

интегрированияпочастям: u x , dv	e x dx	, du dx , v e x
xe x dx xe x e x dx xe x e x c .
Окончательно имеем: x 2e x dx	x 2e x	2xe x 2e x c .
8

Методическиеуказания и варианты типового расчета по высшей математике

Проверка:
	d	x 2 e x 2xe x	2e x c
				.
	dx
2xe x x 2 e x 2e x 2xe x 2e x x2 e x
При интегрировании по частям важен выбор функций
u и v . В качестве u			выбирается та часть подынтегрального

выражения, которая существенно упрощается при диффе- ренцировании. За dv обозначается та часть подынтегральной функции совместно с dx , которая может быть легко проин- тегрирована.

7. Вычислить интеграл

x 1 .

Решение: Имеем: x 3 1 x 1 x 2

Разложим рациональную дробь

x 3 1

1 x 2 x 1

на простейшие дроби, имея в виду, что квадратный трехчлен

x 2 x

не

имеет

действительных

корней:

Bx C

x 3 1

x 2 x 1

Отыщем (методом неопределенных коэффициентов) по-

стоянные A, B, C. Умножая на x 3 1 обе части равенства, по- лучим:

1 A x2 x 1 Bx C x 1

A B x2 A B C x A C .

Это равенство тождественно по x тогда и только тогда, когда выполнены равенства (равны коэффициенты при рав- ных степенях в правой и левой частях):

При x2 : A B 0

При x : A B C 0

При x0 : A C 1 (свободный член)

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

Полученная трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет следующее решение: A 13 ,

B 13 , C 23 .

					Итак,										1								1		3						1			3	x 2				. Интегрируя, получим:
															1										3									3
											x3 1												x	1								x		2 x				1
											x3 1												x	1								x		2 x				1											1			2x 4 dx
				dx					1						dx								1				x 2 dx											1									1		1		2	2x 4 dx
																																							ln				x 1								2
	x		3						3				x 1										3			x		2			x							3	ln				x 1				3				2		x
	x				1				3				x 1										3			x					x					1		3									3				x		x	1
		1		ln		x	1						1					2x 1 3												dx
		1											1					2x 1 3
	3											6						x		2		x						1
																				2

	1			ln		x	1					1								2x 1									dx						1							dx
	1											1								2x 1															1							dx
		3										6						x2 x 1																	2		x 1					2		2 3		4
		3										6						x2 x 1																	2		x 1							2 3

							1	ln		x 1											1	ln x2							x 1										1						arctg			x 1			2	c .
							1														1																		1												2
							3													6																			3										3
							3													6																	2		3			4							3	4
																																										4								4
					Проверка:
						d			1														1	ln x						2			x 1						1							2x 1
						d			1														1							2									1							2x 1
										ln				x 1																														arctg							c
										ln				x 1																														arctg							c

						dx			3														6																	3									3
									1													2x 1														1						2
									1													2x 1														1								3
							3 x					1							6 x2 x										1							3		1			2x 1 2
							1									1				x 1																		1						3
																																												3
									3									3							6										2										1		.
							x 1										x2 x 1													4			4x2 4x												x3 1		.
							x 1										x2 x 1													4			4x2 4x												x3 1
10

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2015510.24 Кб8Методичка к написанию курсовых работ.rtf
#
08.03.201688.65 Кб11Методичка курсова робота (остан. варіант).docx
#
23.03.20152.08 Mб89Методичка. Оформлення.docx
#
23.03.2015843.54 Кб71Методичка.pdf
#
07.09.2019121.34 Кб1Методичні вказівки до ДП.doc
#
23.03.2015517.64 Кб13Неопределенный и определенный интегралы.pdf
#
23.03.20153.48 Mб735НМК-КПК України 2013-2014 н.р..doc
#
27.08.2019278.02 Кб10нове Програма курсу Літературне краєзнавство.ав...doc
#
23.03.2015248.29 Кб6Новый документ в формате RTF.rtf
#
23.03.201536.64 Кб10НС.docx
#
23.03.20153.29 Mб154Общий результат.docx