2. Хвильові рівняння електромагнітних хвиль

Для одержання хвильових рівнянь електромагнітних хвиль, розв’язком яких є рівняння (6), скористаємось рівняннями Максвелла.

Рис. 4

Розглянемо замкнутий контур в системі координат Е_z,o,x , сторони якого відповідно дорівнюють і Δх. Запишемо для цього замкнутого контуру рівняння Максвелла (1)

(7)

Оскільки ліві сторони рівнянь (7) відповідають рівнянню Максвелла (1), то праві сторони цих рівнянь можна прирівняти. Після незначних спрощень одержуємо

. (8)

В граничному випадку, коли рівняння (8) набуде вигляду

де – , зв’язок індукції магнітного поля з напруженістю цього поля. З урахуванням цього зауваження формула (8) набуде вигляду

(6.9)

Рівняння Максвелла (3) використаємо до замкнутого контуру в координатній площині Н_y,o,x (рис.4), вважаючи що вільні електричні заряди відсутні, а тому струм провідності jdS = 0

(10)

Оскільки ліві сторони рівнянь (10) однакові, то й праві сторони однакові. Прирівняємо праві сторони цих рівнянь, одержимо

В граничному випадку, коли , одержимо

(11)

Оскільки , то рівняння (11) набуде вигляду

. (12)

Продиференціюємо рівняння (12) по координаті х, одержимо

(13)

Замість виразу в душках правої сторони рівняння (13) підставимо його значення з рівняння (9), одержимо

. (14)

Продиференціюємо по координаті х рівняння (9)

(15)

Похідну в душках правої сторони рівняння (15) замінимо на відповідну похідну з рівняння (12), одержимо

(16)

З рівнянь (14) і (16) шляхом незначних перетворень одержуємо хвильові рівняння електромагнітних хвиль

(17)

Аналогічні до (17) хвильові рівняння можна одержати, якщо кожне з рівнянь (6) двічі диференціювати за часом і координатою і виключити з них функцію косинуса, тобто

Звідки, врахувавши що , одержуємо

(18)

Аналогічно диференціюємо друге рівняння (6) й після незначних спрощень одержуємо

(19)

Співставлення рівнянь (18) і (19) з рівняннями (17) дає можливість визначити швидкість поширення електромагнітних хвиль

(20)

Якщо врахувати, що для вакууму ε =1 і μ = 1, то швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі буде дорівнювати

(21)

Одержане значення швидкості поширення електромагнітних хвиль у вакуумі добре збігається з швидкістю поширення світла. В діелектричному середовищі (крім феромагнетиків) швидкість поширення електромагнітних хвиль менша на , тобто

(22)

Для світлових хвиль, які можуть поширюватись в прозорих діелектричних середовищах, величину називають показником заломлення і позначають черезn, тому

(23)

Билет №5

1.

.

2.

Билет№17

1. 1. Коливання, амплітуда, фаза, швидкість, прискорення.

Коливаннямиабоколивальними рухаминазивають такі види механічного руху чи зміни стану системи, які періодично повторюються в часі.

Мех колив— вид руху тіла, під час якого воно багаторазово проходить одні й ті ж положення.

Коливання називаються гармонічними, якщо їх характеристики змінюються у часі за законом синуса або косинуса.

Вільними(власними) називаються коливання, які здійснює тіло за рахунок початкової енергії, без зовнішньої дії під час коливань.

Період— час одного коливання,, обернена величина —частота;,(герц),. Величина, аналогічна кутовій швидкості обертання, називаєтьсяциклічноючастотою коливань:Амплітудою коливаньназивається максимальне зміщення матеріальної точки з положення рівноваги.

Рівняння гармонічних коливань . Аргумент синусаназиваєтьсяфазою коливаньі рівняння коливань мае вигляд, де весь вираз у дужках — фаза коливань, а— початкова фаза коливань.

Шви́дкість—векторнафізична величина, що відповідає відношеннюпереміщеннятіладо проміжку часу, за який це переміщення відбувалось.

Приско́реннямназивається змінашвидкостітіла за одиницючасу.

Билет №7

1.

2.Коло з індуктивним опором мусить мати значну індуктивність і дуже малі значення опорів R_c i R (наприклад, котушка індуктивності). Зі зміною струму за гармонічним законом: I = I_maxsint; ЕРС самоіндукції:

_i = – LI' = – LI_maxcost.

Оскільки U = – _i, то напруга на кінцях котушки:

U = LI_maxcost = LI_maxsin(t + /2) = U_maxsin(t + /2),

де U_max = LI_max -амплітуда напруги.

Відповідно коливання струму відстають від коливань напруги на /2 (рис.5).

Амплітуда струму в котушці дорівнює:

.

Рис.5.

Індуктивний опір залежить від частоти. Якщо електричне поле містить ємнісний і індуктивний опори, це означає, що в колі є реактивний опір (рис.5).

Рис.6

З урахуванням зсуву за фазою між струмом і напругою реактивний опір:

.

Якщо електричне коло містить активний, індуктивний і ємнісний опори, то з урахуванням зсуву за фазою між струмом і напругою повний опір кола буде дорівнювати (рис.7):

.

Рис.7

Визначивши повний опір кола для змінного струму, можна застосувати також закон Ома для ділянки кола:

,                                               (5.2.6)

тобто закон Ома для змінного струму.

2. 

Билет №14

1.Билет №6

2.Билет №7

3.

.

Билет № 10

1.Былет №7

2.

Електричний струм — це впорядкований рух заряджених частинок у просторі. У металах та напівпровідниках це електрони, у електролітах позитивно та негативно заряджені іони, у іонізованих газах — іони та електрони. За напрямок струму вибирають рух позитивно заряджених частинок. Таким чином напрямок руху струму в металах протилежний напрямку руху електронів.

Кількісно електричний струм характеризується диференційною векторною величиною густиною струму, або у випадку струму в проводах інтегральною величиною силою струму.

Під час замикання в колі змінна електрорушійна сила (ЕРС) створює змінний струм. Значення такого струму і напруги в колі змінюються з часом за гармонічним законом. Ці періодичні зміни викликають періодичні коливання швидкості впорядкованого руху заряджених частинок.

Існує декілька способів отримання змінного струму, але якщо частота не перевищує 1000 Гц, то зазвичай його отримають методом обертання рамки в магнітному полі.

Рис.1 Рис.2

Нехай плоска рамка площею S рівномірно обертається в магнітному полі з індукцією і кутовою швидкістю. У будь-який проміжок часу рамку пронизує магнітний потік (рис.1):

Ф = ||Scos,

де  - кут між вектором магнітної індукції і вектором нормалі, перпендикулярним до площини рамки; = t, ( = /t). Тоді магнітний потік, який пронизує рамку,

Ф = ||Scost.

Змінний магнітний потік у рамці буде утворювати у ній ЕРС індукції, яка визначається законом Фарадея для електромагнітної індукції:

_i = – Ф' = – (BScost)' = BSsint = _msint,                       (5.2.5)

де _m = BS - амплітудне значення ЕРС індукції, _i = _msint - залежність ЕРС індукції в рамці, яка обертається в магнітному полі, від часу.

Якщо наведену ЕРС за допомогою кілець і щіток підвести до навантаження опором R, то на опорі виникає спад напруги, яка також змінюється за гармонічним законом:

U = U_maxsint або U = U_maxcost.

Під дією прикладеної напруги через навантаження буде проходити змінний струм

I = I_maxsin(t + ₀),

де I_max - максимальне значення струму; ₀ - зсув за фазою між коливаннями сили струму і напруги.

3.

Билет 18

1.

2.Билет 10

3.

Билет №20

1.