Дифференциальные уравнения
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации |
|
|
||
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение |
|
|||
высшего профессионального образования |
|
|
||
«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») |
|
|||
Троицкий филиал |
|
|
|
|
Кафедра |
математики и информатики |
|
|
|
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению |
|
|||
подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» |
|
|||
Версия документа - 1 |
стр. 2 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
Содержание |
|
|
1. Программа учебной дисциплины......................................................................... |
|
3 |
||
1.1. Вводная часть .............................................................................................. |
|
|
|
3 |
1.1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины ................................... |
|
3 |
||
1.1.2. Место учебной дисциплины в структуре ООП ..................................... |
|
4 |
||
1.1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения |
|
|||
дисциплины....................................................................................................... |
|
|
|
4 |
1.2. Структура и содержание учебной дисциплины ........................................... |
|
5 |
||
1.3. Рабочая учебная программа |
........................................................................... |
|
7 |
|
1.3.1. Разделы дисциплины, виды учебной работы, объем занятий и формы |
||||
контроля............................................................................................................. |
|
|
|
7 |
1.3.2. Лекции...................................................................................................... |
|
|
|
8 |
1.3.3. Практические занятия............................................................................ |
|
|
13 |
|
1.3.4. Самостоятельная работа .......................................................студентов |
|
19 |
||
1.4. Список литературы ....................................................................................... |
|
|
21 |
|
1.5. Электронная коллекция................................................................................ |
|
|
22 |
|
2. Методические рекомендации преподавателю.................................................... |
|
22 |
||
3. Методические рекомендации студенту.............................................................. |
|
24 |
||
4. Требования (критериальные показатели .....) к уровням освоения программы |
25 |
|||
5. Фонды оценочных средств.................................................................................. |
|
|
26 |
|
5.1. Контрольные работы..................................................................................... |
|
|
26 |
|
5.2. Вопросы для итоговой оценки ................качества освоения дисциплины |
26 |
|||
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 3 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
1.Программа учебной дисциплины
1.1.Вводная часть
Современная математика и механика, оперирующие сложными моделями и объектами, изучение которых приводит к решению дифференциальных уравнений, требует от специалиста обладать азами решения как простейших типов уравнений, так и более сложных дифференциальных уравнений, решение которых требует применения приближенных методов.
1.1.1. Цели и задачи освоения учебной дисциплины
Цели дисциплины: Цель преподавания дисциплины «Дифференциальные уравнения» состоит в приобретении студентами теоретических знаний и практических умений и навыков по теории дифференциальных уравнений, использовании их для решения прикладных задач механики, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии.
Задачи дисциплины: Основной задачей изучения дисциплины является формирование у студентов навыков решения различных видов дифференциальных уравнений и систем, а также умения составления моделей, аналогий действительного мира в виде дифференциальных уравнений и затем умение применить изученные теории к выяснению вопросов существования решений, нахождения их.
Конкретные задачи изучения сводятся к следующему:
1.Изучение основных методов интегрирования различных дифференциальных уравнений первого порядка.
2.Изучение методов решения линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.
3.Изучение способов решения линейных уравнений с переменными коэффициентами и элементов качественной теории таких уравнений.
4.Изучение фундаментальных теорем существования и единственности для различных задач Коши.
5.Изучение основных методов решения уравнений, неразрешенных относительно производной, выделение особых решений.
6.Изучение основных типов уравнений, допускающих понижение порядка.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 4 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
7.Изучение способов нахождения производной решения по параметру и по начальным условиям, уяснение условий их существования.
8.Изучения понятий фазового пространства и фазовых траекторий. Применение и построение этих понятий для конкретных систем.
9.Изучение основных элементов теории устойчивости.
10.Изучение способов решения нелинейных систем и уравнений в частных производных первого порядка.
1.1.2. Место учебной дисциплины в структуре ООП
Дисциплина относится к дисциплинам базовой части (Б.3) профессионального цикла.
Изучение базируется на следующих дисциплинах «Математический анализ», «Алгебра». Дисциплина является одной из дисциплин, на базе которой строятся такие дисциплины, как «Теоретическая механика», «Уравнения математической физики», «Вариационное исчисление и оптимальное управление», «Численные методы», теория и спецкурсы, связанные с качественной теорией дифференциальных уравнений с приближенным решением и теоремами существования начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
1.1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать и уметь: применять на практике методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Владеть: методологией и навыками решения научных и практических за-
дач.
Данная дисциплина способствует формированию следующих компетен-
ций:
а) общекультурных (ОК)
- способностью к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства (ОК-16);
б) профессиональных (ПК)
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 5 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
-способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
-способностью в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4).
1.2. Структура и содержание учебной дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, общий объем часов - 288, в том числе:
лекции 72;
практические занятия 72;
самостоятельная работа студента 144 Форма контроля - экзамен Семестр 3, 4.
Содержание дисциплины:
1.Общая теория дифференциальных уравнений и систем
Общие понятия. Некоторые элементарные методы интегрирования. Комплексные дифференциальные уравнения.
2.Линейные уравнения и системы
Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней, случай кратных корней). Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Квазимногочлены. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами. Показательная функция матрицы. Нормальная система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами.
3.Теоремы о нулях решений линейных уравнений второго порядка
Теорема о неколеблющемся решении. Теорема Штурма и ее следствие. Теорема сравнения и ее следствие. Теорема Кнезера.
4.Краевые задачи
Понятие о краевых задачах. Теорема об альтернативе. Краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Функция Грина для краевой задачи и ее свойства. Теорема о существовании и способе построения функции Грина.
5.Задача Коши
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы линейных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для одного уравнения. Теорема существования и
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 6 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
6.Уравнения, неразрешенные относительно производной
Теорема существования и единственности решения, следствие. Дискриминантная кривая, особое решение дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной. Методы решения уравнений, неразрешенных относительно производной: разрешение относительно производной, метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
7.Уравнения, допускающие понижение порядка
Промежуточные интегралы. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию или независимое переменное. Понижение порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной производной.
8.Непродолжаемые решения
Предложение о существовании непродолжаемого решения. Предложение
овыходе непродолжаемого решения за границу ограниченного замкнутого множества, следствие для автономной системы.
9.Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения
Теорема о непрерывной зависимости решения от правой части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости решений от начальных условий. Теорема
онепрерывной зависимости решения от параметра.
Дифференцируемости решения по параметру, начальным значениям. Уравнения в вариациях по параметру и по начальному значению. Метод малого параметра.
10.Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства
Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. Связь геометрической и кинематической интерпретаций решений нормальной системы. Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами.
11.Первые интегралы
Критерий первого интеграла. Теорема о существовании n независимых первых интегралов. Теорема о получении решения с помощью первых интегралов. Теорема о выражении любого первого интеграла через систему n независимых первых интегралов. Первые интегралы автономных систем, теорема о существовании n-1 независимого первого интеграла, не содержащего t.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 7 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
12.Теория устойчивости
Теория устойчивости. Основные понятия. Метод функций Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
13.Уравнения в частных производных первого порядка
Линейные однородные уравнения первого порядка. Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения.
1.3. Рабочая учебная программа
1.3.1. Разделы дисциплины, виды учебной работы, объем занятий и формы контроля
Таблица 1 - Разделы дисциплины, виды, объем занятий и формы контроля
Но- |
Наименование разделов дис- |
|
Объем в часах по ви- |
Формы контроля |
||||
мер |
Семестр |
дам учебной работы |
успеваемости |
|||||
раз- |
циплины |
|
Всего |
Л |
ПЗ |
СРС |
|
|
дела |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Общая теория дифференци- |
3 |
30 |
6 |
16 |
8 |
|
Домашнее задание, |
альных уравнений и систем. |
|
контрольная работа |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Линейные уравнения и сис- |
3 |
53 |
17 |
18 |
18 |
|
Домашнее задание, |
темы |
|
контрольная работа |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоремы о нулях решений |
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание, |
3 |
линейных уравнений второго |
3 |
6 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
контрольная работа |
|||||||
|
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Краевые задачи. |
3 |
7 |
2 |
1 |
4 |
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Задача Коши. |
3 |
14 |
8 |
2 |
4 |
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сессия |
3 |
36 |
|
|
36 |
|
Экзамен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Уравнения, неразрешенные |
4 |
10 |
3 |
5 |
2 |
|
Домашнее задание, |
|
относительно производной. |
|
|
|
|
|
|
контрольная работа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Уравнения, допускающие |
4 |
9 |
2 |
5 |
2 |
|
Домашнее задание, |
|
понижение порядка. |
|
|
|
|
|
|
контрольная работа |
8 |
Непродолжаемые решения. |
4 |
5 |
3 |
- |
2 |
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 8 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
|
Непрерывная зависимость |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
решения от начальных усло- |
4 |
24 |
8 |
8 |
8 |
Домашнее задание |
|
вий и правой части уравне- |
||||||||
|
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
Автономные системы диф- |
4 |
18 |
6 |
6 |
6 |
Домашнее задание, |
|
ференциальных уравнений и |
||||||||
контрольная работа |
||||||||
|
их фазовые пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
Первые интегралы. |
4 |
9 |
4 |
2 |
3 |
Домашнее задание, |
|
контрольная работа |
||||||||
12 |
Теория устойчивости. |
4 |
19 |
6 |
4 |
9 |
Домашнее задание, |
|
контрольная работа |
||||||||
13 |
Уравнения в частных произ- |
4 |
12 |
4 |
4 |
4 |
Домашнее задание, |
|
водных первого порядка. |
контрольная работа |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сессия |
4 |
36 |
|
|
36 |
Экзамен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
|
|
288 |
72 |
72 |
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.2. Лекции
Таблица 2 - Темы лекций, их содержание, трудоемкость
|
|
Коли- |
|
Тема лекции |
Содержание |
чество |
|
часов |
|||
|
|
||
|
|
|
|
Общие понятия |
Определение дифференциального уравнения и решения |
2 |
|
|
дифференциального уравнения. Геометрическое истолкова- |
|
|
|
ние дифференциального уравнения (векторное поле) и его |
|
|
|
решения (интегральная кривая). Задача обратная решению |
|
|
|
дифференциального уравнения. Задача Коши и краевая за- |
|
|
|
дача. Примеры. |
|
|
Некоторые элементарные |
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий |
2 |
|
методы интегрирования. |
множитель. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. |
|
|
|
Уравнения с разделяющимися переменными и однородные |
|
|
|
уравнения. Примеры. |
|
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации |
|
|||
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение |
||||
высшего профессионального образования |
|
|||
«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») |
||||
Троицкий филиал |
|
|
||
Кафедра |
математики и информатики |
|
||
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению |
||||
подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» |
||||
Версия документа - 1 |
|
стр. 9 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
|
Комплексные дифферен- |
Комплексная функция. Нормальная система дифференци- |
2 |
циальные уравнения. |
альных уравнений. Теорема существования и единственно- |
|
|
сти (формулировка). Расщепление комплексной системы на |
|
|
систему действительных уравнений. Теорема существования |
|
|
и единственности для уравнения n-го порядка (формулиров- |
|
|
ка). Экспонента комплексного числа, свойства. Примеры. |
|
Некоторые сведения о ли- |
Система линейных уравнений общего вида, однородная и |
1 |
нейных дифференциаль- |
неоднородная. Общие свойства решений линейных систем. |
|
ных уравнениях. |
|
|
Линейные однородные |
Общий вид линейного однородного уравнения с постоянны- |
2 |
уравнения с постоянными |
ми коэффициентами (ЛОУсПК). Характеристический мно- |
|
коэффициентами (случай |
гочлен. Теорема о виде решения ЛОУсПК в случае простых |
|
простых корней). |
корней характеристического многочлена. Выделение дейст- |
|
|
вительных корней из совокупности комплексных решений в |
|
|
случае действительных коэффициентов уравнения. Приме- |
|
|
ры. |
|
Линейные однородные |
Теорема о виде решения ЛОУсПК в случае кратных корней |
2 |
уравнения с постоянными |
характеристического многочлена. Формула смещения. При- |
|
коэффициентами (случай |
меры. |
|
кратных корней). |
|
|
Линейные неоднородные |
Общий вид линейного неоднородного уравнения с постоян- |
2 |
уравнения с постоянными |
ными коэффициентами (ЛНУсПК). Определение квазимно- |
|
коэффициентами. Ква- |
гочлена и его свойства. Теорема о виде частного решения |
|
зимногочлены. |
ЛНУсПК с неоднородностью в виде квазимногочлена. |
|
Нормальная линейная од- |
Общий вид нормальной линейной однородной система с по- |
3 |
нородная система с посто- |
стоянными коэффициентами (НЛОСсПК). Характеристиче- |
|
янными коэффициентами. |
ский многочлен. Теорема о виде решения НЛОСсПК в слу- |
|
|
чае простых корней характеристического многочлена и в |
|
|
общем случае. |
|
Показательная функция |
Ряд от матрицы. Экспонента матрицы, свойства и способы |
2 |
матрицы. |
ее нахождения. Экспонента диагональной и жордановой |
|
|
матрицы. |
|
Нормальная система ли- |
Общий вид НСЛУсПерК. Фундаментальная система реше- |
3 |
нейных уравнений с пере- |
ний. Детерминант Вронского. Формула Лиувилля. Метод |
|
менными коэффициента- |
вариации постоянных для решения линейных неоднородных |
|
ми. |
систем. Формула Коши. |
|
Линейные уравнения n-го |
Общий вид НЛУсПерК. Эквивалентность НСЛУсПерК и |
2 |
порядка с переменными |
НЛУсПерК. Фундаментальная система решений. Детерми- |
|
коэффициентами. |
нант Вронского. Формула Лиувилля и ее применение для |
|
|
решения линейных однородных уравнений. Метод вариации |
|
|
постоянных для решения линейных неоднородных уравне- |
|
|
ний. |
|
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации |
|
|||
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение |
||||
высшего профессионального образования |
|
|||
«Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») |
||||
Троицкий филиал |
|
|
||
Кафедра |
математики и информатики |
|
||
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению |
||||
подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ» |
||||
Версия документа - 1 |
|
стр. 10 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
|
Теоремы о нулях решений |
Теорема о неколеблющемся решении. Теорема Штурма и ее |
3 |
|
линейных уравнений вто- |
следствие. Теорема сравнения и ее следствие. Теорема Кне- |
|
|
рого порядка. |
|
зера. |
|
Краевые задачи для ли- |
Понятие о краевых задачах. Теорема об альтернативе. Крае- |
2 |
|
нейных уравнений второ- |
вая задача для линейного уравнения второго порядка. Функ- |
|
|
го порядка. |
|
ция Грина для краевой задачи и ее свойства. Теорема о су- |
|
|
|
ществовании и способе построения функции Грина. Выра- |
|
|
|
жение решения краевой задачи для линейного уравнения че- |
|
|
|
рез функцию Грина. Примеры. |
|
|
|
|
|
Теорема существования и |
Теорема существования и единственности решения задачи |
3 |
|
единственности решения |
Коши для нормальной системы линейных уравнений. След- |
|
|
задачи Коши для нор- |
ствие - теорема существования и единственности решения |
|
|
мальной системы линей- |
задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка. |
|
|
ных уравнений. |
|
|
|
Теорема существования и |
Теорема существования и единственности решения задачи |
3 |
|
единственности решения |
Коши для одного уравнения. Ломаные Эйлера. |
|
|
задачи Коши для одного |
|
|
|
уравнения. |
|
|
|
Теорема существования и |
Теорема существования и единственности решения задачи |
2 |
|
единственности решения |
Коши для нормальной системы дифференциальных уравне- |
|
|
задачи Коши для нор- |
ний. |
|
|
мальной системы диффе- |
|
|
|
ренциальных уравнений. |
|
|
|
Итого за 3 семестр |
|
|
36 |
|
|
|
|
Уравнения, неразрешен- |
Теорема существования и единственности решения, следст- |
3 |
|
ные относительно |
произ- |
вие. Дискриминантная кривая, особое решение дифференци- |
|
водной. |
|
ального уравнения, неразрешенного относительно произ- |
|
|
|
водной. Методы решения уравнений, неразрешенных отно- |
|
|
|
сительно производной: разрешение относительно производ- |
|
|
|
ной, метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Кле- |
|
|
|
ро. |
|
Уравнения, допускающие |
Промежуточные интегралы. Уравнения, не содержащие явно |
2 |
|
понижение порядка. |
|
искомую функцию или независимое переменное. Понижение |
|
|
|
порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной |
|
|
|
производной. |
|
Непродолжаемые |
реше- |
Предложение о существовании непродолжаемого решения. |
3 |
ния. |
|
Предложение о выходе непродолжаемого решения за грани- |
|
|
|
цу ограниченного замкнутого множества, следствие для ав- |
|
|
|
тономной системы. Пример. |
|
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»