Финансовая математика (4 задачи)

Задача № 1

Кредит в размере 63 т.р. выдается на 4 года. При ожидаемом уровне инфляции 14% реальная доходность операции должна составить 9% по сложной ставке процентов. Определить ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, погашенную сумму и сумму начисленных процентов.

Решение:

1) Первую часть задачи решим двумя способами:

а) Расчет ставки произведем по формуле И. Фишера:

(1)

или 24,26%

Следовательно, для компенсации потерь из-за инфляции и обеспечения доходности на уровне 9% годовых (сложный процент) необходимо установить номинальную ставку брутто равную 24,26%.

б) Расчет ставки процента произведем исходя из формулы:

(2)

Для одного года m=1 и n = 1.

Следовательно, подставляя в формулу 2 значения m и n получим:  или 0,2426%.

2) Наращенную сумму рассчитаем по формуле:

. (4)

С учетом инфляции банк получит:

руб.

Из них погашенная сумма долга составит:

руб.

Таким образом, только за счет инфляции долг вырос на:

106404,49 – 63000 = 43404,49 руб.

Сумма начисленных процентов с учетом инфляции составит:

150198,62 – 63000 = 87198,62 руб.

Реально банк получит прибыль только в размере:

150198,62 – 106404,49 = 43794,13 руб.

Ответ: с учетом инфляции:

ставка составит 24,26%;

погашенная сумма долга 106404,49 руб.;

начисленные проценты (доход банка) составит: 43794,13 руб.

Задача № 2

Предоставлен кредит в размере 18,0 тыс. руб. на срок 6 месяцев под 24% годовых с ежемесячным погашением. Погашение задолженности производится ежемесячными платежами. Составить план погашения кредита при равномерной уплате основного долга.

Решение:

В условии задачи не определен вид кредита и способ начисления процентов. В данном случае для заимодавца выгоднее будет выдать кредит на условиях «потребительского кредита» (простые проценты), т.к. срок предоставления кредита менее года.

1) Допустим, что начисление процентов осуществляется на остаток долга.

Величина погасительного платежа состоит из двух частей:

А) Платеж по основному долгу (он у нас постоянный по условию, т.е. 18000 руб. / 6 мес. = 3000 руб.)

Б) Платеж по погашению начисленных процентов (в данном случае мы приняли, что проценты начисляются на остаток долга). Поэтому величина начисленных процентов к погашению будет равна:

где - начисленные проценты;

- база для начисления процентов (остаток основного долга);

- ставка наращения процентов;

t – число дней проведения операции (в данном случае 30 дней);

К – временная база (360 дней).

Для первого платежа начисленные проценты составят: руб.

Для второго платежа начисленные проценты составят: руб.

Для третьего платежа начисленные проценты составят: руб.

Для четвертого платежа начисленные проценты составят: руб.

Для пятого платежа начисленные проценты составят: руб.

Для шестого платежа начисленные проценты составят: руб.

План платежей будет выглядеть следующим образом:

№ платежа	Остаток долга на начало периода, руб.	Величина платежа по основному долгу, руб.	Величина погашенных процентов, руб.	Общая величина платежа	Остаток долга на конец периода, руб.
1	18000	3000	360	3360	15000
2	15000	3000	300	3300	12000
3	12000	3000	240	3240	9000
4	9000	3000	180	3180	6000
5	6000	3000	120	3120	3000
6	3000	3000	60	3060	0
Всего		18000	1260	19260	-

2) Допустим, что проценты были начислены сразу на весь долг, тогда по логике кредитных операций заимодавец будет пытаться как можно быстрее изъять свою прибыль (начисленные проценты) и поэтому поток платежей для погашения начисленных процентов будет равномерно убывающим. Для составления такого плана погасительных платежей наиболее разумно воспользоваться «Правилом 78», хотя можно использовать любую убывающую последовательность дробей, лишь бы их сумма была равна 1.

В начале рассчитаем дроби:

А) Сумма номеров месяцев за 0,5 года составит:

Б) Дроби будут следующие:

Для первого платежа: или ; для второго платежа: ; для третьего платежа: ; для четвертого платежа: или ; для пятого платежа: ; для шестого платежа: .

Рассчитаем сумму начисленных процентов:

руб.

Теперь, умножая сумму начисленных процентов на соответствующую платежу дробь, будем получать величину погашенных процентов.

№ платежа	Остаток на начало периода	Величина платежа по основному долгу	Дроби	Погашенные проценты	Величина платежа	Остаток на конец периода
1	18000	3000	2/7	617,14	3617,14	15000
2	15000	3000	5/21	514,29	3514,29	12000
3	12000	3000	4/21	411,43	3411,43	9000
4	9000	3000	1/7	308,57	3308,57	6000
5	6000	3000	2/21	205,71	3205,71	3000
6	3000	3000	1/21	102,86	3102,86	0
Всего		18000	1	2160	20160	-

Задача № 3

Банк при выдаче ссуды на 1 год 6 месяцев использовал ставку 25% годовых, проценты начислялись каждые полгода. Определить величину простой учетной ставки, которая обеспечила бы банку получение равноценной суммы.

Решение:

Наращенная сумма будет равна:

Наращенная сумма по простой учетной ставке будет равна:

Следовательно,  

    или 19,8%.

Задача № 4

Кредит в сумме 1 млн. руб. с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20% годовых должен погашаться равными срочными уплатами, включающими погашение основной суммы кредита и процентов, ежегодно в конце каждого года в течение 5 лет. Определите общие расходы по погашению кредита и сумму начисленных процентов.

Решение:

Фактически будем рассматривать два варианта выплат:

А) Единовременное погашение суммы долга и начисленных за 5 лет процентов:

руб.

Таким образом, если бы мы гасили кредит одним платежом через 5 лет, то заплатили бы 2488320,00 руб.

Б) Однако нам предлагается гасить этот долг равными частями в конце года. Тогда из формулы определения наращенной суммы обыкновенного аннуитета (постнумерандо) следует, что величина равного платежа составит:

 

Таким образом, ежегодные равные платежи составят 334379,70 руб.

Следовательно, общие расходы составят: 334379,70 руб. × 5 = 1671898,50 руб. Из них проценты: 1671898,50 руб. – 1000000 руб. = =671898,50 руб.

Для более наглядного представления общих расходов по погашению кредита и суммы начисленных процентов применим метод депозитной книжки:

№ платежа	Остаток долга на начало периода, руб.	Сумма годового платежа, руб.	В том числе		Остаток долга на конец периода, руб. (гр.1 – гр.4)
			Проценты (r=20%), руб.	Погашенная часть долга, руб. (гр.2 – гр.3)
А	1	2	3	4	5
1	1000000,00	334379,70	200000,00	134379,70	865620,30
2	865620,30	334379,70	173124,06	161255,64	704364,65
3	704364,65	334379,70	140872,93	193506,77	510857,88
4	510857,88	334379,70	102171,58	232208,13	278649,75
5	278649,75	334379,70	55729,95	278649,75	0,00
Всего		1671898,52	671898,52	1000000,00	-

Таким образом, всего общих расходов будет: 1671898,52 руб., из них начисленные проценты составят 671898,52 руб.