К лабораторной работе 2.
Оценка статистических показателей.
Принципы и методы, положенные в основу обработки результатов измерений и их оценки, применимы главным образом к случайным погрешностям.
Для оценки возможной погрешности измерений необходимо знать закономерности появления случайных погрешностей. При большом числе измерений их значения, как правило, распределяются по закону Гаусса: погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений; вероятность (частота) появления погрешностей, равных по значению и обратных по знаку, одинакова; большие по абсолютному значению погрешности встречаются реже малых; средняя арифметическая погрешность стремится к нулю при увеличении числа измерений.
При измерениях необходимо учитывать, что:
среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же физической величины, произведенных при одинаковых условиях, приближается к нулю при возрастании числа измерений;
чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений, одинаковых по точности;
по абсолютной величине случайные погрешности практически не могут превосходить определенного предела, величина которого зависит от условий измерений и их точности.
Перечисленные особенности случайных погрешностей с очевидностью проявляются только статистически, т. е. при довольно большом числе измерений, но их учитывают и при малом числе измерений, хотя в этом случае они не столь очевидны.
В качестве наилучшего (более надежного) значения истинной физической величины принимают среднее арифметическое из результатов измерений
, (3)
где п — количество измерений одной и той же величины.
Мерой точности измерении служит среднее квадратическое отклонение S
, (4)
где Δi — абсолютные погрешности.
Если неизвестно номинальное или действительное значение измеряемой величины, среднее квадратическое отклонение определяют по формуле
, (5)
где i — разность между измеренные значением физической величины xi и средним арифметическим .
. (6)
Всегда имеет место равенство , которое используется для контроля вычислений среднего арифметического.
При увеличении числа измерений среднее квадратическое отклонение стремится к своему статистическому пределу , называемому стандартом распределения погрешностей.
Оценка грубых погрешностей.
Одной из разновидностей случайных погрешностей являются грубые ошибки, значительно превосходящие как случайные, так и систематические погрешности. Они приводят к явному браку, и их отсутствие в измерениях и вычислениях должно быть полностью гарантировано путем обязательного повторения измерений.
Грубыми называют погрешности, явно превышающие по своему значению погрешности, оправданные условиями проведения эксперимента. Если исполнитель в процессе измерений обнаруживает, что результат одного из наблюдений резко отличается от других, и находит причины этого, то он может отбросить этот результат и провести повторные измерения.
Особенно остро ставится вопрос об устранении грубых погрешностей при обработке уже имеющегося материала, когда невозможно учесть все обстоятельства, при которых проводили измерения. В этом случае приходится прибегать к чисто статистическим методам.
Вопрос о том, содержит ли данный результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез.
Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения xi не содержит грубой погрешности, т. е. является одним из значений случайной величины Х с законом распределения FX(x), статистические оценки параметров которого предварительно определены. Сомнительным может быть в первую очередь лишь наибольший xmах или наименьший xmin из результатов наблюдений. Поэтому для проверки гипотезы следует воспользоваться распределениями величин
или .
Функции их распределения определяют методами теории вероятностей. Они совпадают между собой и для нормального распределения результатов наблюдений табулированы и представлены в табл. 1 Приложения. По данным этой таблицы, при заданной доверительной вероятности или уровне значимости q = 1 — можно для чисел измерения п = 325 найти те наибольшие значения , которые случайная величина может еще принять по чисто случайным причинам.
Если вычисленное по опытным данным значение окажется меньше , то гипотеза принимается, в противном случае ее следует отвергнуть как противоречащую данным наблюдений. Тогда результат Xmах или соответственно Xmin приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей обработке результатов наблюдений.
Пример. При измерении температуры были получены следующие результаты: 20,42; 20,43; 20,40; 20,43; 20,42; 20,43; 20,39; 20,30; 20,40; 20,43; 20,42; 20,41; 20,39; 20,39; 20,40.
Требуется определить, не содержит ли результат восьмого наблюдения t8 = 20,30° С грубой погрешности.
Вначале обычными способами находим среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений:
Если принять доверительную вероятность = 0,95, то из табл. 11 Приложения при п = 15, 0,95 = 2,493 и, поскольку
результат t8 = 20,30° С содержит грубую погрешность.
Если отбросить этот результат и повторить вычисления, то среднее арифметическое окажется равным , а среднее квадратическое отклонение уменьшится до. Расчет приведен в последних двух графах таблицы.
К лабораторной работе 3.
Модели обработки данных измерений.
Формирование модели данных является одним из этапов процесса измерения. Модель служит наглядным примером зависимости групп результатов измерений между собой. Для построения моделей в лабораторной работе применяется регрессионный анализ. С его помощью подбираются кривые заданного вида.
Статистическая модель строится путем проверки полученной регрессионной модели статистическими методами.
Ниже приведен пример построения регрессионной модели.
Пример. С помощью метода наименьших квадратов подберем кривую вида
Y = bo+b1x+b2ez
к четырем (трехмерным) точкам:
(х1, z1, y1) = (3; 1; 8,2),
(х2, z2, y2) = (20; 3; 60,3),
(х3, z3, y3) = (1; 0; 3,1),
(х4, z4, y4) = (55; 4; 164,3).
Независимыми переменными в данной регрессии являются х и z, зависимой переменной – у. Проверим регрессионное уравнение на значимость и найдем доверительные границы для неизвестного параметра β0 и σ2.
Прямая линия содержит нулевую и первую степень х, а при построении прямой линий по методу наименьших квадратов мы используем матрицу Х с двумя столбцами, один из которых составлен из нулевых степеней {xi}, а другой—из первых степеней {xi}. При подгонке по экспоненциальной кривой, содержащей константу и член, пропорциональный ряду еx, возьмем матрицу Х также с двумя столбцами, один из которых составлен из единиц, а второй—из значений {exp xi}. Для подгонки по кривой примера матрица X должна иметь уже три столбца. Первый, второй и третий столбцы составлены соответственно из единиц, значений {xi} и значений {exp zi}. Как обычно, {yi} образуют вектор-столбец у, а коэффициенты регрессии – трехмерный вектор-столбец b. Итак,
и
Поэтому
и
Нормальные уравнения имеют вид:
4bo + 79b1 + 78,40196878b2 = 235,9, 79bo + 3435b1 + 3413,763836b2 = 10270,2, 78,40196878bo + 3413,763836b1 + 3392,775836b2 = 10207,02384.
Находим: bo = – 0,001022462, b1 = 0,293743778 и b2 =2,712920796, поэтому выравненные значения равны соответственно 8,255; 60,364; 3,006 и 164,275.
В работе необходимо выполнить построение модели по группам данных индивидуального задания.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
|
Лабораторная работа № 1. |
|
Дата и Ф.И.О. исполнителя: |
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Определение основных метрологических показателей и классификационных признаков (на примере средств измерения линейных величин). |
|
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
Цель: |
1.Научиться классифицировать с.и. |
|
|
|
|
| |||
|
|
2.Определять метрологические свойства. |
|
|
|
|
| |||
|
Задачи работы: |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
1. Выполнить систематизацию предложенных с.и. с помощью электронных и литературных источников |
|
| |||||||
|
2. Определить метрологические показатели с.и., используя паспортные характеристики и сами средства |
|
| |||||||
|
3. Указать принадлежность составляющей суммарной погрешности соответствующему с.и. |
|
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Систематизация средств измерений |
|
|
|
Таблица 1 |
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Название |
Метод измерения |
Характер показаний |
Принцип действия |
Назначение |
Вид отсчета |
Вид измерения |
|
| |
|
Штангенциркуль |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Микрометр |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Микроскоп |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Метрологические характеристики |
|
|
|
Таблица 2 |
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Название |
Цена деления, мм |
Диапазон, мм |
Предел изм-я, мм |
Погрешность изм-я, мм |
Класс точности |
Номер (по паспорту) |
| ||
|
Штангенциркуль |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Микрометр |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Микроскоп |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Вывод: |
В ходе работы выполнена классификация с.и. и определены их метрологические характеристики. |
| |||||||
|
|
Определены основные составные части измерительных средств: |
|
|
| |||||
|
|
ш / циркуль: |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
микрометр: |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
микроскоп: |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Погрешности измерения |
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Погрешность |
Средство измерения |
|
|
|
|
| |||
|
ШЦ |
Микрометр |
Микроскоп |
|
В таблице 3 следует распределить составляющие | |||||
|
инструментальная |
|
|
|
|
суммарной погрешности по логически связанным | ||||
|
отсчитывания |
|
|
|
|
группам. |
|
|
| |
|
от параллакса |
|
|
|
|
Знаком "+" отметить составляющие погрешности, | ||||
|
интерполяции |
|
|
|
|
влияющие на точность результата при измерении | ||||
|
от перекоса |
|
|
|
|
соответствующим с.и. |
|
| ||
|
внешняя |
|
|
|
|
Знаком "-" отметить составляющие погрешности, | ||||
|
метода измерения |
|
|
|
|
не характерные для данного с.и. |
| |||
|
систематическая |
|
|
|
|
Обосновать выбор. |
|
| ||
|
случайная |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
грубая |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Вывод: |
В ходе работы определили составляющие суммарной погрешности |
|
|
| |||||
|
|
для предлагаемых средств измерений. |
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Контрольные вопросы: |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1. |
Какие классификационные группы и признаки средств измерений вы знаете ? |
|
|
|
| |||||
2. |
Укажите основные метрологические характеристики и дайте их определения. |
|
|
|
| |||||
3. |
Перечислите составные части рассматриваемых в работе средств измерений. |
|
|
|
| |||||
4. |
Какие общие группы погрешностей вы знаете ? |
|
|
|
|
|
| |||
5. |
Дайте определения для перечисленных в таблице 3 составляющих суммарной погрешности. |
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
|
|
|
|
|
| ||||
Значения при различных числах измерения n |
|
|
|
|
Таблица 1 | ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
q=1- |
|
|
n |
|
q=1- |
|
|
|
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
|
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
3 |
1,406 |
1,412 |
1,414 |
1,414 |
14 |
2,297 |
2,461 |
2,602 |
2,759 |
4 |
1,645 |
1,689 |
1,710 |
1,723 |
15 |
2,326 |
2,493 |
2,638 |
2,808 |
5 |
1,731 |
1,869 |
1,917 |
1,955 |
16 |
2,354 |
2,523 |
2,670 |
2,837 |
6 |
1,894 |
1,996 |
2,067 |
2,130 |
17 |
2,380 |
2,551 |
2,701 |
2,871 |
7 |
1,974 |
2,093 |
2,182 |
2,265 |
18 |
2,404 |
2,557 |
2,728 |
2,903 |
8 |
2,041 |
2,172 |
2,273 |
2,374 |
19 |
2,426 |
2,600 |
2,754 |
2,932 |
9 |
2,097 |
2,237 |
2,349 |
2,464 |
20 |
2,447 |
2,623 |
2,778 |
2,959 |
10 |
2,146 |
2,294 |
2,414 |
2,540 |
21 |
2,467 |
2,644 |
2,801 |
2,984 |
11 |
2,190 |
2,383 |
2,470 |
2,606 |
22 |
2,486 |
2,664 |
2,823 |
3,008 |
12 |
2,229 |
2,387 |
2,519 |
2,663 |
23 |
2,504 |
2,683 |
2,843 |
3,030 |
13 |
2,264 |
2,426 |
2,562 |
2,714 |
24 |
2,520 |
2,701 |
2,862 |
3,051 |
|
|
|
|
|
25 |
2,537 |
2,717 |
2,880 |
3,071 |