Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков)

ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА «ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ НА 1997—2000 ГОДЫ»

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Б. Р. Андриевский, A. JI. Фрадков

Элементы математического моделирования

в программных средах MATLAB 5 и Scilab

в

Санкт-Петербург «Наука»

2001

УДК 681.51 ББК 22.1

А 65

Серия «АНАЛИЗ И СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ» выпускается под общей редакцией Г. А. Леонова и А. Л. Фрадкова

Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. — СПб.: Наука, 2001. — 286 е., 50 ил.

ISBN 5-02-024952-1

В книге сжато изложены основные подходы и методы математического моделирования. Описаны методы построения и преобразования дискретных и непрерывных моделей, заданных передаточными функциями и уравнениями состояния с различным описанием неопределенности — стохастическим, нечетким, хаотическим. Затрагиваются вопросы оценивания параметров (идентификации) и оптимизации моделей. Особенностью книги является иллюстрация большинства подходов и методов примерами использования программных пакетов MATLAB и Scilab. Уделяется внимание приемам программирования, повышающим наглядность визуального представления результатов вычислений.

Книга предназначена для студентов, преподавателей и научно-технических работников, интересующихся математическим моделированием.

Andrievsky В. R., Fradkov A. L. Elements of mathematical modeling in software environments MATLAB 5 and Scilab. — St. Petersburg: Nauka, 2001. — 286 p.

Brief exposition of basic concepts and methods of mathematical modeling is given. Model building and model transformation methods for discrete and continuous state space and transfer function models with different uncertainty description: stochastic, fuzzy or chaotic are described. Model parameters identification and optimization are addressed. Unique feature of the book is that most concepts and methods are illustrated by examples implemented in MATLAB or Scilab software environments. Brief description of MATLAB 5 and Scilab 2 tools and toolboxes is presented. The book is useful for all interested in mathematical modeling and computer-aided design.

Рецензенты: д-р техн. наук В. М. Иванов, д-р техн. наук А. В. Тимофеев

1.2.Математическое моделирование и теория си-

1.3.Математическое моделирование и системный

2.1.4.Построение трехмерных изображений . . . 38

2.2.Примеры использования системы MATLAB для

численного решения задач исследования систем 39

2.2.1.Применение тулбокса символьных вычи-

3.1.1.Статические и динамические модели . . . 54

3.1.2.Дискретные и непрерывные модели . . . . 55

3.2.3.Исследование экологической системы . . 72

3

3.3.3, Дискретизация и континуализация . . . . 79

3.4.Примеры преобразования моделей в среде MAT-

3.5.Детерминированные и стохастические модели . 94

3.6.Пример статистической обработки данных про-

3.7.1.Нечеткие множества и лингвистические

3.7.3.Задачи группировки и упорядочения . . . 112

3.8.2.Определение хаотической системы . . . . 125

3.8.4.Зачем нужны хаотические модели? . . . . 132

4.1.1.Линейно-параметризованные модели . . . 146

4.1.2.Преобразование статических моделей . . 147

4.1.3.Преобразование динамических моделей . 150

4.2.Регрессионный анализ и метод наименьших ква-

4.3.Адаптивные модели и рекуррентные методы . . 159

5.1.1.Задача параметрической оптимизации и

4

5.2.2.Подходы к решению задач структурного

5.3.Методы и алгоритмы структурного синтеза . . . 181

6.2.Управление синхронизацией систем на основе

6.2.1.Общая постановка задачи и схема решения190

6.2.2.Передача сообщений на основе синхронизации с использованием систем Чуа . . . . 193

6.2.3.Результаты вычислительных эксперимен-

5

В будущем цифры рассеют мрак. Цифры не умира.

Только меняют порядок, как телефонные номера.

Сонм их, вечным пером привит к речи, расширит рот, удлинит собой алфавит; либо наоборот.

Иосиф Бродский

П Р Е Д И С Л О В И Е

Математическое моделирование - это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей. Математическим моделированием занимался, в сущности, каждый, кто применял математику на практике - от великих ученых древности до школьников, решающих задачи "на составление уравнений". Однако в самостоятельную научную дисциплину математическое моделирование оформилось лишь в последние несколько десятилетий в связи с широким применением компьютеров. Математическое моделирование тесно связано с прикладной математикой и с общей теорией систем, но не совпадает с ними, поскольку теория систем, как и другие разделы математики, имеет дело лишь с математическими объектами. Предмет математического моделирования шире и включает, кроме исследования математических объектов, формализацию постановки практической задачи и интерпретацию полученных формальных результатов. Иными словами, началом и концом процесса математического моделирования является окружающая действительность, практика.

Центральным понятием математического моделирования является математическая модель (ММ) - совокупность математических объектов и отношений, которые отображают объекты и отношения, существующие в некоторой области реального мира (предметной области). Выделяют три этапа математического моделирования:

-построение ММ (формализация задачи);

-исследование ММ (анализ модели);

-использование ММ (синтез решения).

Вданной книге рассматриваются в основном первые два этапа.

7

Этап формализации тесно связан с научно-инженерной дисциплиной, именуемой системным анализом [76].

На этапе анализа решаются так называемые прямые задачи, т.е. по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Лля этапа синтеза характерны обратные задачи, а именно определение входов системы по заданным (желаемым) значениям ее выходов. Использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования, исследования, проектирования, управления.

Весь опыт человечества показывает, что одни и те же математические модели и методы могут одинаково применяться в различных областях и для различных целей. Это обстоятельство определяет внутреннее единство математического моделирования и его место в системе подготовки специалистов (об этом см. также [13, 17, 18, 67, 94, 107]). Изучение математического моделирования должно идти вслед за изучением основных теоретических курсов и компьютерных технологий, но предшествовать выполнению основных курсовых и дипломных проектов.

в задачах управления синтез решения (выбор управляющего воздействия) осуществляется в процессе работы системы на основе текущей информации о ее поведении (так.называемый совмещенный, или управляемый, синтез). Управляемый синтез решения требует больше текущей, но меньше априорной информации, предоставляя новые возможности исследователю, проектировщику или конструктору системы.

Значительная часть книги является переработкой учебных пособий [74, 107] и посвящена вопросам построения математической модели, выбора ее структуры и параметров. Почти не затрагиваются вопросы анализа дискретных моделей, с которыми можно познакомиться, например, по книгам [26, 94, 77, 89, 88], а также вопросы синтеза решения, которым посвящена обширная литература по методам оптимизации и принятия решений (см.например, [9, 22, 48, 72, 76, 80, 92, 95, 98]).

На рубеже XXI в. применение математического моделирования и изучение его приемов уже немыслимы без компьюте-

8

ров и программного обеспечения, как специализированного, так и универсального. Поэтому целесообразно не разделять математическое моделирование и его программную поддержку, а говорить о математическом моделировании в той или иной программной среде, предоставляющей набор функциональных (расчетных) и сервисных возможностей и допускающей расширение с учетом специфики решаемых задач. В книге описывается одна из наиболее популярных программных сред MATLAB7*, разработанная фирмой "The MathWorks, Inc." (www.mathworks.com) и ставшая фактически международным стандартом учебного программного обеспечения в областях линейной алгебры, теории систем, теории управления, обработки сигналов и ряда других. Приводятся примеры решения задач в среде MATLAB 5я . Приводятся также примеры, показывающие опасность бездумного, поверхностного подхода к применению численных методов и пакетов программ, и возникающие при этом ошибки.

Читателя может заинтересовать похожая на MATLAB, но в отличие от нее свободно распространяемая система Scilab71, разработанная во Франции в институте INRIA (www-rocq. inria.fr/scilab, [128]). Краткие сведения о системе Scilab72 приведены в Приложении А.

Ограниченность объема книги диктует обзорный стиль изложения. В то же время важной ее частью являются примеры: ведь овладеть математическим моделированием - это значит научиться решать задачи, а чтобы научиться решать задачи, надо решать их. Материал книги основан на лекциях и практических занятиях, проводившихся авторами в течение ряда лет со студентами, аспирантами и слушателями ФПК преподавателей по информатике Балтийского государственного технического университета.

Замеченные опечатки и дополнительный материал по теме книги будут помещаться в Интернет на странице лаборатории "Управление сложными системами" ИПМАШ РАН

(www.ipme.ru/ipme/labs/ccs/ccs.html). Там можно найти и другие полезные сведения о публикациях, конференциях, программных продуктах, а также ссылки на другие источники информации по теории автоматического управления и смежным вопросам. В частности, рекомендуем посетить РУСИКОН - Российский архив по системам и управлению

9