- •Безверхняя и. С.
- •§2. Линейные операции над векторами
- •§3. Линейная зависимость векторов
- •§4. Координаты вектора
- •§5. Скалярное произведение векторов
- •§6. Направляющие косинусы вектора
- •§7. Векторное произведение векторов.
- •§8. Смешанное произведение векторов.
- •Раздел 2. Метод координат на плоскости
- •§1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§3. Декартова прямоугольная система координат
- •§ 4. Ориентация плоскости
- •§5. Полярные координаты
- •§6. Алгебраическая линия
- •§7. Прямая линия на плоскости
- •7.1.Различные уравнения прямой
- •7.3. Взаимное расположение двух прямых
- •7.4. Прямая в декартовой прямоугольной системе координат
- •§8. Формулы преобразования координат
- •§ 9. Линии 2-го порядка
- •9.1. Эллипс
- •9.2. Гипербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Кривые 2-го порядка как конические сечения
- •§10. Общее уравнение линии 2-го порядка
- •Часть 1. Преобразуем систему координат поворотом на угол вокруг начала.
- •Часть 2. Исследуем уравнение (17):
- •Раздел 3. Система координат в пространстве
- •§1. Плоскость
- •§2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§3.Плоскость в дпск. Основные задачи.
- •§4. Прямая в пространстве.
- •§5. Поверхности 2-го порядка
- •5.1. Понятие поверхности 2-го порядка
- •5.2. Цилиндрические поверхности.
- •5.3. Конические поверхности
- •5.4. Эллипсоид
- •5.5 Однополостный гиперболоид
- •5.6. Двуполостный гиперболоид
- •5.7. Эллиптический параболоид
- •5.8. Гиперболический параболоид
- •Вариант индивидуального задания.
- •Литература
§7. Прямая линия на плоскости
7.1.Различные уравнения прямой
Будем рассматривать прямую в некоторой аффинной системе координат.
7.1.1.Каноническое уравнение прямой
Опр. Ненулевой вектор, параллельный прямой,
называется направляющим вектором прямой.
Зададим прямую на плоскости точкой и направляющим вектором
Возьмем на прямой произвольную точкуЭто каноническое уравнение прямой.
7.1.2.Параметрические уравнения
Параметрические уравнения.
7.1.3. Уравнение прямой через две точки.
7.1.4. Уравнение прямой в отрезках
Точки пересечения прямой с осями координат
Какую прямую нельзя задать уравнением в отрезках?
7.1.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Опр. Назовем отношение -угловым коэффициентом прямой
Можно доказать, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой и в дпск он равен тангенсу угла наклона прямой к оси
7.1.6. Общее уравнение прямой
Преобразуем каноническое уравнение прямой:
Ax+By+C=0. (11)
Итак, всякая прямая на плоскости определяется уравнением 1 степени относительно переменных
Направляющий вектор
Обратно: всякое уравнение (11), где определяет на плоскости прямую, параллельную вектору
Следовательно, справедлива
Теорема 9. Всякое уравнение 1 степени с двумя переменными определяет на плоскости прямую и только прямую.
Иначе: всякая алгебраическая линия 1 порядка есть прямая линия.
7.1.7. Неполные уравнения прямой. Построение прямой.
Уравнение прямой все коэффициенты которого отличны от 0, называется полным. Если же какие-то коэффициенты в нем равны 0, имеем неполное уравнение. Для построения прямой по уравнению достаточно знать две её точки или точку и направляющий вектор
Пусть Имеем полное уравнениеПриведем его к уравнению в отрезках:
Пример.
2) прямая проходит через начало координат.
Пример.
3)
Пример.
4)
5)
6)
Задача. Найдите направляющие векторы и постройте в аффинной системе координат прямые:
7.2. Геометрический смысл знака трехчлена
Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек, принадлежащих прямой, обращают уравнение в тождество. Можно доказать, что для координат точек из одной полуплоскости (той, куда направлен вектор) выполняется неравенстводля координат точек другой полуплоскостиВ этом состоит геометрический смысл знака трехчлена
Задача. Пересекает ли прямая отрезок с концами
7.3. Взаимное расположение двух прямых
7.3.1. Выясним, при каких условиях два уравнения
определяют одну и ту же прямую?
Теорема 10. Для того, чтобы уравнения (1) и (2) определяли одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны.
∆ Пусть (1) и (2) определяют одну и ту же прямую.
Необходимость Направляющие векторы этих прямых:
и коллинеарны, следовательно,
Возьмем на прямой точку , подставим её координаты в уравнения (1) и (2) и вычтем, умножив (1) на
√
ДостаточностьЕсли коэффициенты уравнений (1) и (2) пропорциональны, то (2) можно записать так:
Но уравнениям (2) и (3) удовлетворяют координаты одних и тех же точек, следовательно, они определяют одну и ту же прямую. ▲
7.3.2. Выясним взаимное расположение двух прямых, заданных в некоторой аффинной системе координат уравнениями (1) и (2).Возможны два случая.
1.В этом случае прямые пересекаются, и для нахождения их точки пересечения надо решить систему уравнений (1),(2).
2.или
При При
Вывод. 1)
2)
3)
Задача. Через точку провести прямую, параллельную прямой
Решить двумя способами.