Задание 7.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя обе части, получим

Ответ:

Задача 8.

Группа студентов в течении недели осуществляет дежурство на 8 различных объектах. Сколькими способами можно составить расписание дежурств в субботу, если в этот день недели должно осуществляться дежурство только на 3 любых объектах?

Решение. Количество вариантов дежурств на объектах в субботу равно числу размещений из восьми элементов по три элемента. Находим = 8_*(8–1)_*(8–2) = 8_*7_*6 =336.

Ответ: Можно составить 336 различных вариантов дежурств на субботу на объектах.

Задача 9.

В полученной партии из 20 коробок лекарственных средств 5 коробок содержат брак. Для быстрого выяснения наличия брака в партии случайным образом вскрывают и обследуют 2 коробки. а) Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна браком. б) Найти вероятность этого же события, если обследовать 6 коробок.

Решение. Обозначим через А_i событие, состоящее в том, что i-ая извлеченная коробка окажется с браком; через А – хотя бы одна из коробок содержит брак. Тогда – ни одна из коробок не содержит брак.

а) Чтобы наступило событие необходимо, чтоб наступили одновременно события,, т.е.=. Тогда по теореме умножения вероятностей [P(AB)=P(A)P(B|A)] получим

P()=P()=P()P(|)==0,553,

где– вероятность того, что в первой коробке не будет брака;– того, что во второй тоже не будет брака при условии, что в первой его не было. Итак

P(А)=1-P()=1–0,553=0,447,

т.е. при таком способе проверки мы обнаружим брак в 45% случаев.

б) Чтобы наступило событие необходимо, чтоб наступили одновременно события,,...,т.е.=.... Тогда по теореме умножения вероятностей [P(AB)=P(A)P(B|A)] получим

P()=P(...)=P()P(|)...P(|...)= ==0,129.

Итак , P(А)=1-P()=1–0,129=0,871,

т.е. при таком способе проверки мы обнаружим брак в 87% случаев.

Ответ: а) 0,447; б) 0,871.

Задача 10.

На следующий год в местности Х прогнозируют две вспышки гриппа. Причем в весенней вспышке заболевают 5%, а в осенне-зимней – 10% людей данной возрастной группы. Считая, что эти вспышки вызываются различными возбудителями (т.е. заболевания в эти периоды независимы) оценить вероятность того, что случайно взятый человек в следующем году переболеет гриппом хотя бы 1 раз.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно взятый человек заболеет гриппом весной, через В –осенью, через С – переболеет гриппом хотя бы 1 раз. Тогда С=А+В. По теореме [P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)] о вероятности суммы двух событий и по теореме [P(AB)= P(A)P(B)] о вероятности произведения двух независимых событий получим:

P(С)=P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A)P(B)=

=0,05+0,10-0,050,10=0,145,

т.е. 14,5% людей переболеют в этом году гриппом хотя бы 1 раз.

Ответ: 0,145.

Задача 11.

Молодожёны планируют, что у них будет 3 дочки и 2 сына. Считая, что у них действительно будет 5 детей найти шанс осуществления их желания, если вероятность рождения девочки 49%.

Решение.

Обозначим через А событие (успех), состоящее в том, что при данной беременности родится девочка. Тогда супружеская пара проводит 5 независимых «испытаний». Нас интересует событие, состоящее в наступлении ровно трёх успехов, и двух неуспехов. Воспользуемся формулой Бернулли наступления ровно m успехов в серии из n испытаний:

,

где p вероятность успеха в одном испытании. Итак, вероятность искомого события:

=0,30601

Ответ:вероятность этого события 30%.