§ 5 Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной.
Совершенно иной характер приобретает зависимость от параметра решений обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, если малый параметр входит в уравнение множителем при старшей производной. Такие уравнения, называемые обычно сингулярно возмущенными уравнениями (объяснение термина см. ниже), возникают во многих разделах естествознания: в электро- и радиотехнике, механике, гидро- и аэродинамике и т. д. Например, колебания маятника малой массы ε описывает дифференциальное уравнение:
εx′′ + ax′ + b·sin x = 0.
Мы рассмотрим сначала простейший класс уравнений с малым параметром при старшей производной, а именно, уравнения вида:
εx′ = f(x), (1)
в котором f: R →R — непрерывно дифференцируемая функция, а ε — малый положительный параметр. Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши, определяемую начальным условием:
x(0) = . (2)
Нас интересует поведение решений задачи (1) – (2) при ε → 0. Правая часть уравнения (1) в нормальной форме, т. е. уравнения x′ =f(x) принципиально не может непрерывно зависеть от параметра ε. Поэтому такие уравнения и называют сингулярно-возмущенными в отличие от регулярно возмущенных уравнений, правая часть которых непрерывна по параметру.
Уравнение (1) при ε = 0 понижает порядок — становится в нашей ситуации дифференциальным уравнением нулевого порядка (т. е. функциональным):
f(x) = 0. (3)
Поэтому, в частности, решение уравнения (3) (имеется в виду решение обыкновенного дифференциального уравнения нулевого порядка, т. е. функция независимого аргумента t) не может удовлетворять произвольному начальному условию (2). Уравнение (3) (рассматриваемое как алгебраическое) в общем случае имеет конечное (возможно нулевое) число решений. Наша задача — выяснить можно ли, исходя из наличия информации о решениях уравнения (3), получить информацию о поведении решений задачи (1) – (2) при ε → 0.
Рассмотрим для прояснения ситуации случай, когда уравнение (3) имеет, например, три корня (см. рис. 1). Поле направлений уравнения (1), т. е. уравнения x′ =f(x), при достаточно малых ε > 0 устроено, как легко видеть, так: вне малых окрестностей нулей функции f оно почти вертикально, причем в полосе {(t, x): < x < } оно направлено "к прямой x = " (см. рис. 2а). Интегральные кривые уравнения (1) изображены на рис. 2б).
На этом рисунке видно, что к решениям x(t) ≡ и x(t) ≡ уравнения (3) не стремятся при ε → 0 никакие решения задачи (1) – (2) (за исключением, разумеется, самих этих решений). В то же время, к решению x(t) ≡ уравнения (3) стремятся при ε → 0 решения задачи (1) – (2), отвечающие начальному значению , лежащему в интервале (,). Решение x(t) ≡ называется устойчивым решением вырожденного (функционального) уравнения (3) (или говорят об устойчивом корне алгебраического уравнения (3)).
Оно характеризуется условием f′() < 0. Интервал (,), границами которого являются ближайшие к устойчивому корню корни уравнения (3), называется областью притяжения (или влияния) устойчивого решения уравнения (3).
Рис. 1.
Рис. 2.
Теорема о сингулярно возмущенном уравнении.
Пусть x(t) ≡ φ — устойчивое решение уравнения (3), а лежит в области притяжения корня φ. Тогда:
|(t) – φ| → 0 при всех t > 0; (4)
Здесь — решение задачи (1) – (2).
Задача 1. Выписав явный вид решения, докажите утверждение теоремы для уравнения:
εx′ = – 1.
Теорема о сингулярно возмущенном уравнении доказывается достаточно просто. Поскольку вне δ-окрестностей нулей функции f (δ — сколь угодно малое положительное число) |f(x)| ≥ M(δ) > 0, вне этих окрестностей фазовая скорость имеет порядок . Поэтому за время порядка ε фазовая точка попадает в δ-окрестность устойчивого решения φ уравнения (3). Легко показывается, что, попав в , фазовая точка уже ее (окрестность ) не покинет. Утверждение теоремы следует теперь из произвольности δ.
Задача 2. Докажите, что при любых Т > τ > 0 предельное соотношение (4) является равномерным по t ∈ [τ, T].
Уравнения второго и более высокого порядков с малым параметром при старшей производной, как легко видеть, приводятся к системам вида:
εx′ = f(t, x, y), y′ = g(t, x, y),
обычно называемым системами уравнений с малым параметром при части производных или сингулярно возмущенными системами; первое уравнение при этом называют уравнение быстрых движений, а второе — уравнением медленных движений. Мы рассмотрим геометрически более наглядный автономный случай, т. е. систему:
εx′ = f(x, y), (5)
y′ = g(x, y), (6)
предполагая, что f, g: → R — непрерывно дифференцируемые функции с равномерно ограниченными частными производными. Это гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для системы (5) – (6), задаваемой начальными условиями:
x(0) = , y(0) = . (7)
При ε = 0 порядок системы (5) – (6) по x понижается на единицу:
0 = f(x, y), (8)
y′ = g(x, y), (9)
(эту систему в теории сингулярно возмущенных уравнений называют обычно вырожденной). Систему (8) – (9) можно трактовать как одно дифференциальное уравнение на многообразии Γ решений уравнения F(x, y) = 0.
Потеря порядка приводит к необходимости отказа от одного из начальных условий. Поэтому для вырожденной системы рассматривается обычно задача Коши, выделяемая условиями:
y(0) = . (10)
Векторное поле (f(x, y), g(x, y)) системы (5) – (6) устроено так (см. рис. 3а). Вне малой окрестности многообразия Γ решений уравнения (8) (изображенного на рис. 3а жирной линией), в которой |f(x, y)| << ε, векторы поля почти горизонтальны. На самом же Γ векторы поля вертикальны. Анализ поля направлений показывает, что при малых ε в начальный момент времени фазовая точка системы (5) – (6) очень быстро (подчиняясь, по существу, только уравнению быстрых движений (5))попадает в окрестность той устойчивой кривой многообразия Γ, в области влияния которой находятся начальные данные (, ). Здесь пока неясно, что означают выделенные курсивом слова; мы определим их чуть позже. Затем фазовая точка движется вдоль устойчивого участка этой кривой (см. рис. 3б). Устойчивый участок многообразия Γ выделяется условием (x, y)< 0 (ср. с условием f ′(x) < 0 в предыдущей теореме). Область же влияния устойчивого участка многообразия Γ — это область влияния корня (см. рис. 3б) уравнения f(x, y) = 0 в описанном выше смысле.
Рис. 3.
После попадания фазовой точки системы (5) – (6) в малую окрестность многообразия Γ она движется приблизительно как фазовая точка вырожденной системы (8) – (9). Движение последней описывается следующим образом. Обозначим через h(y) именно то решение уравнения f(x, y) = 0, которое отвечает выбранному выше участку многообразия Γ. Другими словами, выразим из уравнения (8) x через y, причем из возможно нескольких решений этого уравнения выберем одно (именно его мы и обозначили через h(y)) так, чтобы точка (h(y), y) лежала на устойчивом участке многообразия Γ, в области притяжения которого находится точка (, ). Подставляя x = h(y) в уравнение (5), получим уравнение:
y′ = g[h(y), y], (11)
описывающее изменение координаты y решения системы (8) – (9).
Пусть ψ(t) — определенное на [0, T] решение задачи (11), (10), а
φ(t) = h[ψ(t)]. Предположим, что точка (φ(t), ψ(t)) лежит на устойчивом участке многообразия Γ, т. е. [φ(t), ψ(t)] < 0 при всех
t ∈ [0, T]. Тогда оказывается (φ(t), ψ(t)) есть как раз то решение задачи Коши (8) – (10), к которому стремятся при ε → 0 решения сингулярно возмущенной задачи Коши (5) – (7). Это фундаментальное утверждение теории сингулярно возмущенных уравнений более точно формулируется так.
Теорема А.Н. Тихонова. Пусть ( (t), (t)) — определенное на [0, T] решение задачи Коши (5) – (7). Тогда:
| (t) – φ(t)| → 0 при ε → 0 для всех t ∈ (0, T],
| (t) – ψ(t)| → 0 при ε → 0 для всех t ∈ [0, T].
Она представляет собой обобщение первой теоремы данного очерка, если считать, что уравнение (1) записано в виде сингулярно возмущенной системы εx′ = f(x), t′ = 1.
Теорема Тихонова перестает работать, в частности, в окрестности границы области определения непрерывной устойчивой ветви h(y) решений уравнения (8) (точка A на рис. 4). Здесь медленное движение фазовой точки опять может смениться быстрым (участок AB) и она (фазовая точка) с почти бесконечной скоростью перемещается в окрестность другой устойчивой ветви решений вырожденного уравнения (8) или уходит в бесконечность, если таковой нет. Точка A называется точкой срыва, а точка B — точкой падения. Участок быстрого изменения решения между точкой срыва и точкой падения обычно называют внутренним слоем. Явление срыва решения, по существу, представляет собой бифуркацию состояния равновесия системы (8) – (9), если считать в ней y медленно меняющимся параметром.
Рис. 4.
Особенно интересен случай, когда Γ имеет вид кубической параболы (см. рис. 5а). Похожее поле скоростей имеет, например, уравнение Ван дер Поля:
Рис. 5.
Можно доказать, что траектории соответствующей сингулярно возмущенной системы ведут себя так (см. рис. 5б). Начиная с произвольной точки (, ), фазовая точка быстро входит в окрестность устойчивой ветви многообразия Γ (скажем, для определенности, CD). Затем, медленно двигаясь вдоль этой ветви, она попадает в окрестность точки срыва D. Далее, подчиняясь уравнению быстрых движений, быстро переходит в окрестность точки падения A, затем — медленно — в окрестность точки срыва B и т. д., "наматываясь" на некоторый предельный цикл (см. рис. 5б).
Доказать это утверждение можно, например так. Определим на некотором отрезке MN трансверсальном к кривой AB (см. рис. 5б) отображение последования. Показать, что при достаточно малых ε оно отображает этот отрезок в себя (последнее доказывается достаточно сложно — нужно провести аккуратные оценки решения). Поскольку отображение последования непрерывно, оно имеет неподвижную точку, которая и порождает данный предельный цикл.
Периодическое решение, отвечающее вышеописанному предельному циклу, характеризуется чередованием участков быстрого и медленного его изменения (см. рис. 6). Автоколебания такого типа называются релаксационными колебаниями. Они широко распространены (особенно в радиотехнике).
Рис. 6.
В заключение отметим, что при исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений весьма эффективными оказываются асимптотические методы.
Используемая литература:
А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний. Наука, М., 1981.
В.И. Зубов. Теория колебаний. Высшая школа, М., 1979.
М.А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Гостехиздат, М., 1956.
Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во иностр. лит., М., 1958.
В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. Гостехтеориздат, М.-Л., 1949.
В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. Гостехтеориздат, М.-Л., 1949.
Дж. Хейл. Колебания в нелинейных системах. Изд-во иностр. лит., М., 1966.
В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука, М., 1984.
Ю.Н. Бибиков. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во ЛГУ, Л., 1981.
И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во МГУ, М., 1984.
Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. Наука, М., 1974.
А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. Наука, М., 1967.
Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Мир, М., 1980.
Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. Новые методы нелинейной механики. Гостехтеориздат, М.-Л., 1934.
Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Наука, М., 1974.
Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова. Интегральные многообразия в нелинейной механике. Наука, М., 1973.
А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. Сингулярные возмущения в критических случаях. Изд-во МГУ, М., 1978.
Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной. Наука, М., 1975.