58

Содержание:

§1 Периодические решения…………………………………………...................4

Задача Коши………………………………………………………………..….4

Линейная задача о периодических решения……………..………….…7

Теорема о разрешимости линейной задаче, о периодических

решениях……………………………………………………………….…….8

Теорема о разрешимости нелинейной задаче, о периодических

решениях…….……………………………………………………….…….12

§2 Динамические системы…………………………………………………..…..14

Теорема о типах траекторий автономных систем………………….…17

Теорема о структуре ω- предельных множеств…………..……….….18

Теорема об орбитальности предельных множеств ω- и α-………..22

Теорема об орбитальной асимптотической устойчивости……..……26

Теория Флоке………………………………………...………………………28

Теорема Андронова-Витта…………………………………………….…..29

§3 Бифуркация……………………………………………..…………………….31

Бифуркации рождения цикла или бифуркации

Пуанкаре-Андронова-Хонфа…………………………………………..….36

§4 Принцип усреднения…………………………………………………..……38

§5 Дифференциальные уравнения с малым параметром при

старшей производной……………………………………………………..…42

Теорема о регулярно возмущенном уравнении……………..………..45

Теорема А. Н. Тихонова……………………………………………………49

Уравнение Ван дер Поля………………………………………………….50

Список используемой литературы………………………………………………..53

§1 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Как мы знаем, множество решений L линейной m-мерной системы:

x′ = A(t)x + f(t) (1)

представляет собой m-мерное гиперпространство в линейном пространстве C определенных на всей оси непрерывных функций со значениями в . Поэтому для выделения единственного решения в общем положении можно взять пересечение множества решений с некоторым гиперпространством I коразмерности m, т. е. множеством уровня m-мерного функционала (системы m функционалов) на пространстве C. (В нелинейном случае общего положения множество решений — это m-параметрическое семейство и для выделения единственного решения (т. е. для выделения единственного набора параметров) нужно добавить еще m скалярных алгебраических уравнений).

Задача 1. Доказать, что codim I = m.

Последняя задача обычно называется периодической краевой задачей или задачей о периодических решениях. Это название объясняется тем, что в случае непрерывной T-периодической правой части уравнения (1) (т. е. если решение уравнения (1), удовлетворяющее условию F(x) = 0, т. е. условию:

является T-периодической функцией.

Задача 2. Доказать последнее утверждение (воспользуйтесь, в частности, единственностью решения задачи Коши для уравнения (1)).

В силу задачи 1 интуитивно ясно, что в общем положении задача о периодических решениях (линейного) уравнения (1) однозначно разрешима.

В общем случае задача о периодических решениях — это задача о нахождении T-периодического решения уравнения:

(2)

с T-периодической по t правой частью: f(t, x) ≡ f(t + T, x). Эта задача весьма важна в приложениях, поскольку периодические решения описывают периодические колебательные процессы в реальных системах. Особенно часто такие колебания возникают в механических и электрических устройствах. Поэтому теория периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений необычайно широка и очертить ее границы сколь-нибудь четко очень трудно.

Линейная задача о периодических решениях (т. е. задача о периодических решениях уравнения (1) с непрерывными T-периодическими функциями A(t) и f(t); последнее предполагается всюду ниже, поскольку периодические решения уравнений с непериодическими по t правыми частями существуют лишь в исключительных случаях) обладают всеми типичными свойствами линейных алгебраических уравнений: сумма решений однородной задачи есть также ее решение, сумма решений однородной и неоднородной задач есть решение неоднородной и т. д. Менее тривиальное и более важное утверждение содержит следующая

Теорема о разрешимости линейной задачи о периодических решениях. Уравнение (1) при любой T-периодической непрерывной функции f(t) имеет единственное T-периодическое решение в том и только том случае, если единственным T-периодическим решением соответствующей однородной задачи является нулевое решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ(t) — нормальная в нуле фундаментальная матрица однородного уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

(3)

Чтобы это решение было T-периодическим, как легко видеть, необходимо и достаточно, чтобы x(T) =, т. е.

.

(I — единичный оператор на). Если однородное уравнение имеет только нулевое T-периодическое решение, то матрица I – Φ(T) обратима. Тогда решение уравнения (1) начинающееся с

. (4)

является тем самым единственным T-периодическим решением. Обратное утверждение теоремы очевидно.

Задача 3. Восстановите детали доказательства, в частности, покажите, что I – Φ(T) обратима, если и только если у однородного уравнения нет ненулевых T-периодических решений.

Утверждение этой теоремы допускает простую и полезную операторную трактовку. Обозначим через пространства непрерывных и, соответственно, непрерывно дифференцируемых функций x: [0, T] →. Для любой функции x ∈ положим:

(Lx)(t) = x′(t) – A(t)x(t),

Задача 4. Проверьте, что L линейно действует из .

Фундаментальным (как и в общей теории краевых задач) является тот факт, что если оператор L обратим, то представим в виде:

т. е. решение периодической задачи для уравнения (1) (если оно существует и единственно) на [0, T] имеет вид:

Действительно, подставляя (4) в (3) после несложных преобразований получаем:

(t ∈ [0, T]),

где

Задача 5. Докажите, что выписанная выше функция Грина G(t, s) периодической краевой задачи обладает следующими свойствами:

1) ∂G(t, s)/∂t = A(t)G(t, s) + f(t) при всех t ≠ s;

2) G(t, s) непрерывна при t ≠ s;

3) G(t, s) – G(t, s) = I.

Представление (5) оператора оказывается полезным при исследовании нелинейных периодических краевых задач. Например, задача о T-периодических решениях нелинейного уравнения:

x′ = A(t)x + f(t, x) (6)

в случае, когда его линейная часть имеет вид:

x′ = A(t)x (7)

имеет только нулевое T-периодическое решение сводится к решению нелинейного интегрального уравнения:

(8)

Задача 6. Докажите, что решения уравнения (8), удовлетворяющие условию x(0) = x(T) и только они являются сужениями на отрезок [0, T]

T-периодических решений уравнения (6).

Последнее утверждение позволяет сводить задачу о периодических решениях уравнения (6) к задаче о неподвижных точках интегрального оператора, фигурирующего в правой части уравнения (8). А именно, пусть — банахово пространство определенных на [0, T] непрерывных функций со значениями в Rm периодических в том смысле, что x(0) = x(T). Норма в — это обычная норма пространства C. Определим в оператор f формулой:

(t ∈ [0, T]).

Задача 7. Докажите, что f действует из в и его неподвижные точки и только они являются сужениями на [0, T] T-периодических решений уравнения (6).

Таким образом, условия на A и f в уравнении (6), обеспечивающие наличие у F неподвижной точки являются одновременно и условиями существования периодических решений этого уравнения.

Теорема о разрешимости нелинейной задачи о периодических решениях.

Пусть:

1) A(t) и f(t, x) — непрерывные T-периодические по t функции;

2) однородное уравнение (7) имеет только нулевое T-периодическое решение;

3) функция f удовлетворяет при любом t условию Липшица по x с константой L, причем, K = TL < 1 (здесь G(t, s) — функция Грина периодической задачи для уравнения (1)).

Тогда уравнение (6) имеет единственное T-периодическое решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема будет доказана, если мы покажем, что в ее условиях f является сжимающим оператором в (тогда в силу принципа сжимающих отображений у него будет существовать единственная неподвижная точка). Последнее гарантирует следующая цепочка равенств и неравенств:

=

(по условию (3)теоремы K < 1).

В общем случае выписать функцию Грина, разумеется, невозможно, поэтому в условии 3 теоремы при исследовании конкретных уравнений обычно используют те или иные оценки.

В заключение этого краткого очерка еще раз подчеркнем, что теория периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений чрезвычайно обширна. В той или иной мере к ней можно отнести, в частности, очерки Динамические системы, Динамические системы на плоскости, Бифуркация, Вынужденные колебания линейных систем, Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной, Принцип усреднения, Теория возмущений, Топологические методы в теории дифференциальных уравнений и др.

Предоставим некоторые из них: