VM_pidr

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ТЕРНОПІЛЬСЬКА АКАДЕМІЯ НАРОДНОГО ГОСПОДАРСТВА

ВИЩА

МАТЕМАТИКА

ПІДРУЧНИК

За редакцією Шинкарика М.І.

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Тернопіль 2003

1

З усіх мов світу найкраща мова штучна, вельми стисла мова, мова математики ”

М. Лобачевський

Передмова

Даний підручник написаний колективом кафедри вищої математики Тернопільської академії народного господарства на основі багаторічного досвіду викладання вищої математики студентам економічних спеціальностей різних форм навчання.

В книзі викладені необхідні основи математичного апарату і приклади його використання в сучасній економічній науці: елементи лінійної алгебри, аналітична геометрія, математичний аналіз функцій однієї і багатьох змінних, теорія диференціальних і різницевих рівнянь, числових і степеневих рядів. Такий об’єм математичних знань і навичок актуальний для економістів і є фундаментальним для вивчення теорії імовірності і математичної статистики, економетрії, теорії оптимального управління, мікро- і макроекономіки. Велика кількість типових розв’язаних задач, в тому числі економічного характеру, в кожному розділі дає можливість краще засвоїти теоретичний матеріал. Автори багато уваги приділили розв’язуванню економічних задач, роз’ясненню і розумінню студентами основних економічних понять: еластичності попиту і пропозиції, середніх і маржинальних витрат, доходів і прибутків, швидкості зростання інвестованого капіталу і т. д..

Сучасна математика інтенсивно проникає у всі сфери діяльності людини, об’єктивно відображаючи універсальні закони оточуючого світу. Сьогодні інтелектуал, прагнучи мати доступ до світової науки, зробити особистий внесок в її розвиток, вдосконалити своє логічне і абстрактне мислення, творчо і розумно користуватись комп’ютерною технікою, навіть тоді, коли йдеться про пошук у галузі гуманітарних наук, повинен знати математичні дисципліни, володіти математичною культурою. Інколи математична культура ближча до науки, інколи до мистецтва; вона може бути і дотичною до них.

Економіка, як наука про об’єктивні причини функціонування і розвитку суспільства, характеризується різними кількісними співвідношеннями певних показників.

3

Сучасна економіка використовує широкий спектр математичних методів для знаходження аналітичних зв’язків між економічними процесами.

Математика – одна з найдревніших наук і розвивалася в атмосфері впливу геніїв світової науки: Декарта, Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Ньютона, Лейбніца, Ейлера, Лежандра, Лобачевського, Чебишева, Колмогорова і інших. Їх математичний доробок накреслив неписаний план для роботи кількох наступних поколінь математиків.

Імена українських вчених займають гідне місце в історії розвитку математики: М.В.Остроградський (1801–1861), В.Й. Левицький

(1872 – 1956), Г.Ф. Вороний (1868 – 1908), М.О. Зарицький (1889– 1961), М.А.Чайковський (1887–1970), М.П.Кравчук (1892–1942),

М.М.Боголюбов (1909–1992), В.М.Глушков (1923–1982) і інші. Кожний

зних був яскравою зіркою на небосхилі математичної науки. Багато праць українських вчених математиків стосувалися прикладних проблем, розв’язуванню конкретних задач фізики, механіки, економіки.

Серед названої плеяди українських математиків, науковців з світовим іменем, варто назвати випускника фізико – математичного факультету Харківського університету, відомого в майбутньому економіста М.І.Туган-Барановського, відомого економіста, математика Є.Є.Слуцького. Саме вони математичними методами розв’язували фундаментальні задачі економіки.

Вивчення математичних дисциплін і їх застосування в економічній науці дозволить майбутньому спеціалістові не тільки одержати необхідні базові навички в економіці, але й творчо переосмисливши їх, сформувати своє бачення професійної діяльності.

Математика у свідомості студентів, магістрів, аспірантів та й самих викладачів, управлінських працівників повинна бути не просто стрункою системою знань, що відірвана від життєвих завдань суспільства, а повноправним методом дослідження, нерозривно зв’язаним із проблемами управління технічними і економічними процесами, проблемами найефективнішого використання природних та економічних ресурсів, могутньою зброєю пізнання навколишнього світу.

ВУкраїні на вагу золота повинні цінуватися ті спеціалісти, які досконало оволоділи елементами прикладної математики і не є вузькими ремісниками, а творцями у своїй справі. Такому спеціалістові, поряд

зматематикою, потрібні й глибокі знання предметної галузі.

4

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

§1. Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків

Розв’язування багатьох економічних задач зводиться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі деяких методів розв’язування таких систем використовуються вирази, які називаються визначниками ( або детермінантами).

Розглянемо квадратну таблицю з n2 чисел, розміщених в n - горизонтальних і n -вертикальних рядах. За спеціальними правилами знаходиться число, яке називають визначником n -го порядку і позначають буквою " " грецького алфавіту:

Числа aij ( i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n ) - називають елементами

визначника. Перший індекс вказує номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких обидва індекси однакові (тобто елементи a11 ,a22 ,...,ann ) утворюють

головну діагональ визначника. Інша діагональ називається неголовною (допоміжною). Порядок визначника визначає кількість його рядків (або стовпців).

При обчисленні визначників n -го порядку одержуємо число, яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його елементів, взятих по одному з кожного з n рядків і кожного із n стовпців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша - протилежні.

Покажемо, як обчислюються визначники другого і третього порядків. Для уточнення поняття “визначник” розглянемо два лінійних рівняння з двома невідомими з буквеними коефіцієнтами:

a11 x1 + a12 x2 = b1 ,a21 x1 + a22 x2 = b2 .

Для розв’язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на

5

відповідні коефіцієнти, при яких виключається одне з невідомих:

В залежності від використаної пари множників ( по вертикалі) виключаємо або x1 або x2 і отримаємо такі рівняння:

( a11a22 − a12a21 )x1 = b1a22 − b2a12 ,

( a11a22 − a12a21 )x2 = b2a11 − b1a21 .

Звідси

розв’язку , або має нескінченну множину розв’язків. Коефіцієнти при невідомих утворюють вирази, які називаються визначниками.

Розглядаючи ці коефіцієнти, ми бачимо, що вони однакові при обох невідомих; складаються з двох добутків,кожний з яких включає два елементи.

Визначники другого порядку символічно позначаються так:

a11 a12 .

a21 a22

Визначником другого порядку називається число, яке дорів-

нює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей,

Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:

1 − 3 = 1 6 − ( −3 ) 7 = 6 + 21 = 27.

7 6

6

Визначником третього порядку називається число, яке зна-

ходиться за формулою

Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з такої схеми:

Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається правилом трикутників. Тут доданки із знаком “+” є добутками елементів, які стоять на головній діагоналі визначника a11 ,a22 ,a33 і

добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами паралельними головній діагоналі a12 ,a23 ,a31 і a13 ,a21 ,a32 . Із знаком

“-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагоналі a13 ,a22 ,a31 і добутки елементів вершин трикутників із основами,

паралельними цій діагоналі визначника: a12 ,a21 ,a33 і a11 ,a23 ,a32 .

Розв’язування. Користуючись правилом трикутників,

− ( −2 ) 1 ( −4 ) − ( −3 ) 2 3 = −48 + 30 + 0 − 0 − 8 + 18 = −8.

Правило трикутників легко запам’ятати, якщо дописати поряд з визначником перший, а потім другий його стовпці. Добутки елементів, які знаходяться на діагоналях, відмічених на схемі суціль-

7

ними лініями, беруться із знаком “+”, a добутки елементів, які знаходяться на діагоналях, позначених на схемі пунктиром, із знаком “-”. Алгебраїчна сума цих шести добутків і дає значення визначника

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 .

a31 a32 a33 a31 a32

Такий спосіб обчислення визначника третього порядку нази-

вається правилом Саррюса.

Обчислимо попередній визначник 3-го порядку за правилом Саррюса.

− 3 ( −3 ) 2 − ( −2 ) 1 ( −4 ) = −48 + 30 + 0 − 0 + 18 − 8 = −8.

При обчисленні визначників використовують їх властивості, які розглядаються в наступному параграфі.

Зауваження. Визначником першого порядку є число, яке дорівнює цьому елементу, тобто а11 = а11. Тому не слід плутати позначення визначника з модулем самого числа.

§ 2. Властивості визначників

Визначники довільного порядку мають ряд властивостей. Властивість 1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки

на стовпці, то величина визначника не зміниться:

Доведення. Для визначника другого порядку маємо:

Заміну у визначнику рядків на відповідні стовпці називають

транспонуванням визначника.

Приклад 1. Перевіримо справедливість властивості на

8

прикладі визначника третього порядку:

Поміняємо місцями рядки на стовпці:

Отже, величина визначника не змінюється при його транспонуванні, тобто його рядки і стовпці рівноправні.

Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то він змінить тільки знак, не змінюючи абсолютної величини.

Приклад 2. Поміняємо місцями перший і третій рядки визначника третього порядку із прикладу 1.

тобто має місце властивість 2.

9

Властивість 3. Якщо у визначнику всі елементи довільного рядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю:

Доведення. Доведення цієї властивості очевидне, оскільки при обчисленні визначника всі доданки містять нульові множники i -го рядка. Тому і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо у визначнику є два однакові рядки (або стовпці), то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Для доведення цієї властивості поміняємо місцями i -ий і k − ий рядки. З однієї сторони величина визначника не зміниться (оскільки однакові рядки) , а з другої – зміниться знак на протилежний (згідно з властивістю 2). Якщо позначити величину

4 5 5

оскільки він має два однакові стовпці.

Властивість 5. Якщо всі елементи довільного рядка (або стовпця) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника:

Доведення. Нехай всі елементиi -го рядка визначника мають спільний множник λ. Оскільки визначник дорівнює сумі добутків

10