Матан
.pdf
2 |
T |
1 |
|
1 |
|
|
S |
|
1 |
|
|
|
1 |
||
1) |
n=1³1 ¡ |
n |
; 1 + |
n |
´; |
2) |
n=1[2n; 2n + 1]; 3) |
B (R ; ½) : n
T5 (pn; pn3):
n=2
o
4)(x1; x2) j x1 < x21 + x2g \ f(x1; x2) j x21 > x1 ¡ 3 ;
5)f(x1; x2) j x21 · 2; x1 + x2 ¸ 3g;
|
nS |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
6) |
=1f(x1; x2) j j x1 j + j x2 j < 5 ¡ |
n |
g; |
|
7) |
3 |
+ (x2 ¡ n)2 · 4n2g: |
||
=1f(x1; x2) j (x1 ¡ n)2 |
||||
|
nT |
|
|
|
‡a-ïââï 5
Cªpi§ì éi«ì-i ¬-o¦¨-¨. Ce¯apa¡e«ì-i ¯pocâop¨
Ko-âpo«ì-i §a¯¨âa--ï
1.O§-açe--ï cªpi§ì éi«ì-o³Ä ¬-o¦¨-¨.
2.O§-açe--ï ce¯apa¡e«ì-o£o ¬eâp¨ç-o£o ¯pocâopã.
A 5
O1. |
Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ (R2; ½) : |
||||
|
1) Z £ Q; |
2) Q £ Q; |
3) Q £ (RnQ) ? |
||
O2. |
Hexa¨ý(Xk; ½k); k = 1; 2 { ce¯apa¡e«ì-i ¯pocâop¨, X = X1 £ |
||||
X2; |
|
|
|
|
|
½ = |
|
½12 + ½22 |
(¤¨¢. §a¤açã A1. |
O4). „o¢ec⨠ce¯apa¡e«ì-icâì |
|
¯ |
|
âopã (X; ½): |
|
||
|
poc p |
|
|
||
O3. |
„o¢ec⨠ce¯apa¡e«ì-icâì ¯pocâopã |
||||
|
|
|
|
X = f(x1; x2) j x12 + x22 = 1g |
|
|
|
|
|
21 |
|
§ ¢i¤câa--î ½; éo ¤opi¢-îõ ¤o¢¦¨-i ¬e-èo³Ä ¤ã£¨ ¬i¦ âoçªa¬¨ ªo«a X:
O4. 1) —¨ ¡ã¤e ¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢, éo po§£«ï¤aîâìcï -a
¢i¤pi§ªã [0; 1]; cªpi§ì éi«ì-oî ¢ ¡C([0; 1]); ½¢?
2) —¨ ¡ã¤e ¬-o¦¨-a ¢cix ¤¨äepe-æi¨ýo¢-¨x äã-ªæi¨ý-a [0; 1] cªpi§ì éi«ì-oî ¢ ¡C([0; 1]); ½¢?
C1. „o¢ecâ¨, éo ¬-o¦¨-a A cªpi§ì éi«ì-a ¢ (X; ½) âo¤i ¨ý«¨èe âo¤i, ªo«¨
8x 2 X 9 fxn : n ¸ 1g ½ A : xn ! x; n ! 1:
C2. „o¢ec⨠ce¯apa¡e«ì-icâì ¯pocâopã (R2; d) § ¬eâp¨ªoî d¡(x1; x2); (y1; y2)¢ = maxfj x1 ¡ y1 j; j x2 ¡ y2 jg;
¤e f(x1; x2); (y1; y2)g ½ R2:
C3. |
„o¢ec⨠ce¯apa¡e«ì-icâì ¯pocâopã C([0; 1]) § ¬eâp¨ªoî |
|||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
fx; yg ½ C([0; 1]): |
||||
d(x; y) = j x(t) ¡ y(t) j dt; |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
C4. |
Hexa¨ýX 6= ;; |
½ |
1; x 6= y; |
|
|
|
|
|
|
d(x; y) = |
f |
x; y |
g ½ |
X: |
|||
|
|
0; |
x = y; |
|
|
|||
¦p¨ 直x ã¬o¢ax ¯pocâip (X; d) ce¯apa¡e«ì-¨¨ý?
„1. Hexa¨ýPm([a; b]) { ¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ câe¯e-ï -e ¢¨ée m § ¤i¨ýc-¨¬¨ ªoeäiæiõ-âa¬¨, éo po§£«ï¤aîâìcï -a [a; b]: „«ï
|
m |
|
m |
x 2 [a; b] |
p(x) = |
|
ak xk; |
q(x) = bk yk; |
|
|
=0 |
|
k=0 |
|
¯oª«a¤e¬o |
kP |
|
P |
|
½(p; q) := Pm j ak ¡ bk j:
k=0
Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ ¡Pm([a; b]); ½¢ :
1)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ câe¯e-ï -e ¢¨ée m § æi«¨¬¨ ªoeäiæiõ-âa¬¨;
2)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ câe¯e-ï -e ¢¨ée m § paæio-a«ì-
22
-¨¬¨ ªoeäiæiõ-âa¬¨ ?
„2. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ ¡C([0; 1]); ½¢ :
1)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ ¯ap-o£o câe¯e-ï;
2)¬-o¦¨-a ¢cix äã-ªæi¨ýo¡¬e¦e-o³Ä ¢apiaæi³Ä;
3)¬-o¦¨-a ¢cix ªãcªo¢o-«i-i¨ý-¨x -e¯epep¢-¨x äã-ªæi¨ý?
„3. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ ¯pocâopi ¡C([a; b]); d¢ § ¬eâp¨ªoî
R |
|
b |
fx; yg ½ C([a; b]) : |
d(x; y) = j x(t) ¡ y(t) j dt; |
|
a |
|
1)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢, éo po§£«ï¤aîâìcï -a [a; b];
2)¬-o¦¨-a ¢cix ¤¢içi ¤¨äepe-æi¨ýo¢-¨x äã-ªæi¨ý-a [a; b];
3)fx 2 C([a; b]) j x(a) = 0g;
4)fx 2 C([a; b]) j x(a) = x(b)g ?
„4. „o¢ec⨠ce¯apa¡e«ì-icâì -acâã¯-¨x ¯pocâopi¢: 1) (l2; ½);
§ ¬eâp¨ªoî |
kP |
|
|
2) l1 = fx = (x1; x2; : : :) j xk 2 R; k ¸ 1; |
1 |
j xk j < +1g |
|
=1 |
|||
|
|
½(x; y) = P1 j xk ¡ yk j; ¤e fx = (x1; x2; : : :); y = (y1; y2; : : :)g ½ l1:
k=1
„5. „o¢ecâ¨, éo ¢ ce¯apa¡e«ì-o¬ã ¬eâp¨ç-o¬ã ¯pocâopi ¡ã¤ì-ïªa -e¯opo¦-ï ¢i¤ªp¨âa ¬-o¦¨-a õ o¡'õ¤-a--ï¬ -e ¡i«ìè ïª §«içe--o³Ä ci¬'³Ä ¢i¤ªp¨â¨x ªã«ì.
„6. „o¢ecâ¨, éo ¢ ce¯apa¡e«ì-o¬ã ¬eâp¨ç-o¬ã ¯pocâopi ¡ã¤ì- ïªa ci¬'ï -e¯opo¦-ix ¢i¤ªp¨â¨x ¬-o¦¨-, éo ¯o¯ap-o -e ¯epeâ¨-a- îâìcï, -e ¡i«ìè, ïª §«içe--a.
„7. Hexa¨ý(X; ½) { ce¯apa¡e«ì-¨¨ý¬eâp¨ç-¨¨ý¯pocâip, A ½ X; A =6 ;: „o¢ecâ¨, éo (A; ½) { ce¯apa¡e«ì-¨¨ý¬eâp¨ç-¨¨ý¯pocâip.
„8. „o¢ecâ¨, éo -acâã¯-i ¯pocâop¨ -ece¯apa¡e«ì-i:
23
1) l1 = fx = (x1; x2; : : :) j xk 2 R; k ¸ 1; sup jxkj < +1g
k¸1
§ ¬eâp¨ªoî
½(x; y) = sup j xk ¡ yk j; fx = (x1; x2; : : :); y = (y1; y2; : : :)g ½ l1:
k¸1
2) ¯pocâip äã-ªæi¨ýo¡¬e¦e-o³Ä ¢apiaæi³Ä BV ([a; b]) § ¬eâp¨ªoî
½(x; y) = j x(a) ¡ y(a) j + V (x ¡ y; [a; b]); fx; yg ½ BV ([a; b]);
¤e V (f; [a; b]) { ¢apiaæiï äã-ªæi³Ä f -a ¢i¤pi§ªã [a; b]:
B 5
O1. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ (R; ½) : |
´o |
? |
||||
1) Z; 2) Q; 3) RnQ; 4) |
ntg x j x 2 Q \ |
³¡ 2 ; |
2 |
|||
|
|
¼ |
|
¼ |
|
|
O2. „o¢ec⨠ce¯apa¡e«ì-icâì ¯pocâopã R2 § ¬eâp¨ªoî
d (x1; x2); (y1; y2) = j x1 ¡ y1 j + j x2 ¡ y2 j; f(x1; x2); (y1; y2)g ½ R2:
O3.¡ |
-¨ |
x |
¬- ¦¨- ª |
pi |
§ì é |
«ì- |
i |
¢ |
C([0; 1]) |
§ ¬ â |
¨ª î |
||||
Ÿªi § -acâ㯢 |
|
o |
c |
|
|
i |
|
|
e |
p o |
|||||
|
R |
¡ |
|
¢ |
2 dt´1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d(x; y) = ³01 |
|
x(t) ¡ y(t) |
; |
fx; yg ½ C([0; 1]) : |
|
|||||||||
1)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢, éo po§£«ï¤aîâìcï -a [0; 1];
2)¬-o¦¨-a ¢cix ¤¨äepe-æi¨ýo¢-¨x äã-ªæi¨ý-a [0; 1];
3)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ p; ¤«ï 直x p(0) = 0 ?
O4. „o¢ecâ¨, éo ¬-o¦¨-a A ½ X cªpi§ì éi«ì-a ¢ ¬eâp¨ç-o¬ã ¯pocâopi (X; ½) âo¤i ¨ý«¨èe âo¤i, ªo«¨ A ¬aõ -e¯opo¦-i¨ý¯epeâ¨- § ªo¦-oî ¢i¤ªp¨âoî ªã«eî ¢ (X; ½):
I1. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ (R; ½) : |
|||||
1) |
nn2 j m 2 Z; n 2 No; |
2) |
npn j m 2 Z; n 2 No; |
||
|
m |
|
m |
||
3) |
fln m ¡ ln n j fm; ng ½ Ng; |
4) |
fn ¢ sin r j n 2 Z; r 2 Qg; |
||
5) |
N; 6) frp |
2 |
j r 2 Qg; |
7) fn + cos r j n 2 Z; r 2 Qg ? |
|
I2. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ (R2; ½) :
1) f(n ¢ sin r1; n ¢ cos r2) j n 2 N; fr1; r2g ½ Q \ [0; 2¼]g;
24
2)f(r1 + r2; r1 ¡ r2) j fr1; r2g ½ Qg;
3)f(x1; x2) j x2 = rx1; r 2 Q; x1 2 Rg; n³ n m´ o
4); n j fm; ng ½ Znf0g ;m
5)f(m + sin r1; n + sin r2) j fm; ng ½ Z; fr1; r2g ½ Qg;
6)f(r1p2; r2p3) j fr1; r2g ½ Qg;
7)f(n ¢ cos r; n ¢ sin r) j n 2 N; r 2 Qg ?
I3. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬-o¦¨- cªpi§ì éi«ì-i ¢ ¡C([0; 1]); ½¢ :
1)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ § ippaæio-a«ì-¨¬¨ ªoeäiæiõ-âa¬¨;
2)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ -e¯ap-o£o câe¯e-ï;
3)¬-o¦¨-a ¬-o£oç«e-i¢ § ¢i«ì-¨¬ ç«e-o¬, éo ¤opi¢-îõ -ã«î;
4)¬-o¦¨-a ¢cix ¬-o£oç«e-i¢ ¢¨£«ï¤ã
p(x) = Pm akx2k; x 2 [0; 1];
k=0
¤e m 2 N [ f0g; fa0; : : : ; amg ½ R;
5) ¬-o¦¨-a ¢cix äã-ªæi¨ý¢¨£«ï¤ã
g(x) = Pm akekx; x 2 [0; 1];
k=0
¤e m 2 N [ f0g; fa0; : : : ; amg ½ R ?
25
‡a-ïââï 6
”ã-¤a¬e-âa«ì-i ¯oc«i¤o¢-ocâi. ¦o¢-i ¬eâp¨ç-i ¯pocâop¨
Ko-âpo«ì-i §a¯¨âa--ï
1.O§-açe--ï äã-¤a¬e-âa«ì-o³Ä ¯oc«i¤o¢-ocâi ¢ ¬eâp¨ç-o¬ã ¯po- câopi.
2.O§-açe--ï ¯o¢-o£o ¬eâp¨ç-o£o ¯pocâopã.
3.¦p¨ª«a¤¨ ¯o¢-¨x ¯pocâopi¢.
A 6
O1. Hexa¨ý¯oc«i¤o¢-icâì fxn : n ¸ 1g âoçoª ¯pocâopã (X; ½)
äã-¤a¬e-âa«ì-a, a ¯oc«i¤o¢-icâì fyn : n ¸ 1g ½ X âaªa, éo
½(xn; yn) ! 0; n ! 1: „o¢ecâ¨, éo fyn : n ¸ 1g { äã-¤a¬e-- âa«ì-a ¯oc«i¤o¢-icâì ¢ ¯pocâopi (X; ½):
O2. ¦oc«i¤o¢-icâì fxn : n ¸ 1g âoçoª ¬eâp¨ç-o£o ¯pocâopã (X; ½)
§a¤o¢o«ì-ïõ ã¬o¢i:
|
|
|
8 n ¸ 1 : |
½(xn; xn+1) · 2¡n: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
„o¢ec⨠äã-¤a¬e-âa«ì-icâì ¯oc«i¤o¢-ocâi fxn : n ¸ 1g: |
|
|
||||||||||||||||||
O3. Ÿªi § -acâã¯-¨x ¬eâp¨ç-¨x ¯pocâopi¢ ¯o¢-i: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1) (X; ½); ¤e X = (0; 1); ½(x; y) = j x ¡ y j; |
j |
fx; yg ½ X; |
|
||||||||||||||||
|
(x1; x2); (y1 |
; y2) |
¡ R2 ? |
|
¢ |
j |
|
|
¡ |
|
|
j |
|
¡ |
|
j |
|
|||
|
2) (R2; d); ¤e d (x1 |
; x2); (y1; y2) = |
|
x1 |
|
y1 |
|
+ |
|
x2 |
|
y2 |
|
; |
||||||
f |
|
|
g ½ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
C([a; b])¢: |
|
|
||||
O4.d(x; y) = |
max e¡t |
|
x(t) |
|
y(t) ; |
|
|
x; y |
|
|
|
|||||||||
|
„o¢ec⨠¯o¢-oâã ¬eâp¨ç-o£o ¯pocâopã |
C([a; b]); d ; ¤e |
||||||||||||||||||
|
t2[a; b]¡ |
¢ j |
|
¡ |
j¢ |
|
f |
|
|
g ½ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
C1. „o¢ec⨠o¡¬e¦e-icâì äã-¤a¬e-âa«ì-o³Ä ¯oc«i¤o¢-ocâi e«e¬e-- âi¢ ¬eâp¨ç-o£o ¯pocâopã.
C2. Hexa¨ýfxn : n ¸ 1g ¨ýfyn : n ¸ 1g { äã-¤a¬e-âa«ì-i ¯oc«i¤o¢-
-ocâi ¢ ¬eâp¨ç-o¬ã ¯pocâopi (X; ½): „o¢ec⨠§¡i¦-icâì ç¨c«o¢o³Ä
¯oc«i¤o¢-ocâi f½(xn; yn) : n ¸ 1g:
26
C3. ¦epe¢ip¨â¨ ¯o¢-oâã ¯pocâopã (R3; d); § ¬eâp¨ªoî d¡(x1; x2; x3); (y1; y2; y3)¢ = max j xk ¡ yk j;
1·k·3
¤e f(x1; x2; x3); (y1; y2; y3)g ½ R3:
C4. „o¢ec⨠¯o¢-oâã ¯pocâopã C([0; 1]) § ¬eâp¨ªoî
max et |
¢ j |
x(t) |
¡ |
y(t) |
; |
f |
x; y |
g ½ |
C([0; 1]): |
d(x; y) = t2[0; 1]¡ |
|
|
j¢ |
|
|
„1. Hexa¨ý(Xk; ½k); k = 1; 2 { ¬eâp¨ç-i ¯pocâop¨, X = X1 £ X2; p
½ = ½21 + ½22 (¤¨¢. A1. O4). „o¢ec⨠-acâã¯-i â¢ep¤¦e--ï:
1) ¯oc«i¤o¢-icâì f(x(1n); x(2n)) : n ¸ 1g äã-¤a¬e-âa«ì-a ¢ ¯po- câopi (X; ½) âo¤i ¨ýâi«ìª¨ âo¤i, ªo«¨ ¯oc«i¤o¢-ocâi f(x(1n) : n ¸ 1g âa f(x(2n) : n ¸ 1g äã-¤a¬e-âa«ì-i ¢i¤¯o¢i¤-o ¢ ¯pocâopax (X1; ½1)
âa (X2; ½2);
2) ¯pocâip (X; ½) ¯o¢-¨¨ýâo¤i ¨ýâi«ìª¨ âo¤i, ªo«¨ o¡¨¤¢a ¯po- câop¨ (X1; ½1) âa (X2; ½2) ¯o¢-i.
„2. „o¢ec⨠¯o¢-oâã ¯pocâopã (l2; ½):
„3. Hexa¨ý(X; ½) { ¬eâp¨ç-¨¨ý¯pocâip, A ½ X: „o¢ecâ¨, éo §
¯o¢-o⨠¯pocâopã (A; ½) ¢¨¯«¨¢aõ §a¬ª-e-icâì ¬-o¦¨-¨ A ¢ ¯po- câopi (X; ½):
„4. „o¢ec⨠¯o¢-oâã ¯pocâopã
C(1)([a; b]) = fx : [a; b] ! R j 8 t 2 [a; b] 9 x0(t); x0 2 C([a; b])g
§ ¬eâp¨ªoî
½(x; y) = max |
x(t) |
¡ |
y(t) |
j |
+ max |
x0 |
(t) |
¡ |
y0 |
(t) |
; |
|||||
t |
2 |
[a; b] j |
|
|
|
t |
2 |
[a; b] j |
|
|
|
j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¤e fx; yg ½ C(1)([a; b]): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„5¤. „o¢ec⨠-e¯o¢-oâã -acâã¯-¨x ¯pocâopi¢: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) C([a; b]) § ¬eâp¨ªoî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
fx; yg ½ C([a; b]); |
|
||||||
d(x; y) = j x(t) ¡ y(t) j dt; |
|
|
||||||||||||||
a
2) ¬-o¦¨-a ¢cix -e¯epep¢-o ¤¨äepe-æi¨ýo¢-¨x -a [a; b] äã-ªæi¨ý
C(1)([a; b]) § ¬eâp¨ªoî
27
max |
x(t) |
¡ |
y(t) ; |
x; y |
g ½ |
C(1) |
([a; b]): |
||
d(x; y) = t |
2 |
[a; b] j |
|
j f |
|
|
|
||
|
|
|
|
B 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O1. Hexa¨ýfxn : n ¸ 1g { äã-¤a¬e-âa«ì-a ¯oc«i¤o¢-icâì ¢ ¬e-
âp¨ç-o¬ã ¯pocâopi (X; ½): „o¢ecâ¨, éo ¤«ï ¡ã¤ì-ïªo£o x 2 X ç¨- c«o¢a ¯oc«i¤o¢-icâì f½(xn; x) : n ¸ 1g äã-¤a¬e-âa«ì-a.
O2. Hexa¨ý(X; ½) { ¯o¢-¨¨ý¬eâp¨ç-¨¨ý¯pocâip, A { §a¬ª-e-a ¬-o-
¦¨-a ¢ (X; ½): „o¢ecâ¨, éo (A; ½) { ¯o¢-¨¨ý¬eâp¨ç-¨¨ý¯pocâip.
O3. Hexa¨ýP([0; 1]) { ci¬'ï ¢cix ¬-o£oç«e-i¢, éo po§£«ï¤aîâìcï -a
¢i¤-
pi§ªã [0; 1];
max |
p(t) |
¡ |
q(t) ; |
f |
p; q |
g ½ P |
([0; 1]): |
½(p; q) = t [0; 1] j |
|
j |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
—¨ ¡ã¤e ¡P([0; 1]); ½¢ ¯o¢-¨¬ ¬eâp¨ç-¨¬ ¯pocâopo¬ ?
O4. Hexa¨ý
X = f(x1; x2; x3) 2 R3 j x21 + x22 + x23 = 1g;
d(x; y) = P3 j xk ¡ yk j; fx = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3)g ½ X:
k=1
—¨ ¡ã¤e (X; d) ¯o¢-¨¬ ¬eâp¨ç-¨¬ ¯pocâopo¬ ?
I1. ‡'ïcã¢aâ¨, ç¨ ¡ã¤ãâì ¯o¢-¨¬¨ -acâã¯-i ¯pocâop¨. B ¯. 1) { 6) ¬eâp¨ªa ½ { e¢ª«i¤o¢a.
1) (Z; ½); |
2) (Q; ½); 3) ([0; 1]; ½); |
4) (RnZ; ½); 5) (RnQ; ½); |
|||||||
6) (X; ½); ¤e X = (¡1; 1] [ f2g; |
|
|
|
|
|
|
|||
7) (R3; d); |
d(x; y) = max |
|
x |
|
|
y |
|
; |
|
|
1·k·3 pj |
|
k |
¡ |
|
k j |
3 |
; |
|
fx = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3)g ½ R |
|||||||||
8) f(x1; x2; x3) 2 R3 j x21 + x22 + x23 = 1g § e¢ª«i¤o¢oî ¬eâp¨ªoî ½:
I2. ‡'ïcã¢aâ¨, ç¨ ¡ã¤e ¯pocâip (Rm; d) ¯o¢-¨¬, ïªéo ¤«ï
f |
x = (x1; : : : ; xm); y = (y1; : : : ; ym) |
g ½ |
Rm |
|
||
|
m |
|
|
max |
||
|
1) d(x; y) = |
j xk ¡ yk j; |
2) d(x; y) = |
|||
|
1 k m j xk ¡ yk j; |
|||||
|
|
=1 |
|
|
|
· · |
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
3) d(x; y) = |
m |
j xk ¡ yk j |
; |
|
|
|
|
4) d(x; y) = |
m k |
j |
x |
k |
¡ |
y |
k j |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
kP |
|
|
|
j |
xk |
¡ |
yk |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5) d(x; y) = |
|
max |
|
|
|
; |
6) d(x; y) = |
|
max |
|
|
k |
j |
x |
|
|
y |
; |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
k |
· |
m |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
· |
m |
|
|
k ¡ |
|
k j |
||||||||
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) d(x; y) = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
j x1 ¡ y1 j |
+ k=2 j xk ¡ yk j; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8) d(x; y) = j x1 ¡ y1 j + 2 |
max |
x |
y |
k j |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
k |
· |
m j |
k ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9) d(x; y) = |
|
k2(xk ¡ yk)2 1=2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¡kP |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
¢ |
1=2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10) d(x; y) = j x1 ¡ y1 j + |
=2 |
(xk ¡ yk)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡kP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I3. ¦oc«i¤o¢-icâì fxn : n ¸ 1g âoçoª ¬eâp¨ç-o£o ¯pocâopã (X; ½)
§a¤o¢o«ì-ïõ ã¬o¢a¬:
a) 8 n ¸ 1 : ½(xn; xn+2) · an;
¡) ½(xn; xn+1) ! 0; n ! 1:
„o¢ecâ¨, éo ¯oc«i¤o¢-icâì fxn : n ¸ 1g äã-¤a¬e-âa«ì-a ¢ ªo¦- -o¬ã § -acâã¯-¨x ¢¨¯a¤ªi¢:
1) an = 3¡n; |
2) an = e¡n; |
|
3) an = |
1 |
; |
|
|
||||||
|
|
n(n + 1) |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
4) an = |
|
; |
5) an = |
|
; |
6) an = |
|
ln³1 + |
|
´; |
|||
n2 |
n ln2(n + 1) |
n |
n |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) an = |
np |
|
; n ¸ 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8) —¨ ¡ã¤e ¯oc«i¤o¢-icâì fxn : n ¸ 1g äã-¤a¬e-âa«ì-oî, ïªéo |
|
1 |
; n ¸ 1 ? |
an = n |
|
29
‡a-ïââï 7
„i¨ýc-i äã-ªæi³Ä -a (Rm; ½):
¡pa-¨æï äã-ªæi³Ä ¢ âoçæi. B«ac⨢ocâi £pa-¨æì
Ko-âpo«ì-i §a¯¨âa--ï
1.O§-açe--ï £pa-¨æi äã-ªæi³Ä f : Rm ! R ¢ âoçæi.
2.B«ac⨢ocâi £pa-¨æì.
A7
O1. B¨xo¤ïç¨ § o§-açe--ï, §-a¨ý⨠£pa-¨æî
lim (jx1j + jx2j + : : : + jxmj):
(x1;x2;:::;xm)!(0;0;:::;0)
O2. „o¢ecâ¨, éo äã-ªæiï f : R2 ! R; ¢¨§-açe-a c¯2i¢¢i¤-oèe--ï¬ |
|||||
f(x1; x2) = |
½ |
0 |
¢ peèâi âoço2ª; |
1 |
; |
|
|
1; |
ïªéo 0 < x < x |
||
-e ¬aõ £pa-¨æi ¢ âoçæi (0; 0); a«e §¢ã¦e--ï æiõij äã-ªæi³Ä -a ¡ã¤ì-ïªã ¯pï¬ã
A = f(t cos ®; t sin ®) j t 2 Rg;
¤e ® 2 [0; 2¼) äiªco¢a-e, ¬aõ £pa-¨æî ¢ âoçæi (0; 0) pi¢-ã 0:
O3. ‡-a¨ý⨠-acâã¯-i £pa-¨æi:
1) |
lim |
(x12 + x22)x12x22 ; |
2) |
lim |
ln(x1 + ex2 ) |
: |
|||
|
|
|
|||||||
px12 + x22 |
|||||||||
|
(x1;x2)!(0; 0) |
|
|
(x1;x2)!(1; 0) |
|
||||
O4. ‡-a¨ý⨠-acâã¯-i £pa-¨æi:
1) lim |
x2 |
+ x2 |
; |
|
2) |
lim |
(x2 |
+ x2) e¡(x1+x2); |
||||
1 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
x1!+1 x14 + x24 |
|
|
|
x1!+1 |
|
|
1 |
2 |
||||
x2!+1 |
|
|
|
|
|
x2!+1 2 |
|
|
||||
|
|
3) |
|
lim |
|
x1x2 |
|
|
x1 |
: |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x1 |
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
³x1 |
+ x2 ´ |
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
!+1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C1. „«ï äiªco¢a-o£o ç¨c«a a 2 R §-a¨ý⨠£pa-¨æî
lim |
sin(x1x2) |
: |
|
||
(x1; x2)!(0; a) |
x1 |
|
30 |
|
|