complan_problems
.pdfÊИˆВСЬКИЙ ÍАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ÒАРАСА ØЕВЧЕНКА
™. Д. Бiлоколос, Д. Д. Шека
Збiрник задач з комплексного аналiзу
Навчальний посiбник
для студентiв природничих факультетiв
Êè¨â
2004
ÓÄÊ 530.145
ÁÁÊ 22.331 âåðñiÿ 2.2 (27.02.04)
™. Д. Бiлоколос, Д. Д. Шека
Збiрник задач з комплексного аналiзу: Навчальний посiбник для студентiв природничих факультетiв. К., 2004.-57 с.
Збiрник мiстить 842 задач з курсу комплексного аналiза, який автори читають на радiофiзичному факультетi Ки¨вського нацiонального унiверситета iменi Тараса Шевченка. Збiрник може бути рекомендовано студентам, аспiрантам i викладачам фiзичних та фiзико математичних спецiальностей вищих навчальних закладiв. Збiрник може бути користним також i для самопiдготовки.
°c ™. Д. Бiлоколос, Д. Д. Шека, 2003 2004
Çìiñò
Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу |
4 |
|
Ÿ 1.1. |
Операцi¨ над комплексними числами . . . . . . . . . . . |
4 |
Ÿ 1.2. |
Способи зображення комплексних чисел . . . . . . . . . |
6 |
Ÿ 1.3. |
Добування кореня з комплексного числа . . . . . . . . . |
9 |
Ÿ 1.4. |
Функцi¨. Геометричнi i топологiчнi поняття . . . . . . . |
10 |
Ÿ 1.5. |
Елементарнi трансцендентнi функцi¨ . . . . . . . . . . . |
12 |
Глава 2. |
Аналiтичнi функцi¨ |
15 |
Ÿ 2.1. |
Умови Кошi Рiмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
Ÿ2.2. Геометрiчна iнтерпретацiя аналiтично¨ функцi¨ . . . . . 16
Ÿ2.3. Гармонiчнi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ÿ2.4. Iнтеграл вiд функцi¨ комплексно¨ змiнно¨ . . . . . . . . . 22
Ÿ2.5. Iнтегральна теорема Кошi. Iнтегральна формула Кошi . 25
Ÿ2.6. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Ÿ2.7. Ряд Лорана, особливi точки . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ÿ2.8. Обчислення лишкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Глава 3. |
Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй |
36 |
||||||||||||
Ÿ 3.1. |
Обчислення iнтегралiв по замкнених контурах за допо- |
36 |
||||||||||||
могою лишкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||||||||||||
Ÿ 3.2. Обчислення простiших визначених iнтегралiв за допомо- |
38 |
|||||||||||||
ãîþ òåîði¨ ëèøêiâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||||||||||||
Ÿ 3.2.2. |
Iнтеграли вигляду I = |
RR f(x)dx . . . . . . . . . . |
40 |
|||||||||||
Ÿ 3.2.1. |
Iнтеграли вигляду I = |
R |
02¼ |
R(cos '; sin ')d' . . . . |
38 |
|||||||||
Ÿ 3.2.3. |
Iнтеграли вигляду I = |
|
f(x)ei®xdx . . . . . . . . |
42 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
Ÿ 3.3. Обчислення визначених iнтегралiв вiд багатозначних фун- |
43 |
|||||||||||||
êöié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||||||||||||
Ÿ 3.3.2. |
Iнтеграли типа I = |
|
a |
|
Rb |
¡x |
|
|
f(x)dx . . . . . . . . |
44 |
||||
Ÿ 3.3.1. Iнтеграли вигляду I = |
|
|
R+ x®¡1f(x)dx . . . . . . . |
44 |
||||||||||
Ÿ 3.4. Задача Дiрiхле. Фунцiя |
|
R |
b |
¡ |
x |
a |
¢ |
® |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
Ÿ 3.5. |
|
|
Ãðiíà . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
||||||||||
Конформнi вiдображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
Ÿ3.5.1. Дробово лiнiйнi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . 47
Ÿ3.5.2. Вiдображення елементарними функцiями . . . . . 48
Ÿ3.5.3. Вiдображення Шварца Христоффеля . . . . . . . 49
Ÿ3.6. Перетворення Лапласа. Операцiйне числення . . . . . . 51
Рекомендована лiтература |
55 |
Абетковий покажчик |
56 |
3
Глава 1
Основнi поняття комплексного аналiзу
Ÿ1.1. Операцi¨ над комплексними числами
Комплексним числом називають вираз z =
снi числа, i це символ, що називають уявною квадрат якого дорiвню¹ -1, i2 = ¡1.
Два комплекснi числа z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 ÿêùî x1 = x2 òà y1 = y2.
Комплексне число z2 = x2 + iy2 називають
äî z1 = x1 + iy1, ÿêùî x2 = x1 i y2 = ¡y1. Комплексно спряжене до числа z позначають як z. Таким чином, x + iy = x ¡ iy:
Комплексне число z можна подати також у тригонометричнiй формi z = x + iy = ½ (cos ' + i sin ') òà ó показниковiй формi z = ½ei'.
Полярний радiус ½ називають модулем комплексного числа та познача-
þòü jzj, а полярний кут ' éîãî аргументом та позначають як Argz. |
|||||||
значений однозначно, аргумент |
jzj = p |
|
|
|
|
¸ 0; |
|
x |
|
+ y |
|
|
|||
На вiдмiну вiд модуля комплексного числа |
|
|
2 |
|
2 |
|
ùî âè- |
½arctg (y=x) + 2k¼ arctg (y=x) + (2k + 1)¼
визначений з точнiстю до будь-якого цiлого k 2 Z.
Основнi операцi¨ на множинi комплексних чисел здiйснюються таким же чином, як операцi¨ над полiномами вiдносно i:
² Сумою z1 + z2 комплексних чисел z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 називають комплексне число
z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2):
²Рiзницею z1 ¡ z2 комплексних чисел z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 називають комплексне число
z= z1 ¡ z2 = (x1 ¡ x2) + i(y1 ¡ y2):
²Добутком z1z2 комплексних чисел z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2 називають комплексне число
z = z1z2 = (x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + y1x2):
4
1.1. Операцi¨ над комплексними числами |
5 |
² Часткою z1=z2 вiд дiлення комплексного числа z1 = x1 + iy1 íà комплексне число z2 = x2 + iy2 6= 0 називають комплексне число
z = z1=z2 |
= |
x1x2 + y1y2 |
+ i |
y1x2 ¡ x1y2 |
: |
|
x22 + y22 |
x22 + y22 |
|||||
|
|
|
|
Операцiя дiлення ма¹ змiст тiльки за умови z2 =6 0.
|
В прикладах 1 12 знайти дiйсну та уявну частину комплексних чисел |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + i |
|
|
|
|
|
z = (2 + ip |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4i + 1)5 |
|
||||||||||||
1. |
z = |
|
|
|
|
|
|
5. |
5)4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
z = |
|
|
|
: |
|
|||
2 |
¡ |
3i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ( 7 + 3i)¡ |
|
|
|
|
|
|
(2 + 3i) |
|
||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
(2 + i)2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
8 |
|
11. |
|
(2i31 + 1)3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z = i |
(3 + i)2 . |
|
7. |
z = ¡ i13 |
2p2 3¢ |
. |
z = |
|
|
(2i + 5)2 : |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
z = |
|
i |
. |
|
|
|
(5¡+¡i)3(2 |
|
|
¢+ 1)2: |
|
|
|
(1 + i)(4 ¡ 3i)3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
z = |
i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(3 + 4i)17 |
|
8. |
12. |
z = |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(1 + i)3 |
|
|
|
|
|
|
i13 + 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 ¡ i |
|
||||||||||||||||
4. z = |
|
. |
|
9. z = µ |
|
¶ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(1 ¡ i)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
7i + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 27 знайти модуль та аргумент комплексних чисел |
|
||||||||||||||||||||||||
|
В прикладахp |
слiд розумiти його арифметичне значення). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(пiд коренем |
¢ ¢ ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.
14.
15.
16.
17.
18.
R.
19.
z = 7i:
z = ¡3:p
z = 1 + 3i:
z= ¡2 + 3i: z = 7 ¡ 3i:
z= a+ib; äå a; b 2
(p3 + ip6)6.
20. |
|
(1 + i)8 |
5 : |
||
z¡ |
p |
|
|
||
|
|
||||
21. |
= 1 +¢ cos ® + |
||||
|
1 ¡ i |
3 |
|
||
i sin ®: |
|
|
|
|
|
22. |
z |
= |
¡ cos ® + |
||
i sin ®: |
|
|
|
|
|
23. |
z = sin ® + i cos ®: |
24. |
(5 + 2i)5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 + i73p |
|
|
|
¢ |
4. |
|
||||||||||
|
12 |
|
|||||||||||||||
25. |
¡ |
(4 |
¡ |
3i)4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
||||
|
|
¡ |
ip |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
¡p |
|
|
|
p¢ |
|
|
|
|
¢ |
7 |
|
|||||
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
||||||||
¡ |
|
|
1 |
¡ ip3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
11 + i |
14 |
|
|
|
В прикладахp |
28 39 записати комплекснi числа у показниковiй формi |
||
|
слiд розумiти його арифметичне значення). |
||
(пiд коренем |
¢ ¢ ¢ |
|
28. z = (17 + 34i)2
29. z = (6 + i)¡3. 30. z = ¡ip5 + 4¢¡7.
31. z = ¡ip7 + p14¢3.
32. z = ¡¡p3 + i¢¡5.
33. |
z = |
(3 ¡ 4i)4 |
|
|
|
|
|
||||
(2 + 5i)3 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
p |
|
|
+ ip |
|
|
|
7 |
||
|
|
2 |
23 |
|
|||||||
34. |
z = |
¡¡ (1 ¡ 3i)4 |
¢ |
. |
|||||||
35. |
z = |
|
(11i ¡ 3)8 |
|
|
||||||
|
|
¡p |
|
¡ ip |
|
¢12 . |
|||||
|
|
15 |
10 |
6
i + p15
36. z = ¡¡p14 + ip2¢11 .
37. z = i¡5 + ip11¢9
.
Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу
¡7i7 + p15¢8
38. z = (1 + ip3)5 ¡¡p7 ¡ 3i¢3 . ¡12 + 5i3¢4
39. z = (3 ¡ 4i)7 ¡¡2 ¡ ip21¢3 .
40.Доведiть формулу Муавра (cos ' + i sin ')n = cos n' + i sin n':
Âприкладах 41 46, використовуючи формулу Муавра, записати зазначенi вирази через степенi cos ' òà sin '.
41. cos 4'. |
43. |
cos 7'. |
|
|
|
45. |
sin 3': |
47. sin 5': |
|||
42. cos 5'. |
44. |
cos 9'. |
|
|
|
46. |
sin 4': |
48. sin 8': |
|||
49. Довести, що µ |
1 + i tg ® |
¶ |
n |
|
1 + i tg n® |
|
|||||
|
|
= |
|
: |
|
||||||
1 ¡ i tg ® |
|
1 ¡ i tg n® |
|
50. Довести, що при будь-яких z 2 C справедлива формула jpz2 ¡ 1 +
zj + jpz2 ¡ 1 ¡ zj = jz ¡ 1j + jz + 1j:
Ÿ1.2. Способи зображення комплексних чисел
Äëÿ геометрично¨ iнтерпретацi¨ комплексне число z = x + iy зображають точкою з координата-
ìè (x; y) декартово¨ площини xOy (саму площину при цьому називають комплексною). Âiñü x будемо називати дiйсною вiссю, вiсь iy уявною. Вiд-
повiднiсть мiж множиною C та комплексною пло-
щиною ¹ вза¹мно однозначною; тому далi ми не будемо розрiзнювати термiни комплексного числа та точки комплексно¨ площини. Виходячи з тригонометрично¨ форму запису комплексного числа z,
iy |
z |
ρ |
|
i |
ϕ |
|
|
1 |
x |
Ðèñ. 1.1.
бачимо, що геометрично модуль ½ та аргумента ' ¹
полярними координатами радiус-вектора точки z (äèâ. ðèñ. 1.1).
Геометрiчний змiст операцiй додавання та вiднiмання поляга¹ в тому, що комплекснi числа додаються та вiднiмаються таким же чином, як i вектори (див. рис. 1.2). Виходячи з геометрично¨ iнтерпретацi¨, для будь-яких двох комплексних чисел z1 òà z2
трикутника
jjz1j ¡ jz2jj · jz1 + z2j · jz1j + jz2j:
Однак, слiд зазначити, що при операцiях множення та дiлення комплекснi числа виконують обов'язкi лiнiйних операторiв. Геометрично множення комплексного числа z на комплексне число z1 = ½1ei'1 зводиться
1.2. Способи зображення комплексних чисел |
|
|
7 |
|||
до повороту вектора z íà êóò '1 та змiни його довжини в ½1 разiв, тобто |
||||||
z ми розгляда¹мо як вектор, а z1 як лiнiйний оператор, що дi¹ на цей |
||||||
вектор (або навпаки). |
|
|
|
|
|
|
У зв'язку з цим бува¹ корисною матричне зо- |
|
|
|
|||
zбраження= x + iy можекомплекснихбути ототожненочисел: комплекснез матрицеючислодру- |
iy |
|
|
|||
z +z |
|
|||||
гого порядку, що ма¹ спецiальний вигляд |
1 |
2 |
|
|||
z2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
z = °¡y |
x°: |
|
z - z |
|||
|
1 |
x |
||||
° |
x |
y |
° |
|
z1 |
|
° |
° |
|
|
|||
|
|
|
||||
° |
|
|
° |
|
|
|
При такому ототожненi алгебра¨чнi операцi¨ дода- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вання, вiднiмання, множення та дiлення виконую- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ться за звичайними правилами матрично¨ алгебри. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
В прикладах 51 77 зобразити на C-площинi множину точок M. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
51. |
|
M = |
z |
|
: z |
|
|
|
a |
|
= R |
|
, äå a |
|
|
64. M = ½z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
¡ |
a |
|
= 0¾, äå |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C, R 2 R+f: |
|
|
j |
|
¡ |
|
j |
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
: Im |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
¡ b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
52. M = fz |
|
: jz ¡ aj < Rg, äå a 2 |
|
a; b 2 C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
C, R 2 R+: |
|
: jz ¡ ij > 4g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
65. M = |
|
|
|
z1; z2; z3 |
|
|
|
: |
|
z1 |
j |
= z2 |
j |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
53. M = fz |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
jz3j = 1, |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
54. M = |
f |
z |
|
: z + 1 |
¡ |
2i |
< 3 |
g |
|
|
|
z1 + z2 + z3 = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
55. |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M=fz : jz ¡ z1j + jz ¡ z2j = Rg |
66. M = |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
z = 0 : |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äå z1; z2 2 C, R 2 R+: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67. M= |
|
|
f |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
2i |
|
|
g |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
z : |
|
jj |
¡ |
|
j ¡ j |
¡ |
jj |
=6 : |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
56. M = fz |
|
: jz ¡ ij + jz + ij < 5g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
68. |
M = |
|
|
|
|
z |
: |
Re |
|
|
z |
¡ |
1 |
|
|
= 0 |
|
: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
57. |
M = fz. |
: jz ¡ z1j = jz ¡ z2jg, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äå |
|
|
|
|
|
|
|
½ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 2i |
|
|
|
|
¾ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1; z2 2 C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69. M = |
|
f |
z |
: 2 z |
j |
|
|
< 1 + Im z |
g |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
58. |
M = fz |
|
: ® < arg(z ¡ z0) < ¯g |
, |
70. M = |
|
|
: |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
z |
|
z |
|
|
> 1 |
¡ |
g |
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äå z0 |
2 C |
, ®; ¯ |
|
|
|
|
+: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 R z + i |
|
|
|
|
|
¾ |
|
|
|
|
71. |
M = |
|
½z : |
Re |
|
|
z + 2i |
|
= 1¾. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
59. M = |
|
z |
: Im |
|
|
|
|
= 0 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z + 7i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
½ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ¡ z |
|
|
|
|
|
72. M = ½z |
: Im |
|
z + 2 |
|
|
= 0¾. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
60. M = |
|
z |
: 0 < arg |
< ¼2 |
|
: |
|
|
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
½ |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
1 |
|
i + z |
|
|
|
¾ |
|
73. M = |
|
|
|
z |
: Re |
|
z ¡ a |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
61. |
M = z |
: |
¯z |
¡ |
|
|
¯ |
= a; |
|
, |
|
äå |
|
|
|
|
|
|
|
½ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + a |
|
|
|
|
¾, |
|
äå |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1; z2 |
|
|
½ |
|
|
|
¡ |
|
z2 |
|
|
|
|
|
¾ |
|
|
|
|
a |
2 |
R+. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 C |
, a |
2 R |
+¯ |
: |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
: |
|
|
z |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
b |
|
|
|
= 1 |
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
z |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74. M = |
|
f |
jj |
¡ |
j ¡ j |
¡ |
jj |
|
g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
62. M = ½z : Re |
|
|
¡ |
|
= 0¾, |
|
äå |
|
äå a; b 2 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a; b |
2 C |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75. M = |
|
|
|
z |
: Im |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
63. |
|
|
|
|
|
Re |
1=z < 1=2g : |
|
|
|
|
a 2 N: |
|
|
|
½ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + a |
|
|
|
|
¾, äå |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M = fz : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу |
|
|||||
|
M = ©z : |
2 |
< arg(z ¡ 2i) |
< ¼ª. 77. M = ½z : Im |
2 |
z¡+ i |
= 0¾: |
|||
76. |
|
¼ |
2 |
|
|
|
z |
1 + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78. Виходячи з геометрично¨ iнтерпретацi¨ комплексних чисел, довести нерiвнiсть jz1 + z2j · jz1j + jz2j: Довести зазначену нерiвнiсть також алгебра¨чним шляхом.
79. Виходячи з геометрично¨¯¯ iнтерпретацi¨¯¯ комплексних чисел, довести нерiвнiсть jz1 ¡ z2j · ¯jz1j ¡ jz2j¯: Довести зазначену нерiвнiсть також
алгебра¨чним шляхом.
80. Виходячи з геометрично¨ iнтерпретацi¨ комплексних чисел, довести |
||||
íåðiâíiñòü |
¯jzzj |
¡ 1¯ |
· j arg zj: |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
81.Виходячи з геометрично¨¯¯ ¯¯ iнтерпретацi¨ комплексних чисел, довести
íåðiâíiñòü jz ¡ 1j · ¯jzj ¡ 1¯ + jzjj arg zj:
82.Нехай z1 + z2 + z3 = 0 òà jz1j = jz2j = jz3j = R. Довести, що точки
z1; z2; z3 ¹ вершинами правильного трикутника, що вписаний в коло jzj =
R.
83.Нехай точки z1; z2; z3 знаходяться на колi з центром в точцi 0. Довести, що трикутник з вершинами в точках z1; z2; z3 ¹ правильним тодi i ëèøå òîäi, êîëè z1 + z2 + z3 = 0.
84.Довести, що комплекснi числа z1; z2; z3 знаходяться на однiй прямiй, якщо вони задовольняють умовам z2 ¡ z1 2 R:z ¡ z ;
3 1
85. Довести, що комплекснi числа z1; z2; z3; z4 лежать на колi, якщо вони |
||||||
z2 |
¡ z1 |
: |
z2 ¡ z4 |
|
: |
|
задовольняють умовам z3 |
2 R |
|||||
¡ z1 |
z3 ¡ z4; |
|||||
|
|
86.Нехай z1 6= z2 6= z3. За яко¨ умови точки z1, z2, z3 знаходяться на îäíié ïðÿìié?
87.Нехай z1 6= z2 6= z3 6= z4. За яко¨ умови точки z1, z2, z3, z4 знаходяться на одному колi або прямiй?
88.З'ясувати змiст комплексного числа z як лiнiйного оператора.
89.Виходячи з матрично¨ iнтерпретацi¨ комплексних чисел, знайти матричне зображення операцi¨ комплексного спряження.
90.Виходячи з матрично¨ iнтерпретацi¨ комплексних чисел, знайти матричне зображення модуля комплексного числа.
91.Виходячи з матрично¨ iнтерпретацi¨ комплексних чисел, знайти матричне зображення комплексного числа 1=z.
92.Виходячи з матричного зображення комплексних чисел, з'ясувати змiст операцi¨ множення комплексних чисел. Обчислити, використовую-
1.3. Добування кореня з комплексного числа |
9 |
чи матричне зображення, наступний добуток: (2 + 3i)(¡1 + ip3).
93. Виходячи з матричного зображення комплексних чисел, з'ясувати |
|||||||||||
змiст операцi¨ дiлення комплексних чисел. Обчислити, використовуючи |
|||||||||||
матричне зображення, наступну частку: |
1 ¡ i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 + i. |
|
°¡ sin ' cos '° |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
94. Довести, що для будь-яко¨ унiтарно¨ матрицi U = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
° |
cos ' |
sin ' |
° |
|
викону¹ться спiввiдношення Un |
= |
|
cos n' |
sin n' |
|
n° |
2 N |
. |
|
° |
|
|
°¡ sin n' |
cos n'°, äå |
° |
|
|
° |
|||||
|
|
° |
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
Ÿ1.3. Добування кореня з комплексного числа
Показникова форма запису комплексного
операцiйчисла ¹ зручноюпiднесенняпри дорозгляданнiстепеня таалгебра¨чнихдобування
кореня. Так, якщо z = z1n, òî ½ = ½n1 , ' = n'1. Комплексне число z1 назива¹ться коренем n-го степеня комплексного числа z, ÿêùî z = z1n.
Алгебра¨чне рiвняння zn = a, äå a ´ jajei® 2
C, n 2 N ì๠ïðè a 6= 0 ðiâíî n рiзних коренiв, що визначаються за формулою
p
zk = n jajei(®+2¼k)=n; k = 0; n ¡ 1:
y
z |
1 |
z |
2 |
2π |
2π |
|
z |
|
− |
|
0 |
||
n |
|
|
||
−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
x |
|
|
− |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
n-1 |
Ðèñ. 1.3.
На комплекснiй площинi коренi рiвняння |
|
|
|
||
zn = a зображуються точками, розташованими у вершинах правильно- |
|||||
координат (див. рис. 1.3). |
p |
|
|
|
|
j |
|
j |
|
||
ãî n-кутника, що ¹ вписаним у коло радiуса |
n |
a |
|
з центром у початку |
Для того, щоб вiдрiзняти дiйсне значення коренi n-то ступеня вiд
додатнього числа a òà n êîìïлекних значень, надалi позначатиме дiйснi (алгебра¨чнi) значення як pn a, комплекснi значення як z1=n.
|
В прикладах 95 104 обчислити усi значення кореня комплексного |
|||||||||||||||||
числа z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95. |
z = i1=3. |
|
|
z = (7 + |
8i) |
1=5. |
|
102. |
z = (2 ¡ 3i) |
1=5. |
|
|||||||
|
99. |
|
|
|||||||||||||||
96. |
z = (3i + 1)1=4. |
|
|
1=3. |
|
|
|
|
||||||||||
97. z = (3i |
¡ |
4)2=3. |
100. z = (11 |
¡ 4i) |
|
1=4. |
|
103. |
z = (2 ¡ 3i)1=5. |
|
||||||||
98. |
|
|
101. z = (¡2 + 3i) |
|
104. |
z = ( |
|
5 |
|
2i)1=7 |
. |
|||||||
z = (2i)1=4. |
|
|
¡ |
¡ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 Глава 1. Основнi поняття комплексного аналiзу
105. Довести, що для будь-якого комплексного числа z = x+iy значення функцi¨ z1=2 дорiвнюють:
|
2s |
|
|
|
|
|
|
+ isignys |
|
|
|
|
|
3 |
|
(x + iy)1=2 = § |
p |
|
|
+ x |
|
p |
|
¡ x |
: |
||||||
x2 |
+2y2 |
x2 +2y2 |
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
В прикладах 106 136, використовуючи результат задачi 105, знайти усi значення виразiв:
106. (2i)1=2. |
|
|
|
|
|
|
(11 ¡ 60i)1=2. |
|
127. |
(45 ¡ 28i)1=2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
117. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
107. (1 ¡ i)1=2. |
|
|
|
|
|
118. (20 + 48i)1=2. |
|
128. |
(16 |
¡ |
30i)1=2. |
|
||||||||||||||||||||||||||
108. (3 ¡ 4i)1=2. |
|
|
|
. |
119. (27 ¡ 36i)1=2. |
|
129. |
(24 |
10i)1=2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
109. (¡40 + 42i)1=2 |
|
120. ( |
¡ |
9 |
¡ |
40i)1=2. |
130. (32 |
¡ |
|
24i)1=2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
110. |
(¡5 + 12i) |
1=2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1=2. |
|
121. |
(35 ¡ 12i)1=2. |
|
131. |
(45 |
¡ |
28i)1=2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
111. |
(¡48 ¡ 14i) |
|
|
|
|
122. |
(120 + 182i)1=2. |
132. |
(60 |
32i)1=2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
112. (¡11 ¡ 60i)1=2. |
123. (24 |
¡ |
70i)1=2. |
|
133. |
|
|
¡ |
|
p |
|
|
|
|
1=2. |
|||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
3i) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
113. |
|
|
|
1=2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¡p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(7 + 24i) |
|
|
|
. |
|
124. (1 + i2p2)1=2. |
134. |
|
|
|
|
1=2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
114. |
(29 |
|
420i)1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=2. |
|
(4 ¡ 2 |
|
5i) |
|
|
|
|
|||||||||||
¡ |
|
|
125. ( |
|
12 + i4p7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=2. |
¡ |
|
135. |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
1=2. |
||||||||||||||||||
115. |
(¡13 ¡ 84i) |
|
|
|
126. |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
1=2. |
|
(3 ¡ 2 |
|
10i) |
|
|
. |
||||||||||||||||
116. |
|
|
|
|
|
|
|
|
13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( 9 |
|
40i)1=2. |
|
|
(¡4 + i6 |
|
136. (21 |
¡ |
220i)1=2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
¡ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В прикладах 137 151, знайти всi розв'язки рiвнянь:
137. z3 = 1. |
|
142. |
||
|
||||
138. |
z2 |
= ¡63 + 16i. |
|
143. |
139. |
z7 |
= 3 + 4i: |
|
144. |
140. z8 + 1 ¡ i = 0: |
|
145. |
||
141. 4z2 + 9(1 + i) = 0: |
|
146. |
z3 |
= ¡11 ¡ 2i: |
|
147. (¡2+3i)z7 = ¡1: |
|
|
||||
z5 + 3 ¡ 4i = 0: |
|
148. |
(1¡4i)z3 = 2+3i: |
|
z4 |
= ¡7 ¡ 24i: |
|
149. |
5(4 + 3i)2z8 = 1: |
z5 |
= 41 ¡ 38i: |
|
150. |
jzj ¡ z = 3 + 4i. |
z7 |
= 8 ¡ 8i: |
|
151. |
z¹ = zn, äå n 2 N. |
152. |
Знайти комплекснi числа z1; z2; ÿêùî z1 +z2 = 4+4i; z1z2 = 8+14i: |
153. |
Скiльки значень ма¹ вираз zn=m, äå z 2 C; n; m 2 N; m 6= 0? |
Ÿ1.4. Функцi¨. Геометричнi i топологiчнi поняття
На множинi M точок площини C задано комплексну функцiю комплексно¨ змiнно¨ w = f(z), якщо задано закон, за яким кожнiй точцi z ç M ставиться у вiдповiднiсть задана точка w з множини N. При цьому множину M називають множиною визначення, а множину N множиною значень. Якщо кожному значенню z 2 M вiдповiда¹ одне значення