RGR2_1_kurs (1)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

_______________________________________________________________________

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ

Е.Ф. КАЛИНИЧЕНКО

МАТЕРИАЛЫ

расчетно-графической работы №2 по математике

для студентов 1 курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление

Издание первое

Коломна КИ (ф) МГОУ – 2011

1

УДК 512.64 (075);

ББК 22.12

Рецензенты:

кандидат физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики и физики КИ (ф) МГОУ Адамушко Н. Н.

Калиниченко Е.Ф.

МАТЕРИАЛЫ расчетно-графической работы №2 по математике. 1-е изд., –

Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2011, 19 с.

Учебное пособие содержит теорию, задания и требования к выполнению расчетно-графической работы по основам математического анализа. Предназначено для студентов специальностей «менеджмент» и «государственное и муниципальное управление» технических университетов дневной формы обучения.

Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики и физики 9.11.2011г., протокол №3/2011

2

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

1.1. Пределы.

Пусть заданы две функции f (x) и g(x) . Если существуют lim f (x)

x x0

и lim g(x) , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а

x x0

Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной

функции равен этой постоянной, то есть lim С С . Из приведенных формул

x x0

следует полезное утверждение:

,

то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Если сделать замену переменной t x x0 , то вычисление предела при x x0 всегда можно свести к вычислению предела при t t0 .

Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает

со значением функции в этой точке lim f (x) f (x0 ) . Все элементарные функции

x x0

непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке x0 в выражение функции.

Непределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если

3

говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать

признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой x0 в выражение для функции.

Полезно запомнить замечательные пределы:

первый замечательный предел

,

его используют для вычисления неопределенность типа .

второй замечательный предел

(е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов), его используют для вычисления неопределенностей типа .

1.2. Производная функции.

Производная является основным понятием дифференциального исчисления, характеризующим скорость изменения функции. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

Производная функции y f (x) в точке x0 обозначается символами

4

1.3. Производные высших порядков.

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n-го порядка f (n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда

Производные высших порядков обозначаются символами:

Когда n мало, для обозначения производных используются штрихи, римские цифры или точки.

2. ЗАДАНИЯ

(ПОСТАНОВКА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ).

2.1. Расчетно-графическая работа № 2 (РГР № 2).

Задача 1. Вычислить предел.

6

7

Задача 2. Вычислить предел.

8