Лекция 10. Непрерывность функции

1

Лекция 10. Непрерывность функции в точке и на промежутке

10.1.Непрерывность функции в точке

она определена в некоторой окрестности этой точки, включая и саму эту точку и если выполняется равенство

lim y 0

x 0

Можно доказать, что определение непрерывности функции,

сформулированное в предыдущей лекции эквивалентно определению 1 этой лекции. Действительно, функция f(x) непрерывна в точке x0, если выполняется равенство

где x=x0+∆x. Если x→x0, то ∆x= x-x0→0. Следовательно, равенство можно записать в виде

определения лекции 2 следует данное выше определение 1. Можно доказать и обратное.

Пример 1. Доказать, что функция y=sinx непрерывна в любой точке x0.

Решение. Дадим x0 приращение ∆x, получим новую точку x=x0+∆x, тогда заданная функция получит приращение

Аналогичным образом рассматривая все основные элементарные функции,

можно доказать теорему 4 из лекции 3.

10.2.Свойства функций непрерывных в точке

Свойство 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма f(x)±g(x), произведение f(x)g(x) и частное f(x)/g(x) (при условии, что g(x0)

отлична от нуля), являются функциями непрерывными.

3

Пусть приращение ∆x>0, тогда промежуток (x0-∆x, x0+∆x) является окрестностью точки x0 (рис. 10.2).

Рис. 10.2.

Свойство 2. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 и положительна в ней f(x0) >0 , то существует такая окрестность (x0-∆x, x0+∆x) точки x0, что функция положительна f(x) >0 во всей этой окрестности, то есть при xϵ(x0-∆x, x0+∆x).

Свойство 3. Если функция y=f(u) непрерывна в точке u0, а функция u=ϕ(x)

непрерывна в точке x0, такой что u0=ϕ(x0), то сложная функция y=f(ϕ(x))

непрерывна в точке x0.

10.3.Задача о непрерывном начислении процентов

Задача. Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк ежегодно начисляет p% годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.

Через 1 год размер вклада будет равен Q1= Q0+ Q0 p/100= Q0(1+ p/100).

Через 2 года размер вклада будет равен Q2= Q1+ Q1 p/100= Q1(1+ p/100),

подставив выражение для Q1, получаем: Q2= Q0(1+ p/100)2.

Через 3 года размер вклада будет равен Q3= Q2+ Q2 p/100= Q2(1+ p/100),

подставив выражение для Q2, получаем: Q3= Q0(1+ p/100)3.

Через t лет размер вклада будет равен выражению Qt= Q0(1+ p/100)t.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а n раз, то при том же ежегодном приросте в p% начисления за 1/n часть года p/n

процентов, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит:

4

Будем предполагать, что проценты по вкладам начисляются каждое полугодие, тогда n=2, ежеквартально - n=4, ежемесячно - n=12, ежедневно - n=365, ежечасно - n=365ˑ24 и так далее, непрерывно n→∞. Размер вклада за t лет при непрерывном начислении процентов можно найти как предел

неопределенность вида 1∞, следовательно, необходимо применить второй

10.4.Точки разрыва и их классификация

Определение 2. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то есть, если функция не определена в точке x0, или не существует предела функции f(x)

при x→x0, или предел при x→x0 не равен значению функции

Определение 3. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если существуют оба конечных односторонних предела функции слева,

если x→x0-0 и справа, если x→x0+0 не равные друг другу

функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции слева,

если x→x0-0 и справа, если x→x0+0 равен бесконечности или не существует.

7

В случае разрыва определить тип точки разрыва.

Решение. Функция не является элементарной. Она элементарна на каждом из промежутков (-∞;0), (0;1) и (1;+∞). Следовательно, непрерывна в каждом из этих промежутков. Исследуем каждую из точек x=0 и x=1 на непрерывность.

следовательно, существует предел функции lim f (x) 0.

x 0

3. lim f (x) f (0).

x 0

Все условия непрерывности выполнены, следовательно, в точке x=0

8

10.5.Свойства функций непрерывных на отрезке

Определение 6. Функция y=f(x) непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойство 1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Свойство 2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения

M.

Свойство 3. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка cϵ(a;b), такая что f(с)=0.