Лекция №5 по матем

В результате проверки статистических гипотез возможны четыре случая:

Первый и третий случаи означают правильное решение. Во втором случае (гипотеза H0 верна, но отвергается) говорят, что совершается статистическая ошибка I рода. Вероятность статистической ошибки I рода обозначают и называют уровнем значимости. В биологических и медицинских исследованиях ее принимают равной 0,01 или 0,05.

В четвертом случае (гипотеза H0 не верна, но не отвергается)

говорят, что совершается статистическая ошибка II рода.

Вероятность статистической ошибки II рода обозначают . Величина

1 называется мощностью критерия. Мощность критерия – это способность выявлять различия или отклонять гипотезу H0 , если она

не верна.

В медицинских исследованиях можно решать экспериментальные задачи с использованием разных статистических критериев. При этом возможна такая ситуация, что один критерий позволяет обнаружить различия, а другой различий не выявляет. Это означает, что первый критерий является более мощным, чем второй. В таком случае возникает вопрос: зачем используют менее мощные критерии? Дело в том, что чем мощнее критерий, тем более трудоемка процедура его использования. Более того, если менее мощный критерий выявляет различия, то более мощный критерий подтвердит факт этих различий. Следовательно, использование менее мощных критериев является оправданным. Однако нельзя забывать о том, что отсутствие достоверных различий, зафиксированное с помощью какого-либо критерия, не является гарантией того, что более мощный критерий их не выявит.

2

§2. Виды критериев

Прежде, чем выполнить любой эксперимент, необходимо:

четко сформулировать его задачи;

определить экспериментальную гипотезу;

выбрать соответствующий статистический метод, наиболее эффективный для решения поставленных в исследовании задач.

Подавляющее большинство задач, решаемых в медицинских и биологических экспериментах, предполагает те или иные сопоставления. Такой тип эксперимента называется сравнительным. Причем, можно сравнивать два эмпирических распределения между собой или эмпирическое распределение с теоретическим.

При решении первого типа задач необходимо знать следующее:

Тип организации эксперимента – являются выборки зависимыми или независимыми.

 Выборки называются независимыми (или несвязными), если процедура эксперимента и результаты измерения, полученные на одной из выборок, не оказывают влияния на особенности протекания эксперимента и результаты измерения у другой выборки.

 Выборки называются зависимыми (или связными), если процедура эксперимента и результаты измерения, полученные на одной выборке, оказывают влияние на особенности протекания эксперимента и результаты измерения у другой выборки.

Следует подчеркнуть, что если исследование проводится на одной и той же группе, даже если при этом изучаются разные признаки и свойства, то выборки будут зависимыми. Использование зависимых выборок позволяет снизить влияние случайных причин и сгладить индивидуальные различия между исследуемыми объектами.

Вид закона распределения исследуемой случайной величины.

Знание закона распределения позволяет сделать выбор между параметрическими и непараметрическими критериями.

 Параметрические критерии основаны на конкретном виде распределения изучаемой случайной величины (как правило, на нормальном распределении) и используют числовые характеристики выборочной совокупности (выборочную среднюю, выборочную

дисперсию и т.п.), которые являются точечными оценками параметров генеральной совокупности.

 Непараметрические критерии не базируются на предположении о виде распределения изучаемой величины и используют непосредственно выборочные данные, а не параметры выборки.

Если изучаемая величина распределена нормально, то отдают предпочтение параметрическим критериям, так как они обладают большей мощностью. Но как показывает практика, подавляющее большое данных в медицинских исследованиях не имеет нормального распределения, поэтому часто применяются критерии непараметрические.

Если в результате исследования возникает предположение, что изучаемая величина может иметь нормальное распределение, то это предположение необходимо проверить. Для этого используются так называемые критерии согласия.

Тема 9. Параметрические критерии

Параметрические критерии носят такое название потому, что в формулы их расчета включаются выборочные средние, выборочные дисперсии и т.п., которые являются точечными оценками числовых параметров генеральной совокупности.

Все эти критерии применимы только в том случае, когда изучаемые величины распределены нормально.

§1. Проверка гипотез о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Такая задача на практике возникает при необходимости сравнить точность двух приборов или методик исследования. Дисперсия характеризует разброс значений признака относительно генеральной средней. Чем меньше разброс результатов измерений, тем более точен

3

распределение Фишера – Снедекора (в случае истинности гипотезы H0 ). SБ2 - большая из исправленных выборочных дисперсий, а Sм2 -

меньшая из исправленных выборочных дисперсий. Значение FKP

находится по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора, зависит от уровня значимости и степеней свободы f1 и f2 .

f1 - это число степеней свободы той выборки, у которой больше исправленная выборочная дисперсия, f1 nSБ2 1.

f2 - это число степеней свободы той выборки, у которой исправленная выборочная дисперсия меньше, f2 nSM2 1.

Порядок проверки гипотезы:

4) сравниваем FH и FKP (критерий двусторонний, но рассматривается как правосторонний).

Если FH FKP , то нулевую гипотезу отвергаем, принимаем

конкурирующую. Значит, генеральные дисперсии не равны, выборочные дисперсии различаются значимо.

Если FH FKP , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Значит, генеральные дисперсии равны, выборочные дисперсии различаются незначимо.

Если в исследовании необходимо доказать, что одна из дисперсий больше другой, то гипотезы выдвигаются следующим образом:

H0 :D X D Y . В этом случае значение FH вычисляется по той

H1 :D X D Y

же формуле, FKP находится также по таблице критических точек

распределения Фишера – Снедекора, но зависит от , а не от

2 (FKP , f1, f2 ). Выбор между гипотезами H0 и H1 осуществляется

таким же образом, как в предыдущем случае.

Замечание:

§2. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних нормально распределенных генеральных совокупностей.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних имеет важное практическое значение. Часто возникает ситуация, когда средний результат одной серии испытаний отличается от среднего результата другой серии испытаний. Возникает вопрос, можно ли различие средних объяснить случайной ошибкой эксперимента или оно обусловлено некоторыми закономерностями, воздействием некоторого фактора.

Проверка данной гипотезы осуществляется с помощью t- критерия Стьюдента. Критерий используется чаще всего в том случае, когда нужно проверить влияние какого-либо фактора на исследуемую величину.

Если различие между выборочными средними статистически значимо, то фактор оказывает влияние на исследуемую величину.

Если различие между средними незначимо, то фактор не оказывает влияния на исследуемую величину, различие между выборочными средними обусловлено воздействием случайных причин.

Применение t-критерия Стьюдента возможно как для зависимых, так и для независимых выборок.

Две независимые выборки.

В этом случае используется t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

Проверка гипотезы осуществляется следующим образом:

3)по таблице критических точек распределения Стьюдента

4) сравниваем tH и tKP, учитывая, что критерий двусторонний: Если tH tKP , то

Если tH tKP ,

Замечание:

Две зависимые выборки.

Вэтом случае используется t-критерий Стьюдента для зависимых выборок.

Взависимых выборках сравнение величин X и Y осуществляется с помощью величины d , являющейся разностью между величинами X и Y (d X Y ).

Проверка гипотезы осуществляется следующим образом:

выборочные средние различаются статистически значимо. Значит, при0,05 можно считать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов.

Вывод: При 0,05 можно считать, что тренировки оказывают влияние на скорость сенсомоторной реакции спортсменов.

Задача 2. Изучалось влияние нового железосодержащего препарата на уровень гемоглобина при железодефицитной анемии. Контрольную группу составили пациенты, получавшие традиционный препарат, опытную – получавшие новый препарат. Результаты приведены в таблице.

Можно ли при 0,05 по результатам исследования сделать вывод, что исследуемый препарат вызывает повышение уровня гемоглобина в крови больных железодефицитной анемией. Установлено, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Решение: Так как выборки независимы, извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, применим t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

1 этап. Предварительная статистическая обработка данных.

6

2 этап. Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий. а) выдвигаем гипотезы:

б) наблюдаемое значение критерия:

в) по таблице критических точек находим

г) FH FKP , следовательно, нет оснований отвергать гипотезу H0 ,

генеральные дисперсии равны. Значит, можно применять t-критерий Стьюдента.

3 этап. Проверим гипотезу о равенстве генеральных средних. а) выдвигаем гипотезы:

б) наблюдаемое значение критерия: